Iseseisev töö:

2. valik:

Valik 1:

Kontrollige vastuseid:

2. valik:

Valik 1:

Kosinuse teoreem:

Kolmnurga külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, millest on lahutatud kahekordne nende külgede korrutis nendevahelise nurga koosinus

• Vanimat tõestust siinuste teoreemile lennukis kirjeldab 13. sajandil kirjutatud Nasir ad-Din At-Tusi raamat "Traktaat täielikust neljapoolsest". Sfäärilise kolmnurga siinusteoreemi tõestasid keskaegse Ida matemaatikud juba 10. sajandil. 11. sajandi Al-Jayani teoses "Sfääri tundmatute kaartide raamat" esitati üldine tõestus sfääri teoreemi kohta sfääril.

Nasir ad-Din At-Tusi

Siinuse teoreem :

Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega.

• Kommentaar: Võib näidata, et kolmnurga külje ja vastasnurga siinuse suhe on võrdne piiratud ringi läbimõõduga. Seetõttu on võrdsused iga kolmnurga ABC puhul, mille küljed on AB = c, BC = a, CA = b
• Kus R on piiratud ringi raadius.

1) Kirjutage ette antud kolmnurga siinusteoreem:

2) Kirjutage koosinusteoreem MK -külje arvutamiseks:

Leidke nurk B.

Leidke BC külje pikkus.

Leidke külje AB pikkus.

Leidke MN.

Arvutamiseks kirjutage valem:

• http://ppt4web.ru/geometrija/teoremy-sinusov-i-kosinusov0.html
• http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/10/15/teorema-sinusov-i-kosinusov
• https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Johannes_Regiomontanus2.jpg/500px-Johannes_Regiomontanus2.jpg
• http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/10/110/217/110217775_Nesreddi_tusi.jpg
• http://www.biografguru.ru/about/evklid/?q=3117

Siinuste ja koosinuste teoreemid praktilise sisuga probleemides

on tõsi?

Harjutus 1

nende erakondade tööd patt nurk nende vahel.

Tr-ka mis tahes külje ruut on võrdne summaga

kahe teise külje ruudud ilma

nende erakondade tööd cos nurk nende vahel.

Tr-ka mis tahes külje ruut on võrdne summaga

kahe teise poole ruudud ilma kahekordistamata

nende erakondade tööd cos nurk nende vahel.

Täisnurkses kolmnurgas

jala ruut võrdub ruutude erinevusega

hüpotenuus ja muu jalg.

Milline järgmistest väidetest on tõsi?

Ülesanne 2

vastasnurkade siinused.

Kolmnurga küljed on proportsionaalsed

vastasnurkade koosinused.

Kolmnurga küljed on proportsionaalsed

külgnevate nurkade siinused.

Kolmnurga küljed on proportsionaalsed

vastasnurgad.

Milline järgmistest väidetest on tõsi?

Ülesanne 3

pindala ja ümbermõõt.

Kolmnurga lahendamine on kõike mõõtmine

selle elemente.

Kolmnurga lahendamine on selle leidmine

tundmatud elemendid kolmele teadaolevale.

Kolmnurga lahendamine tähendab tema leidmist

võrdne kolmnurk.

Pole tõsi!

Pole tõsi!

Pole tõsi!

Moodustada vaste?

Ülesanne 4

A) siinusteoreem

B) Heroni valem

C) Pythagorase teoreem

D) koosinuseteoreem

Eemal seisab 1,7 m pikkune mees

8 sammu kaugusel postist, millel latern ripub.

Inimese vari on võrdne nelja sammuga. Milline

kõrgus (meetrites) asub latern?

Ülesanne 5

8 sammu

4 sammu

Näpunäide (2)

Mõelge sarnastele kolmnurkadele

Δ ABC

Δ AKM

Jalgpall on siilil, mis asub väravapostidest 23 m ja 24 m kaugusel. Värava laius on 7 m. Leia palli nurk väravasse?

Ülesanne 6

Ülesanne 7

Algoritm praktiliste probleemide lahendamiseks

• Joonistamise teostamine
• Lahendage geomeetriline ülesanne

Ülesanne 7

Leidke kaugus ligipääsmatust objektist

Algoritm ligipääsmatu objekti kauguse leidmiseks

• Märkige 2 punkti, mille vahekaugust saab mõõta
• Mõõtke nurki
• Ehitage matemaatiline mudel (joonis)
• Lahendage siinusteoreemi abil geomeetriline ülesanne

Otsustage ise valik 1 Jõe laiuse (AC) määramiseks märgiti üksteisest 50 m kaugusele 2 punkti C ja B. Mõõtsime nurki ACB ja ABC, kus A on puu, mis seisab teisel pool jõge veepiiril. (<АCВ=550, <АВС=650) 2. valik Jõe laiuse (AC) määramiseks märgiti 2 punkti B ja C üksteisest 40 m kaugusele. Mõõtsime nurki ACB ja ABC, kus A on puu, mis seisab teisel pool jõge veepiiril. (<АCВ=600, <АВС=700) Проверьте друг друга <А=1800-600-700= 50 0 AВ = 49 м

Teema « Kosinuse teoreem "

Õppetüüp : õppetund uute teadmiste assimileerimiseks

Õppetunni asukoht - esimene õppetund sellel teemal

Tunni õpetamise eesmärk :

teadmised õpilaste poolt koosinusteoreemi sõnastamisest;

oskus:

leidke kolmanda külje pikkus teadaolevate kahe teise järgi ja nurk

nende vahel;

määrake kolmnurga nurk (nurga koosinus) kolme teadaoleva järgi

peod;

määrake kolmnurga tüüp kolmel teadaoleval küljel.

Isikliku arengu eesmärgid:

korraldage olukordi:

õpilaste enesemääramine ennustatava tulemuse nimel

kognitiivne tegevus;

peegeldusvõime arendamine;

luua tingimused:

õpilaste suhtlemisoskuse arendamine;

õpilaste mõtlemise arendamine, võime vaielda, tõestada.

Seadmed ja materjalid: multimeedia installimine, ekraan, tahvel, kriit.

Lühike tunniplaan

1. Aja korraldamine.

2. Juhtivate teadmiste ja tegevusmeetodite uuendamine.

3. Motivatsioon ja eesmärkide seadmine.

4. Põhiosa. Koosinusteoreemi tõestus. Jõudlus

näited koosinusteoreemi rakendamisest probleemide lahendamisel.

Teadmiste eneserakendamine. (Mini test).

5. Peegeldus. Õppetund kokku võttes.

Tundide ajal

1. etapp Organisatsiooniline. Tervitan õpilasi ja kontrollin koolilaste töökoha valmisolekut klassi jaoks. Loon töömeeleolu, teatan õpilastele, et tunni ajal hindavad nad ennast töökaardile märke pannes.

2. etappÕpilaste teadmiste uuendamine, hüpoteesi pakkumine.

Teen ettepaneku alustada soojendusega (test) vastavalt valemitele "Valamisvalemid", "Siinus, koosinus ja puutuja väärtused nurkade jaoks 0⁰ kuni 180⁰".

Kirjutage üles valem punktide vahelise kauguse leidmiseks nende koordinaatide järgi.

3. etapp Probleemolukorra loomine, selle lahendus.Motivatsioon ja eesmärkide seadmine.

Probleemne ülesanne suurendab õpilaste motivatsiooni edasiseks kognitiivseks tegevuseks. Tunni eesmärgi seadmiseks ja tunni tulemuste ennustamiseks on korraldatud olukord, näiteks on vaja välja selgitada universaalne viis kolmnurga kolmanda külje pikkuse leidmiseks ülejäänud kahe teadaoleva pikkuse järgi. küljed ja nendevaheline nurk.

Rühmatöö.

Probleemi lahendus . Ülesanne. Punktide vahelise kauguse valemi abil leidke BC külje pikkus▲ ABC, kui A (0; 0), B (c; 0), C (bcosA ; bsinA ).

Väljund: anname saadud võrdsuse sõnalise sõnastuse. Saame teoreemi nimega koosinus teoreem:

kolmnurga külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, millest on lahutatud kahekordne nende külgede korrutis nendevahelise nurga koosinusiga.

Üks koosiinusteoreemi ilusamaid ja lihtsamaid tõendeid on selle tõestamine koordinaattasandil.

Kas võime öelda, et Pythagorase teoreem on koosinusteoreemi erijuhtum? Jah, sest cos 90 o = 0.

4. etapp. Füüsiline minut.

6 etapp. Probleemi avaldus: kui palju elemente peab probleemi lahendamiseks teadma? Ehitage mudel, määrake probleemi tüüp, uurige seoseid ja seoseid kolmnurga elementide vahel .

Küsimus aruteluks denia. Millist probleemi saab lahendada koosinusteoreemi abil?

Seda teades on vorm a 2 = b 2 + c 2 - 2bc × cosγ, teisendage see avaldis nii, et soovitud väärtus oleks nurk γ: b 2 + c 2 = 2bc × cosγ + a 2 .
Seejärel andke näidatud võrrand mõnevõrra erinevasse vormi: b 2 + c 2- a 2 = 2 miljardit × cosγ. Seejärel järgneb antud väljend allolevasse:

cosγ = √b 2 + c 2 -a2 / 2bc.
Küsimus aruteluks denia. Mida saab selle valemi abil leida?

Kolmnurga nurga koosinususe väärtus.

Õpilastel palutakse arvutada suurema nurga koosinus koos kolmnurga teadaoleva pikkusega kolmnurgaga ja määrata selle kolmnurga tüüp.

Arvutage kolmnurga suurema nurga koosinus, kui selle küljed on võrdsed:

Variant number 1

Variant number 2

Variant number 3

c = 6, b = 8, a = 9

c = 6, b = 8, a = 10

c = 6, b = 8, a = 11

sest 19/96

cos 0

cos 0

79 0

90 0

103 0

Iga rühma arvutuste tulemused kantakse tabelisse, arutatakse läbi ja tehakse järeldused:

Kolmnurga tüübi (teravnurkne, ristkülikukujuline, nüri) määramiseks

vajalik:

Arvutage suurema külje vastas oleva nurga koosinus.

Kui cos 0, teravnurkse kolmnurga;

Kui cos 0, ristkülikukujuline kolmnurk;

Kui cos 0, kolmnurk on nüri.

Küsimus aruteluks denia.Kuidas saate sellele küsimusele vastata ilma suurima nurga koosinust arvutamata? Meenutan teoreemi kolmnurga külgede ja nurkade vahelise suhte kohta. (Suurema külje vastas asuvas kolmnurgas on suurem nurk ja vastupidi, suurem külg asub suurema nurga vastas).

VÄLJUND.

Olgu c suurim külg
- kui koos 2 < a 2 + b 2, siis on kolmnurk terava nurga all;
- kui koos 2 = a 2 + b 2, siis on kolmnurk ristkülikukujuline;
- kui koos 2 > a 2 + b 2, siis on kolmnurk nüri.

Kontrollige lõpetatud ülesannete väljundit (kodus).

7. etapp. Pikaajalise plaani koostamine edasiseks tööks.

- õpetaja küsimus : Küsimus arutamiseks... Milliseid probleeme saab lahendada koosinusteoreemi abil?

- õpilaste vastused

leidke kolmanda külje pikkus teadaolevate kahe teise järgi ja nendevaheline nurk;

määrake kolmnurga nurk (nurga koosinus) kolme teadaoleva külje järgi

määrake kolmnurga kuju kolme teadaoleva külje järgi

5 etapp. Ankurdamine. Mini - tes

Mini test

Seisukord

Vastusevariandid

Külgedega kolmnurgas m , n , lk külje vastu

lk asub nurk α ... Siis on järgmine tõsi.

valem:

A) m 2 n 2 lk 2 2 np cosα

B) m n 2 lk 2 2 np cos α

V) lk 2 m 2 n 2 mn cos α ;

G) lk m 2 n 2 mn cos α ;

Kui kolmnurga suurema nurga koosinus

on negatiivne, siis see kolmnurk:

A) terava nurga all; B) ristkülikukujuline;

V) nüri.

Kolmnurga kahe külje pikkused on võrdsed ja 3 ning nurk

nende vahel 45 0. Siis on kolmanda külje pikkus järgmine:

A) 2; B) 3; B) √ 5; G) 5

Kolmnurgas on külgede pikkused võrdsed √3; 4; √7. Määrake kolmnurga tüüp

A) terava nurga all; B) ristkülikukujuline;

V) nüri.

Eksam.

Vastusevariandid

1

V) lk 2 m 2 n 2 mn cosα ;

2

V) nüri.

3

B) √ 5

4

V) nüri

Mida tuleb tunni lõpetamiseks veel teha? "

Õpilased: "Tehke kodutööd."

Õpetaja: "Kui te oleksite õpetaja, siis milliseid kodutöid te annaksite?"

8. etapp. Kodutöö. Lk 98, Nr 1025 (d).

Teen ettepaneku panna töökaartidesse lõplik märk ja viia läbi tabeli täitmine.

Arutelu tabeli täitmisel. Hinnangud

Lisad nr 1. Soojendus. Test

"Valamisvalemid", "Siinuse, kosinuse ja puutuja väärtused nurkadele vahemikus 0-180 °"

1. patt (90 ⁰ - α ) =

2. cos (90 ⁰ - α ) =

3. patt (180 ⁰ - α ) = 1.cosα 2.sinα 3. - cosα 4. - sinα

4. cos (180 ⁰ - α ) 1) cosα 2) sinα 3) - cosα 4) - sinα

5. sest 60 ⁰ = 1) 2) 3)

6. kos 30 ⁰ = 1) 2) 3)

Slaid 3

10. sajandil. Bagdadi õpetlane Muhammad Bujanist, tuntud kui Abu al-Vefa, sõnastas siinuste teoreemi. Nusir-ed-Din of Tus (1201-1274) kaalus süstemaatiliselt kõiki kaldus sfääriliste kolmnurkade lahendamise juhtumeid ja märkis hulga uusi lahendusi. 12. sajandil. tõlgiti araabia keelest ladina keelde mitmeid astronoomilisi teoseid, mis võimaldasid eurooplastel nendega tutvuda. Kuid kahjuks jäi palju tõlkimata ja silmapaistev saksa astronoom ja matemaatik Johann Müller (1436-1476), keda tema kaasaegsed tundsid kui Regiomontana (nii tõlgitakse tema kodulinna Konigsbergi nimi ladina keelde), 200 aastat pärast Nasiri - toim- Dean avastas oma teoreemid uuesti. Natuke ajalugu

Slaid 4

FRANCOIS VIET (1540 - 1603) Viet seisis uue teaduse - trigonomeetria - loomisel. Paljud trigonomeetrilised valemid kirjutas kõigepealt Viet. Aastal 1593 sõnastas ta esimesena koosinuslause verbaalses vormis. Kosiinus on ladinakeelse väljendi completelysinus, see tähendab „täiendav siinus” (või muul viisil „täiendava kaare siinus”; cosa = pat (90 ° - a)) kokkutõmbumine.

Slaid 5

Siinuse ja koosinuse tänapäevast tähistust märkide sinx ja cos x abil tutvustas esmakordselt 1739. aastal I. Bernoulli kirjas Peterburi matemaatikule L. Eulerile. Jõudes järeldusele, et need nimetused on väga mugavad, hakkas ta neid oma matemaatilistes töödes kasutama. Lisaks tutvustab Euler nurga x trigonomeetriliste funktsioonide jaoks järgmisi lühendeid: tang x, võrevoodi x, sekund x, cosec x.

Slaid 6

Esitage kolmnurga ala teoreem

Kolmnurga pindala on pool selle kahe külje korrutisest nende vahelise nurga siinusega. Kirjutage üles kolmnurga ABC A B C pindala

Slaid 7

Siinuse teoreem

Kolmnurga küljed on võrdelised vastandnurkade siinustega M F N А В С Kirjutage kolmnurga MNF siinuste teoreem

Slaid 8

Kirjutage siinusteoreem kolmnurkade jaoks: