Krivulje drugega reda na ravnini so črte, določene z enačbami, v katerih spremenljivka koordinira x in y ki jih vsebuje druga stopnja. Sem spadajo elipsa, hiperbola in parabola.

Splošni pogled na enačbo krivulje drugega reda je naslednji:

kje A, B, C, D, E, F- številke in vsaj enega od koeficientov A, B, C ni nič.

Pri reševanju problemov s krivuljami drugega reda se najpogosteje upoštevajo kanonične enačbe elipse, hiperbole in parabole. Nanje je enostavno preiti iz splošnih enačb; temu bo namenjen primer 1 težav z elipsami.

Elipsa, ki jo daje kanonična enačba

Opredelitev elipse. Elipsa je niz vseh točk ravnine, za katere je vsota razdalj do točk, imenovanih žarišča, konstantna vrednost in večja od razdalje med žarišči.

Fokusi so označeni kot na spodnji sliki.

Kanonična enačba elipse je:

kje a in b (a > b) so dolžine polosov, to je polovica dolžin segmentov, ki jih elipsa odreže na koordinatnih osi.

Ravna črta, ki poteka skozi žarišča elipse, je njena os simetrije. Druga os simetrije elipse je ravna črta, ki poteka skozi sredino odseka, pravokotno na ta segment. Točka O presečišče teh črt služi kot središče simetrije elipse ali preprosto središče elipse.

Os abscise seka elipso v točkah ( a, O) in (- a, O), os ordinata pa je v točkah ( b, O) in (- b, O). Te štiri točke se imenujejo oglišča elipse. Odsek med oglišči elipse na osi abscise imenujemo njena glavna os, na osi ordinatov pa pomožna os. Njihovi odseki od vrha do središča elipse se imenujejo polosi.

Če a = b, potem ima enačba elipse obliko. To je enačba kroga polmera a, krog pa je poseben primer elipse. Elipso lahko dobimo iz kroga polmera ače ga stisnete a/b krat vzdolž osi Oj .

Primer 1. Preverite, ali je črta podana s splošno enačbo , elipsa.

Rešitev. Izvedemo preoblikovanje splošne enačbe. Uporabljamo prenos prostega izraza na desno stran, časovno delitev enačbe za isto število in zmanjšanje ulomkov:

Odgovor. Nastala enačba je kanonična enačba elipse. Zato je ta črta elipsa.

Primer 2. Napišite kanonično enačbo elipse, če sta njeni polosi 5 oziroma 4.

Rešitev. Ogledamo si formulo za kanonično enačbo elipse in nadomestka: glavna polos je a= 5, manjša polos je b= 4. Dobimo kanonično enačbo elipse:

Točke in, označene z zeleno na glavni osi, kjer

se imenujejo triki.

poklical ekscentričnost elipse.

Odnos b/a označuje "sploščenje" elipse. Manjše kot je to razmerje, bolj se elipsa podaljša vzdolž glavne osi. Stopnja raztezanja elipse pa je pogosteje izražena z ekscentričnostjo, katere formula je navedena zgoraj. Za različne elipse se ekscentričnost spreminja od 0 do 1, pri čemer vedno ostane manj kot ena.

Primer 3. Napišite kanonično enačbo elipse, če je razdalja med žarišči 8 in glavno osjo 10.

Rešitev. Naredimo preproste sklepe:

Če je glavna os 10, potem njena polovica, to je polos a = 5 ,

Če je razdalja med žarišči 8, potem število c koordinate ostrenja so 4.

Nadomesti in izračunaj:

Rezultat je kanonična enačba elipse:

Primer 4. Napišite kanonično enačbo elipse, če je njena glavna os 26 in ekscentričnost.

Rešitev. Kot izhaja iz velikosti glavne osi in enačbe ekscentričnosti, je glavna polos osi elipse a= 13. Iz enačbe ekscentričnosti izrazimo število c potrebno za izračun dolžine manjše polosi:

.

Izračunamo kvadrat dolžine manjše polosi:

Sestavimo kanonično enačbo elipse:

Primer 5. Določite žarišča elipse, podane s kanonično enačbo.

Rešitev. Poiščite številko c določitev prvih koordinat žarišč elipse:

.

Dobimo fokus elipse:

Primer 6.Žarišča elipse se nahajajo na osi Ox simetrično glede izvora. Napišite kanonično enačbo elipse, če:

1) razdalja med žarišči je 30 in glavna os 34

2) pomožna os je 24 in eno od fokusov je v točki (-5; 0)

3) ekscentričnost in eden od fokusov je na točki (6; 0)

Še naprej skupaj rešujemo težave na elipsi

Če je poljubna točka elipse (na risbi je označena z zeleno barvo v zgornjem desnem delu elipse) in je do te točke oddaljena od žarišč, so formule za razdalje naslednje:

Za vsako točko, ki pripada elipsi, je vsota razdalj od žarišč konstantna vrednost, enaka 2 a.

Ravne črte, določene z enačbami

se imenujejo direktorji elipse (na risbi - rdeče črte na robovih).

Iz zgornjih dveh enačb sledi, da za vsako točko elipse

,

kje in so razdalje te točke do direktriksa in.

Primer 7. Podana je elipsa. Naredite enačbo za njegove direktorje.

Rešitev. Pogledamo enačbo directrix in ugotovimo, da je treba najti ekscentričnost elipse, tj. Vsi podatki za to so tam. Izračunamo:

.

Dobimo enačbo za directrix elipse:

Primer 8. Napišite kanonično enačbo elipse, če so njeni žarišča točke, direktne črte pa ravne črte.

11.1. Osnovni pojmi

Upoštevajte črte, določene z enačbami druge stopnje glede na trenutne koordinate

Koeficienti enačbe so realna števila, vendar je vsaj eno od števil A, B ali C ničelno. Takšne črte imenujemo črte (krivulje) drugega reda. Spodaj bo ugotovljeno, da enačba (11.1) definira krog, elipso, hiperbolo ali parabolo na ravnini. Preden nadaljujemo s to trditvijo, preučimo lastnosti navedenih krivulj.

11.2. Krog

Najenostavnejša krivulja drugega reda je krog. Spomnimo se, da je krog polmera R s središčem na točki množica vseh točk Μ ravnine, ki izpolnjujejo pogoj. Naj ima točka v pravokotnem koordinatnem sistemu koordinate x 0, y 0 in - poljubno točko kroga (glej sliko 48).

Nato iz pogoja dobimo enačbo

(11.2)

Enačbi (11.2) ustrezajo koordinate katere koli točke danega kroga, koordinate katere koli točke, ki ne leži na krogu, pa ne.

Kliče se enačba (11.2) kanonično enačbo kroga

Zlasti z nastavitvijo in dobimo enačbo kroga s središčem v izhodišču .

Enačba kroga (11.2) po preprostih transformacijah bo dobila obliko. Če primerjamo to enačbo s splošno enačbo (11.1) krivulje drugega reda, je enostavno videti, da sta za enačbo kroga izpolnjena dva pogoja:

1) koeficienta pri x 2 in y 2 sta med seboj enaka;

2) ni izraza, ki bi vseboval zmnožek xy trenutnih koordinat.

Razmislite o obratnem problemu. Če vnesemo vrednosti in v enačbo (11.1), dobimo

Pretvorimo to enačbo:

(11.4)

Iz tega sledi, da enačba (11.3) definira krog pod pogojem ... Njegovo središče je na točki in polmer

.

Če , potem ima enačba (11.3) obliko

.

Zadovoljen je s koordinatami posamezne točke ... V tem primeru pravijo: "krog se je izrodil v točko" (ima polmer nič).

Če , potem enačba (11.4) in s tem enakovredna enačba (11.3) ne bo definirala nobene črte, saj je desna stran enačbe (11.4) negativna, leva pa negativna (recimo: "namišljeni krog").

11.3. Elipse

Kanonična enačba elipse

Elipse imenovano množica vseh točk ravnine, vsota razdalj od vsake do dveh danih točk te ravnine, imenovana triki , obstaja konstantna vrednost, večja od razdalje med žarišči.

Fokusi označujemo z F 1 in F 2, razdalja med njima v 2 c, in vsota razdalj od poljubne točke elipse do žarišč - po 2 a(glej sliko 49). Po definiciji 2 a > 2c, tj. a > c.

Za izpeljavo enačbe elipse izberemo koordinatni sistem tako, da so žarišča F 1 in F 2 ležala na osi, začetek pa sovpadal s sredino odseka F 1 F 2... Potem bodo žarišča imela naslednje koordinate: in.

Naj bo poljubna točka elipse. Nato po definiciji elipse, tj.

To je v bistvu enačba elipse.

Enačbo (11.5) pretvorimo v enostavnejšo obliko:

Ker a>z, potem. Postavili smo

(11.6)

Nato zadnja enačba dobi obliko oz

(11.7)

Lahko se dokaže, da je enačba (11.7) enakovredna prvotni enačbi. To se imenuje enačbo kanonične elipse .

Elipsa je krivulja drugega reda.

Študija oblike elipse z njeno enačbo

Določimo obliko elipse z njeno kanonično enačbo.

1. Enačba (11.7) vsebuje x in y le v parnih stenah, zato, če točka pripada elipsi, ji pripadajo tudi točke ,,. Iz tega sledi, da je elipsa simetrična glede na osi in tudi glede na točko, imenovano središče elipse.

2. Poišči presečišča elipse s koordinatnimi osmi. Če vstavimo, najdemo dve točki in na katerih os seka elipso (glej sliko 50). Z enačbo (11.7) najdemo presečišča elipse z osjo: in. Točke A 1 , A 2 , B 1, B 2 se imenujejo oglišča elipse... Segmenti A 1 A 2 in B 1 B 2, pa tudi njihove dolžine 2 a in 2 b so ustrezno poimenovani velike in majhne osi elipse. Številke a in b imenujemo velike in majhne pol-osi elipse.

3. Iz enačbe (11.7) sledi, da vsak člen na levi strani ne presega enote, to je neenakosti in ali in se pojavljajo. Zato so vse točke elipse znotraj pravokotnika, ki ga tvorijo ravne črte.

4. V enačbi (11.7) je vsota negativnih členov enaka ena. Posledično se bo s povečanjem enega mandata drugi zmanjšal, to je, če se poveča, potem se zmanjša in obratno.

Iz povedanega izhaja, da ima elipsa obliko, prikazano na sl. 50 (ovalna zaprta krivulja).

Več o elipsi

Oblika elipse je odvisna od razmerja. Ko se elipsa spremeni v krog, dobi enačba elipse (11.7) obliko. Razmerje se pogosto uporablja kot značilnost oblike elipse. Razmerje polovice razdalje med žarišči in pol-veliko osjo elipse imenujemo ekscentričnost elipse, o6o pa označimo s črko ε ("epsilon"):

in 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Iz tega je razvidno, da manjša kot je ekscentričnost elipse, manj je sploščena elipsa; če postavimo ε = 0, se elipsa spremeni v krog.

Naj bo M (x; y) poljubna točka elipse z žarišči F 1 in F 2 (glej sliko 51). Dolžine segmentov F 1 M = r 1 in F 2 M = r 2 imenujemo žariščni polmeri točke Μ. Očitno je,

Naslednje formule so veljavne

Ravne črte se imenujejo

Izrek 11.1.Če je razdalja od poljubne točke elipse do neke fokusa, d je razdalja od iste točke do direktrike, ki ustreza temu fokusu, potem je razmerje konstantna vrednost, ki je enaka ekscentričnosti elipse:

Enakost (11.6) to pomeni. Če torej enačba (11.7) definira elipso, katere glavna os leži na osi Oy, manjša os pa na osi Ox (glej sliko 52). Žarišča take elipse so na točkah in, kjer .

11.4. Hiperbola

Kanonična enačba hiperbole

Hiperbola se imenuje množica vseh točk ravnine, modul razlike med razdaljami od vsake do ene do dveh danih točk te ravnine, imenovano triki , je konstantna vrednost manjša od razdalje med žarišči.

Fokusi označujemo z F 1 in F 2 razdalja med njima 2c, in modul razlike med razdaljami od vsake točke hiperbole do žarišč skozi 2a... A-priorat 2a < 2c, tj. a < c.

Za izpeljavo enačbe hiperbole izberemo koordinatni sistem tako, da so žarišča F 1 in F 2 ležala na osi, začetek pa sovpadal s sredino odseka F 1 F 2(glej sliko 53). Potem bodo fokusi imeli koordinate in

Naj bo poljubna točka hiperbole. Nato po definiciji hiperbole ali, to je. Po poenostavitvah, kot je bilo storjeno pri izpeljavi enačbe elipse, dobimo kanonična enačba hiperbole

(11.9)

(11.10)

Hiperbola je črta drugega reda.

Študija oblike hiperbole z njeno enačbo

Določimo obliko hiperbole z njeno kakonično enačbo.

1. Enačba (11.9) vsebuje x in y samo v parnih poljih. Posledično je hiperbola simetrična glede na osi in tudi glede na točko, imenovano središče hiperbole.

2. Poišči presečišča hiperbole s koordinatnimi osmi. Z enačbo (11.9) najdemo dve presečišči hiperbole z osjo: in. Če vstavimo (11.9), dobimo tisto, kar ne more biti. Posledično hiperbola ne seka osi Oy.

Točke in so poklicane vrhovi hiperbolo in segment

realna os , razdelek - prava polos hiperbola.

Odsek, ki povezuje točke, se imenuje namišljena os , številka b - namišljena polos ... Pravokotnik s stranicami 2a in 2b poklical glavni pravokotnik hiperbole .

3. Iz enačbe (11.9) izhaja, da vrednost, ki jo je treba zmanjšati, ni manjša od ena, to je, da oz. To pomeni, da se točke hiperbole nahajajo desno od ravne črte (desna veja hiperbole) in levo od ravne črte (leva veja hiperbole).

4. Iz enačbe (11.9) hiperbole je razvidno, da ko se poveča, se tudi poveča. To izhaja iz dejstva, da razlika ostaja konstantna, enaka ena.

Iz povedanega izhaja, da ima hiperbola obliko, prikazano na sliki 54 (krivulja, sestavljena iz dveh neomejenih vej).

Asimptote hiperbole

Linija L se imenuje asimptota neomejeno krivuljo K, če je razdalja d od točke M krivulje K do te ravne črte nagnjena k nič na neomejeni razdalji točke M vzdolž krivulje K od začetka. Slika 55 ponazarja pojem asimptote: črta L je asimptota za krivuljo K.

Pokažimo, da ima hiperbola dve asimptoti:

(11.11)

Ker sta ravni črti (11.11) in hiperbola (11.9) simetrični glede na koordinatne osi, zadostuje upoštevanje le tistih točk navedenih črt, ki se nahajajo v prvi četrtini.

Na ravni črti vzemite točko N z enako absciso x kot točko na hiperboli (glej sliko 56) in poiščite razliko ΜΝ med ordinatami črte in vejo hiperbole:

Kot lahko vidite, ko se x poveča, se imenovalec ulomka poveča; števec je konstanta. Zato je dolžina segmenta ΜΝ se nagiba k ničli. Ker je ΜΝ večja od razdalje d od točke Μ do ravne črte, potem d še bolj teži k ničli. Ravne črte so torej asimptote hiperbole (11.9).

Pri gradnji hiperbole (11.9) je priporočljivo najprej zgraditi glavni pravokotnik hiperbole (glej sliko 57), potegniti ravne črte, ki gredo skozi nasprotna oglišča tega pravokotnika, asimptote hiperbole in označiti oglišča in , hiperbole.

Enakovredna enačba hiperbole.

katerih asimptote so koordinatne osi

Hiperbola (11.9) se imenuje enakostranična, če sta njeni polsi enaki (). Njena kanonična enačba

(11.12)

Asimptote enakostranične hiperbole imajo enačbe in so zato simetrale koordinatnih kotov.

Razmislite o enačbi te hiperbole v novem koordinatnem sistemu (glej sliko 58), pridobljeni iz starega z vrtenjem koordinatnih osi za kot. Za vrtenje koordinatnih osi uporabljamo formule:

Vrednosti x in y nadomestite v enačbo (11.12):

Enačba enakostranične hiperbole, za katero sta osi Ox in Oy asimptoti, bo imela obliko.

Več o hiperboli

Ekscentričnost hiperbola (11.9) se imenuje razmerje razdalje med žarišči in vrednostjo prave osi hiperbole, označeno z ε:

Ker je pri hiperboli ekscentričnost hiperbole večja od ena :. Ekscentričnost označuje obliko hiperbole. Enakost (11.10) dejansko pomeni, da je in .

Zato je jasno, da manjši kot je ekscentričnost hiperbole, nižje je razmerje njenih polosov in s tem bolj podolgovat njen glavni pravokotnik.

Ekscentričnost enakostranične hiperbole je. Res,

Focal Radii in za točke desne veje imajo hiperbole obliko in za levo vejo pa in .

Ravne črte imenujemo hiperbolične direktrice. Ker je za hiperbolo ε> 1, potem. To pomeni, da se desna direktrika nahaja med središčem in desnim ogliščem hiperbole, leva med središčem in levim oglom.

Hiperbolične direktrice imajo enako lastnost kot elipse.

Krivulja, definirana z enačbo, je tudi hiperbola, katere dejanska os 2b se nahaja na osi Oy in namišljena os 2 a- na osi Ox. Na sliki 59 je prikazana s črtkano črto.

Očitno je, da imajo hiperbole skupne asimptote. Takšne hiperbole imenujemo konjugirane.

11.5. Parabola

Kanonična enačba parabole

Parabola je množica vseh točk ravnine, od katerih je vsaka enako oddaljena od dane točke, imenovane fokus, in dane ravne črte, imenovane directrix. Razdalja od žarišča F do direktriksa se imenuje parameter parabole in je označena s p (p> 0).

Za izpeljavo enačbe parabole izberemo koordinatni sistem Oxy, tako da os Ox prehaja skozi žarišče F pravokotno na direktrico v smeri od direktriksa do F, izvor koordinat O pa na sredini med fokusom in directrix (glej sliko 60). V izbranem sistemu ima fokus F koordinate, enačba directrix pa ima obliko, oz.

1. V enačbi (11.13) je spremenljivka y vključena v enakomerno moč, kar pomeni, da je parabola simetrična glede na os Ox; os Ox je os simetrije parabole.

2. Ker je ρ> 0, iz (11.13) sledi, da. Posledično se parabola nahaja desno od osi Oy.

3. Kajti, imamo y = 0. Posledično parabola prehaja skozi izvor.

4. Ker se x neskončno povečuje, se tudi modul y povečuje v nedogled. Parabola ima obliko (obliko), prikazano na sliki 61. Točko O (0; 0) imenujemo vrh parabole, segment FM = r imenujemo žariščni polmer točke M.

Enačbe ,, ( p> 0) definirajo tudi parabole, prikazane so na sliki 62

Z lahkoto je prikazano, da je graf kvadratnega trinoma, kjer sta B in C katera koli realna števila, parabola v smislu zgornje opredelitve.

11.6. Splošna enačba črt drugega reda

Enačbe krivulj drugega reda z osmi simetrije, vzporednimi s koordinatnimi osmi

Najprej poiščimo enačbo elipse s središčem v točki, katere simetrijske osi so vzporedne s koordinatnima osema Ox in Oy, polosja pa sta enaka a in b... V središče elipse O 1 postavimo izvor novega koordinatnega sistema, katerega osi in polosi a in b(glej sliko 64):

Končno imajo parabole, prikazane na sliki 65, ustrezne enačbe.

Enačba

Enačbe elipse, hiperbole, parabole in enačbo kroga po transformacijah (odprite oklepaje, premaknite vse člene enačbe v eno smer, prinesite podobne izraze, uvedite nove oznake za koeficiente) lahko zapišete z eno samo enačba oblike

kjer koeficienta A in C nista hkrati enaka nič.

Postavlja se vprašanje: ali enačba oblike (11.14) določa eno od krivulj (krog, elipsa, hiperbola, parabola) drugega reda? Odgovor daje naslednji izrek.

Izrek 11.2... Enačba (11.14) vedno določa: krog (za A = C) ali elipso (za A C> 0) ali hiperbolo (za A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Splošna enačba drugega reda

Zdaj razmislite o splošni enačbi druge stopnje z dvema neznankama:

Od enačbe (11.14) se razlikuje po prisotnosti izraza z produktom koordinat (B¹ 0). Z zasukom koordinatnih osi pod kotom a je možno to enačbo preoblikovati tako, da v njej ni izraza s produktom koordinat.

S pomočjo formul vrtenja osi

stare koordinate izražamo z novimi:

Izberemo kot a tako, da koeficient pri x "· y" izgine, torej da je enakost

Ko se osi vrtijo pod kotom a, ki izpolnjuje pogoj (11.17), se enačba (11.15) zmanjša na enačbo (11.14).

Izhod: splošna enačba drugega reda (11.15) definira naslednje krivulje na ravnini (razen primerov degeneracije in razpada): krog, elipsa, hiperbola, parabola.

Opomba: Če je A = C, potem enačba (11.17) izgubi pomen. V tem primeru je cos2α = 0 (glej (11.16)), potem je 2α = 90 °, to je α = 45 °. Torej, ko je A = C, je treba koordinatni sistem zasukati za 45 °.

Prepis

1. poglavje DRUGE VRSTE NAROČILA NA RAVNINI. Elipsa, hiperbola, parabola Definicija. Elipsa je množica vseh točk ravnine, za katere je vsota razdalj do dveh danih točk F 1 in F konstantna vrednost, ki presega razdaljo med F 1 in. M (, x) F 1 О F x Sl. Točki F 1 in F se imenujeta goriščni točki elipse, razdalja FF 1 med njima pa je goriščna razdalja, ki je označena s c. Naj točka M pripada elipsi. Odseka F1 M in F M se imenujeta žariščni polmeri točke M. Naj bo F1F = c. Po definiciji je a> c. Razmislite o pravokotnem kartezijanskem koordinatnem sistemu Ox, v katerem sta žarišči F 1 in F na osi abscise simetrično glede na izvor. V tem koordinatnem sistemu je elipsa opisana s kanonično enačbo: x + = 1, a b 1

2. kjer je b = a c Parametra a in b se imenujeta glavna in manjša polosi elipse. Ekscentričnost elipse je število ε, ki je enako razmerju polovice njegove goriščne razdalje c do pol-velike osi, tj. ε =. Ekscentričnost elipse a izpolnjuje neenakosti 0 ε< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Enačba kanonične hiperbole ima obliko x a = b 1,. kjer je b = c a Številki a in b se imenujeta realna in namišljena polosi hiperbole. Znotraj območja, ki ga opredeljuje neenakost, ni hiperbole. x a b Opredelitev. Asimptote hiperbole so ravne črte, b b podane z enačbami = x, = x. a a Žariščne polmere točke M (x,) hiperbole lahko najdemo po formulah r 1 = ε x a, r = ε x + a. Ekscentričnost hiperbole, tako kot pri elipsi, je določena s formulo ε =. Preprosto je preveriti, ali neenakost ε a> 1 velja za ekscentričnost hiperbole. Opredelitev. Parabola je množica vseh točk ravnine, pri katerih je razdalja do dane točke F enaka razdalji do dane ravne črte d, ki ne prehaja skozi točko F. Točka F se imenuje žarišče parabole in ravna črta d se imenuje directrix. Razdalja od žarišča do direktriksa se imenuje parameter parabole in je označena s p. d M (x,) F x Sl. 4 3

4 Izberite izvor O kartezijanskega koordinatnega sistema na sredini odseka FD, ki je pravokoten, ki je padel s točke F na črto d. V tem koordinatnem sistemu ima fokus F koordinate F p p; 0, direktrika d je podana z enačbo x + = 0. Kanonična enačba parabole je: = px. Parabola je simetrična glede na os OF, imenovana os parabole. Točko O presečišča te osi s parabolo imenujemo točko parabole. Žariščni polmer točke M (x,) tj. njeno p razdaljo do ostrenja najdemo po formuli r = x +. 10B .. Splošna enačba črte drugega reda Črta drugega reda je niz točk ravnine, katerih koordinate x in ki ustrezajo enačbi ax + ax + a + ax + a + a = 0, 11 1, kjer je a11 , a1, a, a10, a0, a00 nekatera realna števila in a, a, a niso hkrati enaka nič. Ta enačba se imenuje splošna enačba krivulje drugega reda in se lahko zapiše tudi v vektorski obliki rr rr (Ax, x) + (b, x) + a = 0, kjer je 00 a11 a1 rr A =, a1 ab = (a10; a0), x = (x;). T Ker je A = A, je A matrika kvadratne oblike r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x + a Elipsa, hiperbola in parabola so primeri krivulj drugega reda v ravnini. Poleg teh krivulj obstajajo še druge vrste krivulj drugega reda, ki so povezane s x črtami. Tako je na primer enačba = 0, kjer je a 0, b 0, a b 4

5 definira par sekajočih se črt na ravnini. Koordinatni sistemi, v katerih ima enačba krivulje najpreprostejšo obliko, se imenujejo kanonični. Z uporabo sestave transformacij: vrtenje osi skozi kot α, vzporedni prevod začetka v točko (x0; 0) in odsev okoli osi abscise se enačba krivulje drugega reda zmanjša na eno od kanoničnih enačbe, katerih glavne so bile navedene zgoraj. 11BPrimeri 1. Naredite kanonično enačbo elipse s središčem na izhodišču in žarišči na osi abscise, če je znano, da je njena ekscentričnost ε = in točka N (3;) na tretji elipsi. x a b Elipsna enačba: + = 1. Imamo to =. a b a 3 9 Iz tega izračunamo, da je a = b. Če v enačbo nadomestimo koordinate točke N (3;), dobimo + = 1 in nato b = 9 in a b 81 a = = 16,. Posledično je kanonična enačba elipse 5 x + = 1. podana je hiperbola in ekscentričnost ε =. x Kanonična enačba hiperbole = 1. Iz enakosti a b a + b = imamo b = a 5 9. Zato = 1 in a = 16. Zato je kanonična enačba elipse = a a a x 16 5

6 3. Poišči točke na paraboli = 10x, katerih žariščni polmer je 1,5. Upoštevajte, da se parabola nahaja v desni pol ravnini. Če M (x; leži na paraboli, potem x 0. Parameter p = 5. Naj bo (;)) M x zahtevana točka, F fokus, () directrix parabole. Nato F, 5; 0, d: x =, 5. Ker je FM = ρ (M, d), potem x +, 5 = 1,5, 10 Odgovor: () 1 10; 10 x =, = 100, = ± 10. Torej, imamo dve točki. M10; 10 M, () 4. Na desni veji hiperbole, podani z enačbo x = 1, poišči točko, katere razdalja od desnega fokusa je 16 9 dvakrat manjša od razdalje od leve fokusa. Za desno vejo hiperbole so žariščni polmeri določeni s formulama r 1 = ε x a in r = ε x + a. Zato dobimo enačbo ε x + a = (ε x a). Za dano hiperbolo je a = 4, 5, c = 5 in ε =. Zato je x = 9,6. Zato imamo = ± x 16 = ± d Odgovor: dve točki M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Poiščite enačbo črte, za katero koli točko, pri kateri je razmerje razdalje do točka F (3; 0) do razdalje do ravne črte 1 x 8 = 0 je ε =. Določite ime črte in njene parametre. M x; želeno črto, velja enakost: Za poljubno točko () FM (x 3) + 1 = =. ρ (Ml,) x 8 6

7 Zato imamo [(x 3) +] = (x 8). Če razširimo oklepaje in prerazporedimo izraze, dobimo (x +) + = 50, t.j. (x +) + = Odgovor: zahtevana črta je elipsa s središčem v točki in polosima a = 5 in b = Poišči enačbo hiperbole Stare koordinate koordinat O () x; 0; ;,;. C (; 0) = 8 v novem sistemu (x;) in novih (zt;) povezuje matrična enakost 1 1 x z 1 z + t = 1 1 t = z t. Zato je enačba x = 8 z + t z t = 8, zt = 4. Odgovor: zt = 4. γ: 4x 4x + 8x + 4+ 3 = 0 na kano- 7. Krivuljo pripeljimo v edinstveno obliko. v novih koordinatah ima obliko Razmislite o kvadratni obliki () q x, = 4x 4x +. Matrica oblike q ima lastne vrednosti 5 in 0 ter ustrezne ortonormne vektorje in pojdimo na nov koordinatni sistem: 7

8 z 1 1 x. t = 5 1 Izražimo stare koordinate (x;) skozi nove (zt); : 1 1 z + tx 1 z = 1 t =, 1 zt pomeni, x = z + t, = z + t Če te izraze nadomestimo z enačbo krivulje γ, dobimo 0 = 4x 4x + 8x = x = z + 1 t, = 1 z + t () () () () = 5z 4 5z + 3 = z 5 4 z 5 + 3 = z 5 1 z 5 3. Zato je v novih koordinatah podana krivulja γ po enačbi 1 3 γ: zz =. Nastavitev = z, x = t, dobimo γ: =, 1 od koder najdemo kanonično enačbo krivulje γ: = 0 v kanoničnih koordinatah = 5 x 1 1 x Upoštevajte, da je krivulja γ par vzporednih črt. 1B Dodatek k gospodarskim in finančnim težavam 8. Naj imajo Anya, Boris in Dmitry za nakup sadja po 150 rubljev. Znano je, da 1 kg hrušk stane 15 denarnih enot, 1 kg jabolk pa 10 denarnih enot. Poleg tega vsak od treh 8

9 ima svojo lastno uporabno funkcijo, za katero želi povečati pri nakupu. Naj se kupi x1 kg hrušk in x kg jabolk. Te pomožne funkcije so naslednje: u = x + x za Ani, 1 A 1 x u B = + x za Borisa in ud = x1 x za Dmitrija. Poiskati je treba načrt nakupa (x1, x) za Anjo, Borisa in Dmitrija, v katerem zagotavljajo največ svoje uporabne funkcije. x sl. 5 Zadevni problem je mogoče rešiti geometrijsko. Za rešitev tega problema je treba uvesti koncept ravni črte. x x 1 Sl. 6 Ravna črta funkcije z = f (x,) je množica vseh točk na ravnini, na katerih funkcija ohrani konstantno vrednost, ki je enaka h. x 9

10 V tem primeru bo rešitev uporabila tudi začetne koncepte geometrijskih domen na ravnini, ki jih določajo linearne neenakosti (glej pododdelek 1.4). x x 1 Sl. 7 Ravne črte funkcij ua, u B in u D predstavljajo ravne črte, elipse in hiperbole za Ani, Borisa in Dmitrija. V smislu problema predvidevamo, da je x1 0, x 0. Po drugi strani pa je proračunska omejitev zapisana kot neenakost 15x1 + 10x 150. Če zadnjo neenakost delimo z 10, dobimo 3x1 + x 30 ali + 1. Lahko je videti, da je x1 x področje rešitev te neenakosti skupaj s pogoji nenegativnosti trikotnik, omejen s črtami x1 = 0, x = 0 in 3x1 + x =

11 X * X * Sl. 8 Sl. 9 Na podlagi geometrijskih vzorcev je zdaj enostavno ugotoviti, da je uamax = ua (0,15) = 15, ubmax = ub (0,15) = 5 in udmax = ud (Q). Koordinate točke Q dotika hiperbole ravni stranice proračunskega trikotnika je treba že izračunati analitično. Če želite to narediti, upoštevajte, da točka Q izpolnjuje tri enačbe: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x "= =. X1 X * sl

12 Če iz enačb odstranimo h, dobimo koordinate točke Q = (x, x) = (5; 7.5). 1 Odgovor: Q = (x1, x) = (5; 7,5). 9. Nelinearni model stroškov in dobička podjetja. Naj podjetje proizvaja večnamensko opremo dveh vrst, A in B, v količini x oziroma proizvodnih enotah. V tem primeru je dohodek podjetja za leto izražen s funkcijo dohodka Rx (,) = 4x +, proizvodni stroški pa s funkcijo stroškov 1 1 Cx (,) = 7,5+ x + 4, ki jo podjetje prejme največji dobiček. Določite proizvodni načrt (x,) pri 3

13 Funkcija dobička je sestavljena kot razlika med dohodkovno funkcijo in funkcijo stroškov: 1 1 Π (x,) = R (x,) C (x,) = 4x + 7,5 x. 4 Po izvedbi transformacij se zadnji izraz zmanjša na obliko 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1). 4 Vrstice ravni za funkcijo dobička so (x 8) (1) = h. 4 Vsaka ravninska črta 0 h 9 je elipsa s središčem v izhodišču. Iz dobljenega izraza je enostavno razbrati, da je maksimum profitne funkcije 9 in je dosežen pri x = 8, = 1. Odgovor: x = 8, = 1. 13BVaje in testna vprašanja.1. Za krog napišite normalno enačbo. Poiščite koordinate središča in polmer kroga: a) x + + 8x 6 = 0; b) x x = 0 ... Naredite enačbo kroga, ki poteka skozi točke M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3; 0) .. 3. Določite elipso in napišite njeno kanonično enačbo. Napiši kanonično enačbo elipse, če je 1 njena ekscentričnost ε = in je pol-velika os enaka Napiši enačbo elipse, katere žarišča ležijo na osi ordinatov simetrično glede na izvor, pri čemer vemo, da , da je razdalja med njegovimi žarišči c = 4 in ekscentričnost ε = Določite ekscentričnost elipse. Poiščite ekscentričnost elipse, če je njena glavna os štirikrat manjša. 33

14 .6. Določite hiperbolo in zapišite njeno kanonično enačbo. Skozi točko M (0; 0,5) in desno točko hiperbole potegnemo ravno črto, podano z enačbo = 1. Poiščite koordinate druge presečišča ravne črte in hiperbole. Podajte definicijo ekscentričnosti hiperbole. Napiši njeno kanonično enačbo, če je a = 1, b = 5. Kakšna je ekscentričnost te hiperbole? .8. Napišite enačbe za asimptote hiperbole, podane s kanonično enačbo. Naredite enačbo hiperbole, 3 če so njene asimptote podane z enačbami = ± x in hiperbola 5 prehaja skozi točko M (10; 3 3). Določite parabolo in zapišite njeno kanonično enačbo. Naredite kanonično enačbo parabole, če je os abscise njena simetrična os, njeno oglišče leži na izhodišču, dolžina tetive parabole, pravokotne na os Ox, pa je 8, razdalja te tetive od oglišča je Na paraboli = 1x poišči točko, katere žariščni polmer je Predlog, povpraševanje po določenem izdelku pa podajo funkcije p = 4q 1, p = +. Poiščite točko tržnega ravnovesja. 1 q Ustvari grafe ... 1. Andrey, Katya in Nikolay bodo kupili pomaranče in banane. Kupite x1 kg pomaranč in x kg banan. Vsak od treh ima svojo uporabno funkcijo, ki dokazuje, kako koristen se mu zdi njegov nakup. Te uporabne funkcije so naslednje: u = x + x za Andreja, 1 4 A 4 1 u K = x + x za Katjo in un = x1 x za Nikolaja. a) Narišite vrstice ravni funkcije koristnosti za vrednosti ravni h = 1, 3. b) Za vsako uredite vrstni red nakupovalnih nastavitev rrr r = (4,1), s = ( 3,8), t = (1,1). 34

Modul analitične geometrije. Analitična geometrija na ravnini in v vesolju Predavanje 7 Povzetek Črte drugega reda na ravnini: elipsa, hiperbola, parabola. Opredelitev, splošne značilnosti.

PREDAVANJE N15. Krivulje drugega reda. 1. Krog ... 1. Elipse ... 1 3. Hiperbola .... 4. Parabola .... 4 1. Krog

8 Krivulje drugega reda 81 Krog Niz točk ravnine, enako oddaljene od ene točke, imenovane središče, na razdalji, imenovani polmer, imenovana krog Naj bo središče kroga

Predavanje 13 Tema: Krivulje drugega reda Krivulje drugega reda v ravnini: elipsa, hiperbola, parabola. Izpeljava enačb za krivulje drugega reda na podlagi njihovih geometrijskih lastnosti. Študija oblike elipse,

PREDAVANJE Črte drugega reda hiperbole Kot primer najdemo enačbe, ki opredeljujejo krog, parabolo, elipso in krog Krog je niz točk ravnine, enako oddaljene od dane

Krivulje drugega reda Krožna elipsa Hiperbola Parabola Naj bo na ravnini podan pravokotni kartezični koordinatni sistem. Krivulja drugega reda je niz točk, katerih koordinate ustrezajo

Ravna črta in ravnina v vesolju Linearna algebra (predavanje 11) 24.11.2012 2/37 Ravna črta in ravnina v vesolju Razdalja med dvema točkama M 1 (x 1, y 1, z 1) in M ​​2 (x 2, y 2, z 2)

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Jaroslavska državna univerza poimenovana po P. G. Demidova Oddelek za algebro in matematične logične krivulje drugega reda I. del Metodična navodila

3. Hiperbola in njene lastnosti Opredelitev 3 .. Hiperbola je krivulja, ki je v nekem pravokotnem kartezijanskem koordinatnem sistemu definirana z enačbo 0. (3.), enačba (3.) pa se imenuje kanonična enačba

Praktična lekcija 1 Tema: Načrt hiperbole 1 Opredelitev in kanonična enačba hiperbole Geometrijske lastnosti hiperbole Vzajemni položaj hiperbole in ravna črta, ki poteka skozi njeno središče Asimptote

Popis predavanj 13 ELLIPSE, HYPERBALL IN PARABOLA 0. Načrt predavanja Elipse, Hyperbola in Parabola. 1. Elipsa. 1.1. Definicija elipse; 1.2. Določitev kanonskega koordinatnega sistema; 1.3. Izpeljava enačbe

PARABOL HIPERBALNI ELEPSNI MODUL Praktična lekcija Tema: Načrt elipse Opredelitev in kanonična enačba elipse Geometrijske lastnosti elipse Ekscentričnost Odvisnost oblike elipse od ekscentričnosti

DRUGI PROBLEM 1. Ravna črta na ravnini. 1. Dve ravni črti sta podani z vektorskimi enačbami (, rn) = D in r = r + a in (an,) 0. Poišči vektor polmera na presečišču ravnih črt. 0 t Dana je točka M 0 z radijskim vektorjem

Krivulje drugega reda. Opredelitev: Črta krivulje) drugega reda je množica (M) točk ravnine, kartezične koordinate X, Y), ki ustrezajo algebrski enačbi druge stopnje:,

ALGEBRIČNE ČRTICE NA RAVNINI .. ČRTE PRVEGA POREDKA (LINEARE NA RAVNINI ... OSNOVNE VRSTE enačb linearnih linij v ravnini Ničelni vektor n, pravokoten na dano ravno črto, imenujemo normalen

Elipsa in njene lastnosti Opredelitev .. Elipsa je krivulja drugega reda, določena v nekem pravokotnem kartezijanskem koordinatnem sistemu z enačbo b, b 0. (.) Enakost (.) Imenujemo kanonično

0,5 setgray0 0,5 setgray1 1 predavanje 9 Elipse, HIPERBAL IN PARABOL 1. Kanonična enačba elipse Opredelitev 1. Elipsa je mesto točk M na ravnini, vsota razdalj od vsake

ELEMENTI UČNE RAVNINE ANALITIČNE GEOMETRIJE V TRIDIMENZIONALNEM PROSTORU Napišite vektorsko enačbo ravnine in pojasnite pomen količin, vključenih v to enačbo Napišite splošno enačbo ravnine

Lekcija 12 Elipsa, hiperbola in parabola. Kanonične enačbe. Elipsa je mesto točk M na ravnini, za katero je vsota razdalj od dveh fiksnih točk F 1 in F 2, imenovana

LINEARNA ALGEBRA Predavanje Enačbe krivulj drugega reda Opredelitev kroga Krog je mesto točk, enako oddaljenih od ene točke, imenovane središče kroga, na razdalji r

Uralska zvezna univerza, Inštitut za matematiko in računalništvo, Oddelek za algebro in diskretno matematiko Uvodne opombe To predavanje obravnava tretjo krivuljo drugega reda, parabolo.

Predavanje 9.30 Poglavje Analitična geometrija na ravnini Koordinatni sistemi na ravnini Pravokotni in polarni koordinatni sistem Koordinatni sistem na ravnini je metoda, ki vam omogoča, da določite

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Jaroslavska državna univerza poimenovana po P. G. Demidova Oddelek za algebro in matematično logiko S. I. Yablokova Krivulje drugega reda Delovna delavnica

Tema ELEMENTI ANALITIČNE GEOMETRIJE NA RAVNINI IN V PROSTORU Predavanje .. Črte na ravnini Pl in n. Metoda koordinat na ravnini .. Črta v kartezijanskih koordinatah .. Pogoj vzporednosti in pravokotnosti

Linearna algebra in analitična geometrija Tema: Krivulje drugega reda Predavateljica Rozhkova S.V. 01 15. Krivulje drugega reda Krivulje drugega reda so razdeljene na 1) degenerirane in) nedegenerirane degenerirane

Predavanje 11 1. KONOSNI ODDELKI 1.1. Opredelitev. Razmislite o odseku desnega krožnega stožca z ravnino, pravokotno na tvornico tega stožca. Za različne vrednosti kota α pri oglišču v aksialnem

Predavanje 9 1. KONACIRANI ODDELKI 1.1. Opredelitev. Razmislite o odseku desnega krožnega stožca z ravnino, pravokotno na tvornico tega stožca. Za različne vrednosti kota α pri oglišču v aksialnem

Uralska zvezna univerza, Inštitut za matematiko in računalništvo, Oddelek za algebro in diskretno matematiko Uvodne opombe V tem predavanju preučujemo drugo krivuljo drugega reda hiperbole.

Praktična lekcija 14 Tema: Načrt parabole 1. Opredelitev in kanonična enačba parabole .. Geometrijske lastnosti parabole. Relativni položaj parabole in ravne črte, ki poteka skozi njeno središče. Glavni

A N A L I T I Ch E C A Z G E O M E T R I Z krivulje drugega reda SHIMANCHUK Dmitry Viktorovich [zaščiteno po e -pošti] Sankt Peterburška državna univerza Fakulteta za uporabno matematiko procesov

Matrice 1 Podane matrice in Najdi: a) A + B; b) 2B; c) B T; d) AB T; e) B T A Rešitev a) Z definicijo vsote matrik b) Z opredelitvijo produkta matrike s številom c) Z definicijo transponirane matrike

MOŽNOST 1 1 Poiščite naklon k ravne črte, ki poteka skozi točki M 1 (18) in M ​​(1); enačbo ravne črte zapišite v parametrično obliko Ustvarite enačbe za stranice in mediane trikotnika z oglišči A ()

Test. Dane matrice A, B in D. Poiščite AB 9D, če: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 3 7 Pomnožite matriki A 3 in B 3. rezultat bo C velikosti 3 3, sestavljen iz elementov

9. poglavje Krivulje na ravnini. Krivulje drugega reda 9. Osnovni pojmi Pravijo, da ima krivulja Γ v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy enačbo F (,) = 0, če točka M (x, y) pripada krivulji v tem

Linearna algebra in analitična geometrija Tema: Krivulje drugega reda Predavateljica Pakhomova E.G. 01 15. Krivulje drugega reda Krivulje drugega reda so razdeljene na 1) degenerirane in) nedegenerirane degenerirane

Uralska zvezna univerza, Inštitut za matematiko in računalništvo, Oddelek za algebro in diskretno matematiko Uvodne opombe V treh prejšnjih predavanjih so preučevali črte in ravnine, t.j.

Poglavje 1 Krivulje in ploskve drugega reda V vseh odsekih, razen v 1.9, je koordinatni sistem pravokoten. 1.1. Sestavljanje enačb za krivulje drugega reda in druge krivulje 1.p) Dokaži, da je niz

ÒÓÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Moskovska državna tehnična univerza po imenu N.E. Bauman Fakulteta za osnovne znanosti Oddelek za matematično modeliranje À.Í. Santnikov,

POGLAVJE 5. ANALITIČNA GEOMETRIJA 5 .. Enačba premice na ravnini Enačba oblike F (x, y) 0 se imenuje enačba črte, če tej enačbi ustrezajo koordinate katere koli točke, ki leži na dani ravnini

Inštitut za tehnologijo in tehnologijo Balakovo - podružnica Zvezne državne avtonomne visokošolske ustanove "Nacionalna raziskovalna jedrska univerza" MEPhI "

Črte drugega reda Yu. L. Kalinovskiy Oddelek za višjo matematiko Univerze "Dubna" Načrt 2 3 4 5 6 7 Črte drugega reda: mesto točk, katerih kartezijanske koordinate ustrezajo enačbi

44. Opredelitev hiperbole. Hiperbola je množica vseh točk na ravnini, katerih koordinate v ustreznem koordinatnem sistemu ustrezajo enačbi 2 2 y2 = 1, (1) b2 kjer je b> 0. Ta enačba

Linearna algebra in analitična geometrija Tema: Krivulje drugega reda (nadaljevanje) Predavateljica Pakhomova E.G. 01. 4. Splošna definicija elipse, hiperbole in parabole DEFINICIJA. Črte a m se imenujejo direc-

1 Predavanje 1.4. Krivulje in ploskve drugega reda Povzetek: Kanonične enačbe krivulj izhajajo iz definicij: elipse, hiperbole in parabole. Podane so parametrične enačbe elipse in hiperbole.

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Zvezna državna proračunska izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje "Sibirska državna industrijska univerza"

Praktično delo Sestavljanje enačb ravnih črt in krivulj drugega reda Namen dela: utrditi sposobnost sestavljanja enačb ravnih črt in krivulj drugega reda Vsebina dela. Osnovni pojmi. B C 0 vektor

Naloge za vadbo zgrešenih ur Kazalo Vsebina Tema: Matrice, dejanja na njih. Izračun determinant .... 2 Tema: Obratna matrika. Reševanje sistemov enačb z uporabo inverzne matrike. Formule

Analitična geometrija 5 .. Ravna črta na ravnini Različni načini določanja črte na ravnini. Splošna enačba ravne črte na ravnini. Lokacija ravne črte glede na koordinatni sistem. Geometrijski pomen

MOŽNOST 11 1 Točka M () je osnova pravokotnika, padlega iz točke N (1-1) na črto l Napišite enačbo črte l; poiščite razdaljo od točke N do ravne črte l Napišite enačbe za ravne črte

49. Cilindrične in stožčaste površine 1. Cilindrične površine Opredelitev. Naj bosta v prostoru podana črta l in neničelni vektor a. Površina, ki jo tvorijo ravne črte, ki prehajajo skozi vse mogoče

Analitična geometrija Analitična geometrija na ravnini. Analitična geometrija rešuje geometrijske probleme z uporabo algebre, za katero se uporablja metoda koordinat. Pod koordinatnim sistemom na ravnini

Možnost 1 Naloga 1. Podajte geometrijsko definicijo elipse. Problem 2. S pomočjo Dandelinovih kroglic dokaži, da elipsa nastane kot stožčast presek. Naloga 3. Dokaži, da je množica točk P iz katere

Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. ANALITIČNA GEOMETRIJA NA LETALU Kazan 008 0 Kazanska državna univerza Oddelek za splošno matematiko LR Sekaeva, ON Tyuleneva ANALITIČNA GEOMETRIJA NA POLETJU

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Kazanska državna univerza za arhitekturo in gradbeništvo Oddelek za višjo matematiko Elementi vektorske in linearne algebre. Analitična geometrija.

Analitična geometrija na ravnini Linijska enačba je najpomembnejši pojem v analitični geometriji. y М (x, y) 0 x Opredelitev. Enačba črte (krivulje) na ravnini Oxy je enačba, ki ji

Vzorci osnovnih letalskih težav Gaussova metoda Določeni sistemi linearnih enačb Rešite sistem linearnih enačb z uporabo Gaussove metode x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Rešite sistem linearnih enačb po Gaussovi metodi 6

MOŽNOST 16 1 Skozi točki M 1 (3 4) in M ​​(6) potegnemo ravno črto. Poiščite presečišča te ravne črte s koordinatnimi osmi Sestavite enačbe strani trikotnika, za katerega so točke A ( 1) B (3 1) C (0 4) so

Preizkusno delo 3 MOŽNOST 1 Naredite enačbo ravne črte, pravokotno na presečišče ravnih črt, ki poteka skozi točko in .. Zapišite enačbo ravne črte, ki poteka skozi točke, in poiščite razdaljo od točke

ELEMENTI ANALITIČNE GEOMETRIJE NA RAVNINI. Ravna črta 1. Izračunaj obod trikotnika, katerega oglišča so točke A (6; 7), B (3; 3), C (1; 5). 2. Poiščite točko, enako oddaljeno od točk A (7;

Analitska geometrija Modul 1 Matrična algebra Vektorska algebra Besedilo 5 (neodvisna študija) Komentar Dekartov pravokotni koordinatni sistem na ravnini in v vesolju Formule za razdaljo

Ministrstvo za šolstvo Ruske federacije Rostovska državna univerza Fakulteta za mehaniko in matematiko Oddelek za geometrijo Kazak V.V. Delavnica analitične geometrije za prve študente

ANALITIČNA GEOETRIJA Splošna enačba ravnine. GPR Z ravnino mislimo na površino z lastnostjo, da če dve točki ravne črte pripadata ravnini, potem vse točke ravne črte pripadajo dani

PREDAVANJE 5 ELEMENTI ANALITIČNE GEOMETRIJE. 1 1. Enačba površine in enačbe črte v prostoru. Geometrijski pomen enačb V analitični geometriji se vsaka površina obravnava kot niz

Poglavje 1 LINEARNE IN RAVNINE n R. 1.1. Točkovni prostori Prej je bil upoštevan aritmetični prostor nizov. V matematiki je mogoče končno urejen niz koordinat razlagati ne le

Testna naloga iz analitične geometrije. Semester 2. Možnost 1 1. Poiščite enačbe tangent na krog (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, vzporedne s pravo črto 5x 12y + 1 = 0. 2. Napišite enačbo tangenta

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Zvezna državna avtonomna visokošolska izobraževalna ustanova "Zvezna univerza Kazan (Volga)"

Diferenciali visokega reda. Izpitna vozovnica. Matrice, osnovni pojmi in definicije .. Napišite enačbo kroga, če sta točki A (;) in B (-; 6) konca enega od premerov .. Podane so točke.

ÒÓÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Moskovska državna tehnična univerza po imenu N.E. Bauman Fakulteta za osnovne znanosti Oddelek za matematično modeliranje À.Í. Santnikov,

Površine drugega reda. Površina v tridimenzionalnem prostoru je opisana z enačbo oblike F (x; y; z) = 0 ali z = f (x; y). Presečišče dveh površin definira črto v prostoru, t.j. črta v vesolju

V kartezijanskih koordinatah enačba prve stopnje določa določeno ravno črto.

Črte, ki so določene z enačbo prve stopnje v kartezijanskih koordinatah, se imenujejo črte prvega reda. Zato je vsaka ravna črta črta prvega reda.

Splošna enačba ravne črte(kot splošna enačba prve stopnje) je določena z enačbo oblike:

Oh + Vau + Z = 0.

Razmislite o nepopolnih enačbah ravne črte.

1. Z= 0. Enačba ravne črte ima obliko: Ah + Wu = 0; ravna črta gre skozi izvor.

2. V = 0 (A¹ 0). Enačba ima obliko Oh + Z= 0 oz NS =a, kje a= Črta prehaja skozi točko A(a; 0), je vzporedna z osjo OU... Številka a Oh(slika 1).

Riž. 1

Če a= 0, potem črta sovpada z osjo OU. Enačba ordinatne osi Oy ima obliko: NS = 0.

3. A = 0 (V¹ 0). Enačba je: Vau + Z= 0 oz ob = b, kje b=. Ravna črta gre skozi točko V(0; b), je vzporedna z osjo Oh... Številka b je vrednost odseka, ki ga odreže ravna črta na osi OU(slika 2).

Riž. 2

Če je b = 0, potem ravna črta sovpada z osjo abscese Ox. Enačba osi abscisse Ox ima obliko: y = 0.

Enačba ravne črte v odsekih na osi je določeno z enačbo:

Kje so številke a in b so vrednosti odsekov, odrezanih s pravo črto na koordinatnih osi (slika 3).

(NS 0 ;ob 0)pravokotno na normalni vektor = {A; B), je določena s formulo:

A(NS – NS 0) + V(ob – ob 0) = 0.

Enačba ravne črte, ki poteka skozi dano točko M(NS 0 ; ob 0) vzporedno s smernim vektorjem = {l; m), ima obliko:

Enačba ravne črte, ki poteka skozi dve podani točki M 1 (NS 1 ; ob 1) in M 2 (NS 2 ; ob 2) je določeno z enačbo:

Naklon ravne črte k imenovano tangenta kota nagiba ravne črte na os Oh, ki se šteje od pozitivne smeri osi do ravne črte v nasprotni smeri urinega kazalca, k= tgα.

Enačba ravne črte z naklonom k izgleda kot:

y = kx + b,

kje k= tgα, b- velikost segmenta, odrezanega s pravo črto na osi OU(slika 4).

Enačba ravne črte, ki poteka skozi dano točko M(NS 0 ;ob 0)v tej smeri(naklon k znano), je določeno s formulo:

y - y 0 = k(NS –NS 0).

Enačba svežnja ravnih črt, ki poteka skozi dano točko M(NS 0 ;ob 0) (naklon k neznano), je določeno s formulo:

y - y 0 = k(NS –NS 0).

Enačba snopa ravnih črt, ki poteka skozi presečišče ravnih črt

A 1 NS + V 1 ob + Z 1 = 0 in A 2 NS + V 2 ob + Z 2 = 0, je določeno s formulo:

α( A 1 NS + V 1 ob + Z 1) + β ( A 2 NS + V 2 ob + Z 2) = 0.

Injekcija j šteti v nasprotni smeri urinega kazalca od ravne črte y = k 1 NS + b 1 naravnost y = k 2 NS + b 2, je določena s formulo (slika 5):

Za ravne črte, podane s splošnimi enačbami A 1 NS + V 1 ob + Z 1 = 0 in A 2 NS + V 2 ob + Z 2 = 0, kot med dvema ravninama je določen s formulo:

Pogoj vzporednosti za dve ravni črti ima obliko: k 1 = k 2 oz.

Pogoj pravokotnosti dveh ravnih črt ima obliko: ali A 1 A 2 + V 1 V 2 = 0.

Normalna enačba ravne črte ima obliko:

x cosα + y sinα - str = 0,

kje p - dolžina pravokotnika, ki je padla od začetka do ravne črte, je α kot nagiba pravokotnika na pozitivno smer osi Oh(slika 6).

Za podajanje splošne enačbe ravne črte Oh + Vau + Z= 0 v normalno obliko, vse njene izraze morate pomnožiti z normalizacijski faktor μ=, vzeto z nasprotnim predznakom prostega izraza Z.

Oddaljenost od točke M(NS 0 ;ob 0)naravnost Ah + Vau + Z= 0 je določeno s formulo:

Enačbe simetralov kotov med ravninama A 1 NS + V 1 ob + Z 1 = 0 in A 2 NS + V 2 ob + Z 2 = 0 imajo obliko:

Primer 4... Podana so oglišča trikotnika ABC: A (–5; –7), V (7; 2), Z(–6; 8). Poišči: 1) dolžino stranice AB; 2) stranske enačbe AB in AS in njihova pobočja; 3) notranji kot V; 4) mediana enačbe AE; 5) enačba in dolžina višine CD; 6) enačba simetrale AK; 7) enačba ravne črte, ki poteka skozi točko E vzporedno s stranjo AB; 8) koordinate točk M nahaja simetrično do točke A relativno naravnost CD.

1. Razdalja d med dvema točkama A(NS 1 ; ob 1) in V(NS 2 ; ob 2) je določeno s formulo:

Poišči dolžino stranice AB kot razdalja med dvema točkama A(–7; –8) in V(8; –3):

2. Enačba ravne črte, ki poteka skozi točke A(NS 1 ; ob 1) in V(NS 2 ;y 2) ima obliko:

Zamenjava koordinat točk A in V, dobimo stransko enačbo AB:

3(NS+ 5) = 4(ob+ 7); 3NS– 4ob– 13 = 0 (AB).

Za iskanje pobočja k AB naravnost ( AB) rešimo nastalo enačbo glede na ob:

4y= 3x– 13;

- enačba ravne črte ( AB) z naklonom,

Podobno zamenjajte koordinate točk V in Z dobimo enačbo ravne črte ( Sonce):

6NS– 42 = –13ob+ 26; 6x + 13y– 68 = 0 (Pr).

Rešimo enačbo ravne črte ( Sonce) relativno ob: .

3. Tangenta kota j med dvema ravnima črtama, katerih nakloni so enaki k 1 in k 2, je določeno s formulo:

Notranji kotiček V tvorijo ravne črte ( AB) in ( Sonce) in to je oster kot, pod katerim je treba ravno črto obrniti Sonce v pozitivni smeri (v nasprotni smeri urinega kazalca), dokler ne sovpada z ravno črto ( AB). Zato v formuli nadomestimo k 1 = , k 2 = :

Ð V= arctg = arctan 1,575 "57,59 °.

4. Če želite najti mediano enačbo ( AE), najprej določimo koordinate točke E, ki je sredina stranice Sonce.Če želite to narediti, uporabite formule za delitev segmenta na dva enaka dela:

Od tod tudi bistvo E ima koordinate: E(0,5; 5).

Če v enačbo nadomestimo ravno črto, ki poteka skozi dve točki, koordinate točk A in E, najdemo mediano enačbe ( AE):

24NS – 11ob + 43 = 0 (AE).

5. Od višine CD pravokotno na stran AB, potem ravna črta ( AB) je pravokotna na ravno črto ( CD). Če želite najti naklon višine CD, uporabili bomo pogoj pravokotnosti dveh ravnih črt:

Enačba ravne črte, ki poteka skozi dano točko M(NS 0 ; ob 0) v določeni smeri (naklon k znano) ima obliko:

y - y 0 = k (x - x 0).

Nadomestitev koordinat točke v zadnjo enačbo Z(–6; 8) in dobimo enačbo višine CD:

ob – 8 = (NS -(–6)), 3ob – 24 = – 4NS– 24, 4NS + 3ob = 0 (CD).

Oddaljenost od točke M(NS 0 ; ob 0) naravnost Ax + By + C = 0 je določeno s formulo:

Dolžina višine CD najti kot razdaljo od točke Z(–6; 8) do ravne črte ( AB): 3NS – 4ob- 13. Če v formuli nadomestimo zahtevane količine, najdemo dolžino CD:

6. Enačbe simetralov kotov med ravninama Axe + By + C = 0 in
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 so določene s formulo:

Simetrala enačba AK kot ena od enačb simetralov kotov med ravnima črtama ( AB) in ( AS).

Sestavimo enačbo ravne črte ( AS) kot enačbo ravne črte, ki poteka skozi dve točki A(–5; –7) in Z (–6; 8):

Zadnjo enačbo spremenimo:

15(NS+ 5) = – (ob+ 7); 15x + y + 82 = 0 (AC).

Koeficiente nadomestimo s splošnimi enačbami ravnih črt ( AB) in ( AS) dobimo enačbe za simetrale kotov:

Zadnjo enačbo spremenimo:

; (3NS – 4ob- 13) = ± 5 (15 x + y + 82);

3 NS - 4 ob- 13 = ± (75 NS +5ob + 410).

Razmislite o dveh primerih:

1) 3 NS - 4 ob – 13 = 75NS +5ob+ 410.y l AB.

Trikotnik ABC, višina CD, mediana AE, simetrala AK, naravnost l in točka M narisan v koordinatnem sistemu Ooh(slika 7).

Črte drugega reda.
Elipsa in njena kanonična enačba. Krog

Po temeljiti študiji ravne črte na ravnini nadaljujemo s preučevanjem geometrije dvodimenzionalnega sveta. Vložki se podvojijo in vabim vas, da obiščete slikovito galerijo elipse, hiperbole, parabole, ki so tipični predstavniki vrstice drugega reda... Ogled se je že začel in najprej kratki podatki o celotni razstavi v različnih nadstropjih muzeja:

Koncept algebrske črte in njen vrstni red

Črta na ravnini se imenuje algebrski, če je v afin koordinatni sistem njegova enačba ima obliko, kjer je polinom, sestavljen iz členov oblike (- realno število,- nenegativna cela števila).

Kot lahko vidite, enačba algebrske črte ne vsebuje sinusov, kosinusov, logaritmov in drugih funkcionalnih beau monde. Samo »x« in »games« v nenegativna cela števila stopinj.

Vrstni red je enaka največji vrednosti izrazov, ki so v njem vključeni.

V skladu z ustreznim izrekom koncept algebrske črte in njen vrstni red nista odvisna od izbire afin koordinatni sistem zato zaradi lažjega obstoja predvidevamo, da se vsi nadaljnji izračuni odvijajo v Dekartove koordinate.

Splošna enačba vrstica drugega reda ima obliko, kjer - poljubna realna števila (običajno je pisati z množiteljem - "dva"), koeficienti pa niso enaki nič.

Če je potem enačba poenostavljena na , in če koeficienti niso hkrati enaki nič, potem je to točno splošna enačba "ravne" ravne črte kateri je vrstica prvega naročila.

Mnogi so razumeli pomen novih izrazov, vendar kljub temu, da 100% asimiliramo material, vtaknemo prste v vtičnico. Če želite določiti vrstni red vrstice, morate ponoviti vsi pogoji njegove enačbe in za vsako od njih poiščite vsota stopinj dohodne spremenljivke.

Na primer:

izraz vsebuje "x" v 1. stopnji;
izraz vsebuje "igro" v 1. stopnji;
v izrazu ni spremenljivk, zato je vsota njihovih moči nič.

Zdaj pa ugotovimo, zakaj enačba postavlja črto drugič naročilo:

izraz vsebuje "x" v 2. stopnji;
seštevek ima vsoto stopinj spremenljivk: 1 + 1 = 2;
izraz vsebuje "igro" v 2. stopnji;
vsi drugi pogoji - manjši stopnjo.

Največja vrednost: 2

Če svoji enačbi dodatno dodamo, recimo, bo že določila vrstica tretjega reda... Očitno je, da splošna oblika črtne enačbe tretjega reda vsebuje "celoten niz" izrazov, vsota moči spremenljivk, pri kateri je enaka tri:
, kjer koeficienti hkrati niso enaki nič.

V primeru, da dodamo enega ali več ustreznih izrazov, ki vsebujejo , potem se bomo pogovarjali Vrstice 4. reda itd.

Z algebrskimi črtami 3., 4. in višjega reda se bomo morali ukvarjati več kot enkrat, zlasti ko se seznanimo z polarni koordinatni sistem.

Vrnimo se k splošni enačbi in se spomnimo njenih najpreprostejših šolskih različic. Kot primer se predlaga parabola, katere enačbo je mogoče enostavno zmanjšati na splošno obliko, in hiperbola z enakovredno enačbo. Vendar ni vse tako gladko ...

Pomembna pomanjkljivost splošne enačbe je, da skoraj vedno ni jasno, katero črto nastavi. Tudi v najpreprostejšem primeru se ne boste takoj zavedali, da je to hiperbola. Takšne postavitve so dobre le pri maškarah, zato se med analitično geometrijo obravnava tipičen problem reduciranje enačbe drugega reda vrstice v kanonično obliko.

Kakšna je kanonična oblika enačbe?

To je splošno sprejeta standardna oblika enačbe, ko v nekaj sekundah postane jasno, kateri geometrijski objekt opredeljuje. Poleg tega je kanonični pogled zelo primeren za reševanje številnih praktičnih nalog. Tako na primer po kanonični enačbi "Ravno" naravnost, prvič, takoj je jasno, da je to ravna črta, in drugič, točko, ki ji pripada, in vektor smeri je mogoče zlahka videti.

Očitno katera koli Vrstica prvega naročila je ravna črta. V drugem nadstropju pa nas ne čaka stražar, ampak veliko bolj raznolika družba devetih kipov:

Razvrstitev vrstic drugega reda

S pomočjo posebnega niza dejanj se vsaka enačba črte drugega reda zmanjša na eno od naslednjih vrst:

(in so pozitivne realne številke)

1) - kanonična enačba elipse;

2) - enačba kanonične hiperbole;

3) - kanonična enačba parabole;

4) – namišljeno elipsa;

5) - par sekajočih se ravnih črt;

6) - par namišljeno sekajoče se črte (z edino veljavno točko presečišča na izhodišču);

7) - par vzporednih ravnih črt;

8) - par namišljeno vzporedne črte;

9) - par naključnih ravnih črt.

Nekateri bralci imajo lahko vtis, da je seznam nepopoln. Na primer, v točki 7 enačba nastavi par neposredno vzporedno z osjo in se pojavi vprašanje: kje je enačba, ki določa ravne črte, vzporedne z ordinatno osjo? Odgovori ne velja za kanonično... Ravne črte predstavljajo isti standardni primer, zasukan za 90 stopinj, dodatni vnos v klasifikacijo pa je odveč, saj ne nosi nič bistveno novega.

Tako obstaja devet in le devet različnih vrst vrstic 2. reda, v praksi pa so najpogostejše elipse, hiperbole in parabole.

Najprej si poglejmo elipso. Kot običajno se osredotočam na tiste točke, ki so zelo pomembne za reševanje problemov, in če potrebujete podrobno izpeljavo formul, dokazov izrekov, se na primer obrnite na učbenik Bazyleva / Atanasyana ali Aleksandrova.

Elipsa in njena kanonična enačba

Črkovanje ... prosim, ne ponavljajte napak nekaterih uporabnikov Yandexa, ki jih zanimajo "kako zgraditi elipso", "razlika med elipso in ovalno" in "ekscentričnost elebze".

Kanonična enačba elipse ima obliko, kjer so pozitivna realna števila in. Sama opredelitev elipse bom oblikovala pozneje, za zdaj pa je čas, da se odpočijem od pogovorne trgovine in rešim pogost problem:

Kako sestavim elipso?

Ja, vzemite in samo narišite. Z nalogo se pogosto srečujejo in velik del učencev se z risbo ne spopade dovolj kompetentno:

Primer 1

Konstruirajte elipso, ki jo daje enačba

Rešitev: najprej enačbo pripeljemo v kanonično obliko:

Zakaj voditi? Ena od prednosti kanonične enačbe je, da vam omogoča takojšnjo določitev elipsa ki so v točkah. Zlahka je videti, da koordinate vsake od teh točk ustrezajo enačbi.

V tem primeru :


Oddelek se imenujejo glavna os elipsa;
razdelek – manjša os;
številko se imenujejo pol-velika os elipsa;
številko – polovična os.
v našem primeru :.

Če si želite hitro predstavljati, kako izgleda ta ali ona elipsa, je dovolj, da si ogledate vrednosti "a" in "bе" njene kanonične enačbe.

Vse je v redu, zložljivo in lepo, vendar obstaja eno opozorilo: risbo sem naredil s programom. Risbo lahko dokončate s katero koli aplikacijo. Vendar pa je v surovi resničnosti na mizi kockast papir, miši pa v krogu plešejo na naših rokah. Ljudje z umetniškim talentom se seveda lahko prepirajo, vendar imate tudi miši (čeprav manjše). Človeštvo je zaman izumilo ravnilo, kompas, merilnik in druge preproste naprave za risanje.

Zaradi tega verjetno ne bomo mogli natančno narisati elipse, saj poznamo le oglišča. Še vedno v redu, če je elipsa majhna, na primer s polosi. Druga možnost je, da zmanjšate obseg in s tem dimenzije risbe. Toda v splošnem je zelo zaželeno poiskati dodatne točke.

Za izdelavo elipse obstajata dva pristopa - geometrijski in algebrski. Konstrukcija s pomočjo kompasa in ravnila mi ni všeč zaradi ne najkrajšega algoritma in velike nereda risbe. V nujnih primerih se obrnite na učbenik, v resnici pa je racionalneje uporabiti orodja algebre. Iz enačbe elipse na osnutku hitro izrazite:

Nadalje se enačba razdeli na dve funkciji:
- definira zgornji lok elipse;
- definira spodnji lok elipse.

Elipsa, določena s kanonično enačbo, je simetrična glede na koordinatne osi, pa tudi glede na izvor. In to je super - simetrija je skoraj vedno znanilec zastonj. Očitno je dovolj, da se ukvarjamo s prvo koordinatno četrtino, zato potrebujemo funkcijo ... Iskanje dodatnih točk z abscisami samo po sebi pomeni ... Na kalkulatorju smo dosegli tri sms:

Seveda je prijetno tudi, da če se pri izračunih naredi resna napaka, bo to takoj postalo jasno med gradnjo.

Označite točke na risbi (rdeče), simetrične točke na preostalih lokih (modro) in previdno povežite celotno podjetje s črto:


Bolje je, da začetno skico tanko in tanko narišete in šele nato pritisnete svinčnik. Rezultat bi morala biti spodobna elipsa. Mimogrede, bi radi vedeli, kaj je ta krivulja?

Opredelitev elipse. Elipsna žarišča in ekscentričnost elipse

Elipsa je poseben primer ovala. Besede "oval" ne bi smeli razumeti v filistrskem pomenu ("otrok je narisal oval" itd.). To je matematični izraz, ki ima podrobno formulacijo. Namen te lekcije ni obravnavati teorije ovalov in njihovih različnih vrst, ki so v standardnem tečaju analitične geometrije skoraj spregledane. V skladu z ustreznejšimi potrebami skočimo naravnost na strogo opredelitev elipse:

Elipse Ali se imenuje množica vseh točk ravnine, vsota razdalj do vsake od dveh danih točk triki elipsa, - je konstantna vrednost, številčno enaka dolžini glavne osi te elipse :.
V tem primeru je razdalja med fokusi manjša od te vrednosti :.

Zdaj bo vse bolj jasno:

Predstavljajte si, da modra pika "vozi" elipso. Torej, ne glede na to, katero točko elipse vzamemo, bo vsota dolžin segmentov vedno enaka:

Poskrbimo, da je v našem primeru vrednost vsote res enaka osem. Miselno postavite točko "em" na desni vrh elipse in nato :, kar ste želeli preveriti.

Drug način risbe temelji na definiciji elipse. Višja matematika je včasih vzrok napetosti in stresa, zato je čas, da opravimo še eno raztovarjanje. Prosimo, vzemite papir Whatman ali velik kos kartona in ga z dvema čepko pripnite na mizo. To bodo triki. Na štrleče glave nohtov privežite zeleno nit in jo s svinčnikom povlecite do konca. Vrat svinčnika bo na neki točki, ki pripada elipsi. Sedaj začnite s svinčnikom po listu papirja, pri čemer naj bo zelena nit napeta. Nadaljujte postopek, dokler se ne vrnete na izhodišče ... odlično ... risbo lahko predložite zdravniku, da preveri učitelja =)

Kako najdem žarišča elipse?

V danem primeru sem upodobil "že pripravljene" žariščne točke, zdaj pa se bomo naučili, kako jih izvleči iz globin geometrije.

Če je elipsa podana s kanonično enačbo, imajo njene žarišča koordinate , kje je razdaljo od vsakega žarišča do središča simetrije elipse.

Izračuni so lažji od kuhane repe:

! Konkretnih koordinat žarišč ni mogoče identificirati s pomenom "tse"! Ponavljam, da je tako RAZDALJA od vsakega ostrenja do središča(ki v splošnem primeru ni nujno, da se nahaja točno na izvoru).
Zato tudi razdalje med žarišči ni mogoče povezati s kanoničnim položajem elipse. Z drugimi besedami, elipso lahko premaknete na drugo mesto in vrednost ostane nespremenjena, medtem ko se ostrenja naravno spremenijo njihove koordinate. Prosimo, da to upoštevate pri nadaljnjem raziskovanju teme.

Ekscentričnost elipse in njen geometrijski pomen

Ekscentričnost elipse je razmerje, ki lahko sprejme vrednosti znotraj.

V našem primeru:

Ugotovimo, kako je oblika elipse odvisna od njene ekscentričnosti. Za to popravite levo in desno točko obravnavana elipsa, to je vrednost polovične osi, bo ostala konstantna. Nato bo formula ekscentričnosti dobila obliko :.

Začnimo približevati vrednost ekscentričnosti enotnosti. To je mogoče le, če. Kaj to pomeni? ... spomnite se čarovniških trikov ... To pomeni, da se bodo žarišča elipse "oddaljila" vzdolž osi abscise do stranskih točk. In ker "zeleni segmenti niso gumijasti", se bo elipsa neizogibno začela sploščiti in se spremeniti v tanjšo in tanjšo klobaso, nanizano na os.

Tako bližje kot je vrednost ekscentričnosti elipse enotnosti, bolj je elipsa podolgovata.

Sedaj simulirajmo nasprotni proces: žarišča elipse šla drug proti drugemu in se približala središču. To pomeni, da je vrednost "tse" vedno manjša in se zato ekscentričnost nagiba k nič :.
V tem primeru bodo "zeleni segmenti", nasprotno, "postali gneča" in bodo začeli "potiskati" črto elipse navzgor in navzdol.

Tako bližje kot je vrednost ekscentričnosti nič, bolj izgleda elipsa... poglejte skrajni primer, ko se žarišča pri izvoru ponovno združijo:

Krog je poseben primer elipse

V primeru enakosti polosi ima kanonična enačba elipse obliko, ki se refleksno pretvori v dobro znano iz šole enačbo kroga s središčem na izvoru koordinat polmera "a".

V praksi se pogosteje uporablja posnetek z "govorno" črko "er" :. Polmer je dolžina odseka, pri čemer je vsaka točka kroga odmaknjena od središča za razdaljo polmera.

Upoštevajte, da definicija elipse ostaja popolnoma pravilna: fokusi sovpadajo, vsota dolžin sovpadajočih segmentov za vsako točko kroga pa je konstantna vrednost. Ker je razdalja med žarišči, potem ekscentričnost katerega koli kroga je nič.

Krog je zgrajen enostavno in hitro, dovolj je, da se oborožite s kompasom. Kljub temu je včasih treba ugotoviti koordinate nekaterih njegovih točk, v tem primeru gremo po znani poti - enačbo pripeljemo v živahno obliko Matan:

- funkcija zgornjega polkroga;
- funkcija spodnjega polkroga.

Nato najdemo zahtevane vrednosti, razlikovati, integrirati in delati druge dobre stvari.

Članek je seveda samo za referenco, toda kako lahko človek živi na svetu brez ljubezni? Ustvarjalna naloga za samostojno rešitev

Primer 2

Napišite kanonično enačbo elipse, če sta znana ena od njenih žarišč in pol-manjša os (središče je na začetku). Poiščite oglišča, dodatne točke in narišite črto na risbi. Izračunajte ekscentričnost.

Rešitev in risba na koncu lekcije

Dodajmo dejanje:

Rotacijski in vzporedni prevod elipse

Vrnimo se k kanonski enačbi elipse, in sicer k pogoju, katerega uganka že od prve omembe te krivulje muči radovedne umove. Tu smo pregledali elipso , vendar v praksi ni enačba ? Konec koncev se tudi tukaj zdi kot elipsa!

Takšna enačba je redka, vendar se pojavlja. In resnično opredeljuje elipso. Odpravimo mistiko:

Kot rezultat gradnje dobimo našo domačo elipso, zavrtljeno za 90 stopinj. Se pravi, - to je nekanonski zapis elipse . Snemaj!- enačbo ne definira nobene druge elipse, saj na osi ni točk (žarišč), ki bi ustrezale definiciji elipse.