Po obodu se imenuje množica vseh točk ravnine, ki so enako oddaljene od ene dane točke, imenovane središče kroga. Razdalja od središča kroga do katere koli točke na krogu se imenuje ... polmer kroga.

- kanonična enačba kroga (16) - središče kroga.

Če središče kroga leži v izhodišču, potem je enačba kroga (16 .)

Elipsa se imenuje množica vseh točk ravnine, katerih vsota razdalj od dveh danih točk te ravnine (imenovana triki te elipse) je konstantna vrednost.

B (0; b) M (x, y)

r 1 r 2 r 1 + r 2 = 2a

(-а; 0) F 1 (-c; 0) 0 F 2 (c; 0) (а; 0) X

Za kratkost označimo a 2 -b 2 = c 2 (*), nato enačbo elipse: (17)

Če damo y = 0, se izkaže, in če damo x = 0, se izkaže; torej in so dolžine polose elipse - velik() in majhna(). Poleg tega vsak od členov na levi strani ne more biti več kot en, zato se celotna elipsa nahaja znotraj pravokotnika. Točke A, B, C, D, v katerih elipsa seka svoje osi simetrije, se imenujejo oglišča elipse.

Odnos imenujemo ekscentričnost elipse.

Hiperbola imenujemo množica vseh točk ravnine, katerih modul razlike med razdaljami od dveh danih točk te ravnine (imenuje se triki te hiperbole) je konstantna vrednost. Sredina razdalje med žarišči se imenuje središče hiperbole.

r 2 r 1 –r 2 = 2a

F 1 (-c; 0) 0 F 2 (c; 0) x

Označimo a 2 -c 2 = -b 2 (**), enačbo hiperbole: (18)

Iz te enačbe je razvidno, da ima hiperbola tudi dve simetrični osi (glavne osi), pa tudi središče simetrije (središče hiperbole).

Odnos imenujemo ekscentričnost hiperbole.

Če damo y = 0, se izkaže, in če damo x = 0, se izkaže.

Torej os Ox seka hiperbolo v dveh točkah (ogliščih hiperbole), to je - realna os; Os Oy ne seka hiperbole - to je " imaginarna os. »Vsak odsek, ki povezuje dve točki hiperbole, če gre skozi središče, se imenuje premer hiperbole.

Imenuje se ravna črta, ki se ji ukrivljena črta poljubno približuje, vendar je nikoli ne seka asimptota krivulje. Hiperbola ima dve asimptoti. Njihove enačbe so: (19)

parabola množica vseh točk ravnine se imenuje razdalja od vsake do dane točke (imenovana fokus) je enaka razdalji do dane premice (imenovane ravnateljica).

- parabola parameter.

Parabola ima eno simetrično os. Točka presečišča parabole z osjo simetrije se imenuje vrh parabole.

Kanonična enačba parabole z vrhom v izhodišču, katere simetrična os je os Ox in veje usmerjene v desno, ima obliko (20)

Enačba njene ravnateljice:

Kanonična enačba parabole z vrhom v izhodišču, katere simetrična os je os Ox in veje usmerjene v levo, ima obliko (20 ,)

Enačba njene ravnateljice:

Kanonična enačba parabole z ogliščem v izhodišču, katere simetrična os je os Oy in veje, usmerjene navzgor, ima obliko (20 ,)

Enačba njene ravnateljice:

Kanonična enačba parabole z vrhom v izhodišču, katere simetrična os je os Oy in veje, usmerjene navzdol, ima obliko (20 ,)

Enačba njene ravnateljice:

y y

F 0 p / 2 x -p / 2 0 x

y y

p / 2

–P/2
Tema 2.1. Predavanje 7 Lekcija 10

Tema: Funkcije ene neodvisne spremenljivke, njihovi grafi.

Koncept funkcije

Eden od osnovnih matematičnih konceptov je pojem funkcije. Koncept funkcije je povezan z vzpostavitvijo razmerja (povezave) med elementi dveh množic.

Naj sta podani dve neprazni množici X in Y. Korespondenca ƒ, ki vsakemu elementu xÎ X dodeli en in samo en element yÎ Y, se imenuje funkcija in se piše y = ƒ (x), xÎ X ali ƒ : X → Y. Pravijo tudi, da funkcija ƒ preslika množico X v množico Y.

Na primer, korespondenci ƒ in g, prikazani na sliki 98 a in b, sta funkciji, na sliki 98 c in d pa nista. V primeru c - ne ustreza vsak element xÎX elementu yÎY. V primeru r pogoj edinstvenosti ni izpolnjen.

Množico X imenujemo domena funkcije ƒ in jo označujemo z D (f). Množica vseh yÎY se imenuje množica vrednosti funkcije ƒ in je označena z E (ƒ).

Številčne funkcije. Funkcijski graf. Metode za nastavitev funkcij

Naj je podana funkcija ƒ: X → Y.

Če sta elementa množic X in Y realna števila (to je XÌ R in YÌ R), potem se funkcija ƒ imenuje numerična funkcija. V nadaljevanju bomo preučevali (praviloma) numerične funkcije, za kratkost jih bomo preprosto poimenovali funkcije in zapisali y = ƒ (x).

Spremenljivka x se v tem primeru imenuje argument ali neodvisna spremenljivka, y pa funkcija ali odvisna spremenljivka (iz x). Sami količini x in y naj bi bili v funkcionalnem razmerju. Včasih je funkcionalna odvisnost y od x zapisana v obliki y = y (x), ne da bi dodali novo črko (ƒ), ki bi označevala odvisnost.

Zasebna vrednost funkcije ƒ (x) za x = a zapišemo takole: ƒ (a). Na primer, če je ƒ (x) = 2x 2 -3, potem je ƒ (0) = - 3, ƒ (2) = 5.

Funkcijski graf y = (x) se imenuje množica vseh točk ravnine Oxy, za vsako od katerih je x vrednost argumenta, y pa ustrezna vrednost funkcije.

Na primer, graf funkcije y = √ (1-x 2) je zgornji polkrog polmera R = 1 s središčem na O (0; 0) (glej sliko 99).

Za definiranje funkcije y = ƒ (x) je potrebno navesti pravilo, ki omogoča, da poznamo x, da najdemo ustrezno vrednost y.

Najpogosteje obstajajo trije načini definiranja funkcije: analitični, tabelarni, grafični.

Analitični način: Funkcija je podana kot ena ali več formul ali enačb.

Če domena definicije funkcije y = ƒ (x) ni navedena, se domneva, da sovpada z naborom vseh vrednosti argumenta, za katerega je ustrezna formula smiselna. Torej, domena definicije funkcije y = √ (1-x2) je segment [-1; 1].

Analitični način definiranja funkcije je najbolj popoln, saj ga spremljajo metode matematične analize, ki omogočajo popolno raziskovanje funkcije y = ƒ (x).

Grafični način: graf funkcije je nastavljen.

Pogosto se grafi samodejno rišejo s snemalniki ali se prikažejo na zaslonu. Vrednosti funkcije y, ki ustrezajo eni ali drugi vrednosti argumenta x, so neposredno najdene iz tega grafa.

Prednost grafične naloge je njena preglednost, pomanjkljivost pa nenatančnost.

Tabelarni način: funkcija je določena s tabelo niza vrednosti argumentov in ustreznih funkcijskih vrednosti. Na primer, dobro znane tabele vrednosti trigonometričnih funkcij, logaritemske tabele.

V praksi je pogosto treba uporabiti tabele funkcijskih vrednosti, pridobljenih eksperimentalno ali kot rezultat opazovanj.

Razmislite o črtah, ki jih definira enačba druge stopnje glede na trenutne koordinate

Koeficienti enačbe so realna števila, vendar je vsaj eno od števil A, B ali C drugačno od 0. Takšne črte imenujemo črte (krivulje) drugega reda. Spodaj bomo pokazali, da enačba (1) definira krog elipso, hiperbolo ali parabolo na ravnini.

Krog

Najenostavnejša krivulja drugega reda je krog. Spomnimo se, da je krog s polmerom R s središčem v točki M 0 množica točk M ravnine, ki izpolnjuje pogoj MM 0 = R. Naj ima točka M 0 v sistemu Oxy koordinate x 0, y 0, M (x, y) pa je poljubna točka kroga. Potem pa tudi

-kanonična enačba kroga ... Če nastavimo x 0 = y 0 = 0, dobimo x 2 + y 2 = R 2

pokazali bomo, da lahko enačbo kroga zapišemo v obliki splošne enačbe druge stopnje (1). Če želite to narediti, kvadriramo desno stran krogne enačbe in dobimo:

Da ta enačba ustreza (1), je potrebno, da:

1) koeficient B = 0,

2). Potem dobimo: (2)

Zadnja enačba se imenuje splošna enačba kroga ... Če obe strani enačbe delimo z A ≠ 0 in dodamo člene, ki vsebujejo x in y, celotnemu kvadratu, dobimo:

(2)

Če primerjamo to enačbo s kanonično enačbo kroga, dobimo, da je enačba (2) res enačba kroga, če:

1) A = C, 2) B = 0, 3) D 2 + E 2 -4AF> 0.

Ko so ti pogoji izpolnjeni, se središče kroga nahaja v točki O in njegov polmer .

Elipsa

y

x

F 2 (c, o)

F 1 (-c, o)

Po definiciji 2> 2c, to je> c. Za izpeljavo enačbe elipse predpostavljamo, da žarišči F 1 in F 2 ležita na osi Ox, zato je O sovpadalo s sredino segmenta F 1 F. 2, nato F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0).

Naj bo M (x, y) poljubna točka elipse, potem je po definiciji elipse MF 1 + MF 2 = 2, tj.

To je enačba elipse. Lahko ga pretvorite v enostavnejšo obliko, kot sledi:

Kvadratura:

kvadratni

Ker potem 2 -c 2> 0 postavi 2 -c 2 = b 2

Potem bo zadnja enačba dobila obliko:

je enačba elipse v kanonski obliki.

Oblika elipse je odvisna od razmerja: ko je b =, se elipsa spremeni v krog. Enačba ima obliko. Razmerje se pogosto uporablja kot značilnost elipse. Ta vrednost se imenuje ekscentričnost elipse in 0< <1 так как 0

Študij oblike elipse.

1) enačba elipse vsebuje x in y le do sode stopnje, zato je elipsa simetrična glede na osi Ox in Oy, pa tudi glede točke O (0,0), ki se imenuje središče elipsa.

2) poiščite presečišča elipse s koordinatnimi osemi. Če postavimo y = 0, najdemo A 1 (, 0) in A 2 (-, 0), pri katerih elipsa seka Ox. Če postavimo x = 0, najdemo B 1 (0, b) in B 2 (0, -b). Točke A 1, A 2, B 1, B 2 imenujemo oglišča elipse. Segmenta A 1 A 2 in B 1 B 2 ter njuni dolžini 2 in 2b imenujemo velika in mala os elipse. Števila in b sta glavna in mala polos.

A 1 (, 0)

A2 (-, 0)

B 2 (0, b)

Zato vse točke elipse ležijo znotraj pravokotnika, ki ga tvorijo premici x = ±, y = ± b. (slika 2.)

4) V enačbi elipse je vsota nenegativnih členov enaka ena. Torej, ko se en člen poveča, se bo drugi zmanjšal, to je, če | x | narašča, potem | y | - zmanjša in obratno. Iz vsega povedanega sledi, da ima elipsa obliko, prikazano na sliki 2. (ovalna zaprta krivulja).

Prenesite iz Depositfiles

Predavanje številka 9. Tema 3: Vrstice drugega reda

Naj bo v nekem DSC podana črta, definirana z enačbo druge stopnje

kjer so koeficienti
niso enaki nič hkrati. Ta vrstica se imenuje krivulja oz vrstica drugega reda.

Lahko se zgodi, da ni točk
z realnimi koordinatami, ki izpolnjujejo enačbo (1). V tem primeru se šteje, da enačba (1) definira namišljeno črto drugega reda. na primer
 to je enačba imaginarnega kroga.

Razmislite o treh pomembnih posebnih primerih enačbe (1).

3.1. Elipsa

Elipso definira enačba

(2)

Kvote a in b imenujemo glavna in manjša polos, enačba (2) - kanonično enačba elipse.

Postavili smo
in označite na osi O NStočke

poklical triki elipsa. Potem lahko elipso definiramo kot

mesto točk, vsota razdalj, od katerih je do žarišč konstantna vrednost enaka 2a.

pri

b

M K

— aF 1 O F 2 a x

— b

Pokažimo. Pustite točko
 trenutna točka elipse. V tem primeru dobimo Potem mora biti izpolnjena enakost

Izraz (3) lahko predstavimo kot

in kvadratni obe strani izraza

Iz tega dobimo

Ponovno kvadrirajmo ta izraz in uporabimo relacijo
, potem

(4)

Deljenje obeh delov izraza (4) z
, končno dobimo kanonično enačbo elipse

Poglejmo enačbo (2). Če se enačba zamenja, se enačba (2) ne bo spremenila. To pomeni, da je elipsa simetrična glede na koordinatne osi. Zato bomo podrobno obravnavali del elipse, ki se nahaja v prvi četrtini. Določeno je z enačbo
Očitno gre elipsa skozi točke
... Po končani shematski konstrukciji v prvem četrtletju bomo njen graf simetrično prikazali v vseh četrtletjih. Tako je elipsa neprekinjena zaprta krivulja. Točke se imenujejo oglišča elipse.

Odnos
poklicalekscentričnostelipsa. Za elipso
.

Neposredno
se imenujejo elipsa direktrisa.

Velja naslednja lastnost direktorjev:

Razmerje med razdaljami od žarišča do direktrise za točke elipse je konstantna vrednost, enaka ekscentričnosti, t.j.

Dokaz je podoben enakosti (3).

Opomba 1. Krog
je poseben primer elipse. Za njo

3.2. hiperbola

Enačba kanonske hiperbole ima obliko

tiste. v enačbo (1) je treba postaviti

Kvote a in b se imenujejo realna in imaginarna polos.

Polaganje
, označite na osi O NStočke
poklical triki hiperbola. Potem lahko hiperbolo definiramo kot

mesto točk, razlika med razdaljami od katerih do žarišč je v absolutni vrednosti 2a, tj.

pri

TO M

F 1 —a O aF 2 NS

Dokaz je podoben tistemu za elipso. Po obliki enačbe hiperbole sklepamo tudi, da je njen graf simetričen glede na osi koordinatnega sistema. Del hiperbole, ki leži v prvi četrtini, ima enačbo
Iz te enačbe je razvidno, da za dovolj velikeNShiperbola je blizu ravne
... Po shematski izdelavi v prvem četrtletju simetrično prikažemo graf v vseh četrtletjih.

Točke
se imenujejo vrhovi hiperbola. Neposredno
se imenujejo asimptote - to so ravne črte, h katerim se nagibajo veje hiperbole, ne da bi jih prečkale.

Odnos se imenujeekscentričnosthiperbola. Za hiperbolo
.

Ravne črte se imenujejo direktorji hiperbola. Za direktriso hiperbole je lastnost podobna tisti za direktriso elipse.

Primer. Poiščite enačbo elipse, katere oglišča so v žariščih, žarišča pa v točki hiperbole
.

Glede na pogoje
a

Končno dobimo

10.3. parabola

Parabola je definirana s kanonično enačbo
tiste. v enačbo (1) je treba postaviti

TO koeficientR poklical TOpri

žariščni parameter. M

Opomba na osi O NStočka

imenovano fokus

 elipsa;

 parabola;

 hiperbola.

Prepis

1. poglavje PRAVICE DRUGEG REDOV NA RAVNINI 1. Definicija elipse, hiperbole, parabole. Elipsa je množica vseh točk ravnine, za katere je vsota razdalj do dveh danih točk F 1 in F konstantna vrednost a, ki presega razdaljo med F 1 in. M (, x) F 1 О F x Sl. Točki F 1 in F imenujemo goriščni točki elipse, razdalja FF 1 med njima pa je goriščna razdalja, ki je označena s c. Naj točka M pripada elipsi. Odseka F1 M in F M imenujemo goriščna polmera točke M. Naj bo F1F = c. Po definiciji je a> c. Razmislite o pravokotnem kartezijanskem koordinatnem sistemu Ox, v katerem se žarišči F 1 in F nahajata na osi abscise simetrično glede na izhodišče. V tem koordinatnem sistemu je elipsa opisana s kanonično enačbo: x + = 1, a b 1

2. kjer je b = a c Parametra a in b imenujemo glavna in mala polos elipse. Ekscentričnost elipse je število ε, ki je enako razmerju med polovico njene goriščne razdalje c in veliko polosjo, t.j. ε =. Ekscentričnost elipse a izpolnjuje neenakosti 0 ε< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Enačba kanonske hiperbole ima obliko x a = b 1 ,. kjer je b = c a Števili a in b imenujemo realna in imaginarna polos hiperbole. V območju, ki ga definira neenakost, ni hiperbole. x a b Definicija. Asimptote hiperbole so ravne črte, b b, podane z enačbami = x, = x. a a Goriščne polmere točke M (x,) hiperbole najdemo s formulami r 1 = ε x a, r = ε x + a. Ekscentričnost hiperbole, tako kot elipse, je določena s formulo ε =. Preprosto je preveriti, da neenakost ε a> 1 velja za ekscentričnost hiperbole. Opredelitev. Parabola je množica vseh točk ravnine, za katere je razdalja do dane točke F enaka razdalji do dane premice d, ki ne poteka skozi točko F. Točka F se imenuje žarišče parabole in ravna črta d se imenuje direktrisa. Razdalja od fokusa do direktrise se imenuje parameter parabole in je označena s p. d M (x,) F x Sl. 4 3

4 Izberimo izhodišče O kartezijanskega koordinatnega sistema na sredini odseka FD, ki je navpičnica, spuščena iz točke F na premico d. V tem koordinatnem sistemu ima žarišče F koordinate F p p, 0, direktrisa d pa je podana z enačbo x + = 0. Kanonična enačba parabole je: = px. Parabola je simetrična glede na os OF, ki se imenuje os parabole. Točka O presečišča te osi s parabolo se imenuje vrh parabole. Goriščni polmer točke M (x,) t.j. njegovo p razdaljo do fokusa najdemo s formulo r = x +. 10B .. Splošna enačba premice drugega reda Premica drugega reda je množica točk na ravnini, katerih koordinate x in ki izpolnjujejo enačbo ax + ax + a + ax + a + a = 0, 11 1, kjer je a11 , a1, a, a10, a0, a00 nekatera realna števila in a, a, a niso enaki nič hkrati. To enačbo imenujemo splošna enačba krivulje drugega reda in jo lahko zapišemo tudi v vektorski obliki rr rr (Ax, x) + (b, x) + a = 0, kjer je 00 a11 a1 rr A =, a1 ab = (a10; a0) , x = (x;). T Ker je A = A, je A matrika kvadratne oblike r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x + a Elipsa, hiperbola in parabola sta primera krivulj drugega reda v ravnini. Poleg teh krivulj obstajajo še druge vrste krivulj drugega reda, ki so povezane s črtami x. Tako je na primer enačba = 0, kjer je a 0, b 0, a b 4

5 definira par sekajočih se črt na ravnini. Koordinatni sistemi, v katerih ima enačba krivulje najpreprostejšo obliko, se imenujejo kanonski. S sestavo transformacij: vrtenjem osi skozi kot α, vzporednim prevajanjem izhodišča v točko (x0; 0) in odsevom okoli abscisne osi se enačba krivulje drugega reda reducira na eno od kanoničnih enačb, katerih glavne so bile navedene zgoraj. 11BPrimeri 1. Naredite kanonično enačbo elipse s središčem v izhodišču in žarišči na abscisni osi, če je znano, da njena ekscentričnost ε = in točka N (3;) leži na 3. elipsi. x a b Elipsna enačba: + = 1. Imamo to =. a b a 3 9 Iz tega izračunamo, da je a = b. Če v enačbo nadomestimo koordinate točke N (3;), dobimo + = 1 in nato b = 9 in a b 81 a = = 16 ,. Posledično je kanonična enačba elipse 5 x + = 1. 16, 9. Napišite kanonično enačbo hiperbole s središčem v izhodišču in žarišči, ki se nahajajo na abscisi, če je točka M 1 (5; 3) podani sta hiperbola in ekscentričnost ε =. x Kanonična enačba hiperbole = 1. Iz enakosti a b a + b = imamo b = a 5 9. Zato = 1 in a = 16. Zato je kanonična enačba elipse = a a a x 16 5

6 3. Poišči točke na paraboli = 10x, katerih goriščni polmer je 1,5. Upoštevajte, da se parabola nahaja v desni polravnini. Če M (x; leži na paraboli, potem je x 0. Parameter p = 5. Naj bo (;)) M x zahtevana točka, F fokus, () direktrisa parabole. Potem je F, 5; 0, d: x =, 5. Ker je FM = ρ (M, d), potem je x +, 5 = 1,5, 10 Odgovor: () 1 10; 10 x =, = 100, = ± 10. Torej, dobili smo dve točki. M 10; 10 M, () 4. Na desni veji hiperbole, ki jo daje enačba x = 1, poiščite točko, katere oddaljenost od desnega žarišča je 16 9 dvakrat manjša od oddaljenosti od levega žarišča. Za desno vejo hiperbole so goriščni polmeri določeni s formulama r 1 = ε x a in r = ε x + a. Zato dobimo enačbo ε x + a = (ε x a). Za dano hiperbolo je a = 4, 5, c = 5 in ε =. Zato je x = 9,6. Zato imamo = ± x 16 = ± d Odgovor: dve točki M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Poišči enačbo premice, za katero koli točko je razmerje razdalje do točka F (3; 0) do razdalje do premice 1 x 8 = 0 je enaka ε =. Določite ime vrstice in njene parametre. M x; želeno črto velja enakost: Za poljubno točko () FM (x 3) + 1 = =. ρ (Ml,) x 8 6

7 Zato imamo [(x 3) +] = (x 8). Če razširimo oklepaje in prerazporedimo člene, dobimo (x +) + = 50, t.j. (x +) + = Odgovor: zahtevana premica je elipsa s središčem v točki in polosema a = 5 in b = Najdi enačbo hiperbole Stare koordinate koordinat O () x; 0; ;,;. C (; 0) = 8 v novem sistemu (x;) in novi (zt;) so povezani z matrično enakostjo 1 1 x z 1 z + t = 1 1 t = z t. Zato je enačba x = 8 z + t z t = 8, zt = 4. Odgovor: zt = 4. γ: 4x 4x + 8x + 4+ 3 = 0 do kano- 7. Pripeljemo krivuljo do edinstvene oblike. v novih koordinatah ima obliko. Razmislite o kvadratni obliki () q x, = 4x 4x +. Matrica oblike q ima lastni vrednosti 5 in 0 ter ustrezne ortonormalne vektorje in pojdimo na nov koordinatni sistem: 7

8 z 1 1 x. t = 5 1 Stare koordinate (x;) izrazimo z novimi (zt); : 1 1 z + tx 1 z = 1 t =, 1 zt pomeni, x = z + t, = z + t Če te izraze nadomestimo v enačbo krivulje γ, dobimo 0 = 4x 4x + 8x = x = z + 1 t, = 1 z + t ( ) () () () = 5z 4 5z + 3 = z 5 4 z 5 + 3 = z 5 1 z 5 3. Zato je v novih koordinatah podana krivulja γ z enačbo 1 3 γ: zz =. Če nastavimo = z, x = t, dobimo γ: =, 1, od koder najdemo kanonično enačbo krivulje γ: = 0 v kanoničnih koordinatah = 5 x 1 1 x Upoštevajte, da je krivulja γ par vzporednih premic. 1B Dodatki k gospodarskim in finančnim težavam 8. Naj imajo Anya, Boris in Dmitry vsak po 150 rubljev za nakup sadja. Znano je, da 1 kg hrušk stane 15 denarnih enot, 1 kg jabolk pa 10 denarnih enot. Poleg tega vsak od treh 8

9 ima lastno uporabno funkcijo, ki jo želi pri nakupu povečati. Naj se kupi x1 kg hrušk in x kg jabolk. Te funkcije uporabnosti so naslednje: u = x + x za Ani, 1 A 1 x u B = + x za Borisa in ud = x1 x za Dmitrija. Za Ani, Borisa in Dmitrija je treba najti načrt nakupa (x1, x), v katerem zagotavljajo maksimum svoje uporabne funkcije. x sl. 5 Obravnavani problem je mogoče rešiti geometrijsko. Za rešitev tega problema je treba uvesti koncept ravnine. x x 1 sl. 6 Ravninska črta funkcije z = f (x,) je množica vseh točk na ravnini, na katerih funkcija ohranja konstantno vrednost enako h. x 9

10 V tem primeru bo rešitev uporabila tudi začetne koncepte geometrijskih domen na ravnini, določene z linearnimi neenakostmi (glej pododdelek 1.4). x x 1 sl. 7 Ravninske črte funkcij ua, u B in u D predstavljajo ravne črte, elipse in hiperbole za Ani, Borisa in Dmitrija. V smislu problema predpostavljamo, da je x1 0, x 0. Po drugi strani pa je proračunska omejitev zapisana kot neenakost 15x1 + 10x 150. Če zadnjo neenakost delimo z 10, dobimo 3x1 + x 30 ali + 1. Preprosto je videti, da je x1 x domena rešitev te neenakosti skupaj s pogoji nenegativnosti trikotnik, omejen s premicami x1 = 0, x = 0 in 3x1 + x =

11 X * X * sl. 8 sl. 9 Na podlagi geometrijskih vzorcev je zdaj enostavno ugotoviti, da je uamax = ua (0,15) = 15, ubmax = ub (0,15) = 5 in udmax = ud (Q). Koordinate točke Q dotika hiperbole nivoja stranice proračunskega trikotnika je treba izračunati že analitično. Če želite to narediti, upoštevajte, da točka Q izpolnjuje tri enačbe: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x "= =. X1 X * sl.

12 Če izločimo h iz enačb, dobimo koordinate točke Q = (x, x) = (5; 7.5). 1 Odgovor: Q = (x1, x) = (5; 7,5). 9. Nelinearni model stroškov in dobička podjetja. Naj podjetje proizvaja večnamensko opremo dveh vrst, A in B, v količini x in proizvodnih enotah. V tem primeru je dohodek podjetja za leto izražen s funkcijo dohodka Rx (,) = 4x +, proizvodni stroški pa so izraženi s funkcijo stroškov 1 1 Cx (,) = 7,5+ x + 4, ki jo podjetje prejme največji dobiček Določite proizvodni načrt (x, ) pri 3

13 Funkcija dobička je sestavljena kot razlika med funkcijo dohodka in funkcijo stroškov: 1 1 Π (x,) = R (x,) C (x,) = 4x + 7,5 x. 4 Po izvedbi transformacij se zadnji izraz zmanjša na obliko 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1). 4 Linijske črte za funkcijo dobička so (x 8) (1) = h. 4 Vsaka nivojska črta 0 h 9 je elipsa s središčem v izhodišču. Iz dobljenega izraza je enostavno razbrati, da je maksimum funkcije dobička 9 in je dosežen pri x = 8, = 1. Odgovor: x = 8, = 1. 13BE Vaje in testna vprašanja.1. Napišite normalno enačbo za krog. Poiščite koordinate središča in polmer kroga: a) x + + 8x 6 = 0; b) x x = 0 ... Naredite enačbo kroga, ki poteka skozi točke M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3; 0) .. 3. Definiraj elipso in napiši njeno kanonično enačbo. Napišite kanonično enačbo elipse, če je 1 njena ekscentričnost ε = in je velika polos enaka. Naredite enačbo elipse, katere žarišča ležijo na ordinatni osi simetrično glede na izvor, poleg tega vemo , da je razdalja med njenimi žarišči c = 4 in ekscentričnost ε = Določi ekscentričnost elipse. Poiščite ekscentričnost elipse, če je njena glavna os štirikrat večja od pomožne osi. 33

14 .6. Definiraj hiperbolo in napiši njeno kanonično enačbo. Skozi točko M (0; 0,5) in desno oglišče hiperbole je potegnjena ravna črta, podana z enačbo = 1. Poišči koordinate druge točke presečišča premice in hiperbole Podaj definicijo ekscentričnosti hiperbole. Napiši njeno kanonično enačbo, če je a = 1, b = 5. Kolikšna je ekscentričnost te hiperbole? .8. Napišite enačbe za asimptote hiperbole, ki jih daje njena kanonična enačba. Naredite enačbo hiperbole, 3, če so njene asimptote podane z enačbami = ± x in hiperbola 5 poteka skozi točko M (10; 3 3) .. 9. Definiraj parabolo in napiši njeno kanonično enačbo. Napišite kanonično enačbo parabole, če je os abscise njena simetrična os, njeno vrh leži v izhodišču in je dolžina tetive parabole, pravokotne na os Ox, 8, razdalja te tetive od vrha pa je je Na paraboli = 1x, poiščite točko, katere žariščni polmer je Proposition in povpraševanje po določenem produktu je podano s funkcijami p = 4q 1, p = +. Poiščite tržno ravnotežno točko. 1 q Ustvari grafe ... 1. Andrej, Katja in Nikolaj bodo kupili pomaranče in banane. Kupite x1 kg pomaranč in x kg banan. Vsak od treh ima svojo funkcijo uporabnosti, ki kaže, kako koristen se mu zdi nakup. Te funkcije koristnosti so naslednje: u = x + x za Andreja, 1 4 A 4 1 u K = x + x za Katjo in un = x1 x za Nikolaja. a) Narišite črte ravni funkcije uporabnosti za vrednosti ravni h = 1, 3. b) Za vsako razporedite po vrstnem redu nakupne preference rrr r = (4,1), s = ( 3,8), t = (1,1). 34

Modul analitične geometrije. Analitična geometrija na ravnini in v prostoru Predavanje 7 Povzetek Premice drugega reda na ravnini: elipsa, hiperbola, parabola. Opredelitev, splošne značilnosti.

PREDAVANJE N15. Krivulje drugega reda. 1. Krog ... 1. Elipsa ... 1 3. Hiperbola .... 4. Parabola .... 4 1. Krog Krivulja drugega reda je premica, ki jo definira enačba druge stopnje glede na

8 Krivulje drugega reda 81 Krog Množica točk ravnine, ki je enako oddaljena od ene točke, imenovane središče, na razdalji, ki se imenuje polmer, imenovana krog Naj bo središče kroga

Predavanje 13 Tema: Krivulje drugega reda Krivulje drugega reda v ravnini: elipsa, hiperbola, parabola. Izpeljava enačb za krivulje drugega reda na podlagi njihovih geometrijskih lastnosti. Preučevanje oblike elipse,

PREDAVANJE Vrstice drugega reda hiperbole Kot primer najdemo enačbe, ki definirajo krog, parabolo, elipso in krog.

Krivulje drugega reda Krožnica Elipsa Hiperbola Parabola Naj je na ravnini podan pravokoten kartezijev koordinatni sistem. Krivulja drugega reda je niz točk, katerih koordinate izpolnjujejo

Premica in ravnina v prostoru Linearna algebra (predavanje 11) 24.11.2012 2/37 Premica in ravnina v prostoru Razdalja med dvema točkama M 1 (x 1, y 1, z 1) in M ​​2 (x 2, y 2, z 2)

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Yaroslavl State University poim P.G.Demidova Oddelek za algebro in matematično logične krivulje drugega reda I. del Metodična navodila

3. Hiperbola in njene lastnosti Definicija 3 .. Hiperbola je krivulja, definirana v nekem pravokotnem kartezijskem koordinatnem sistemu z enačbo 0. (3.) in Enakost (3.) se imenuje kanonska enačba

Praktična lekcija 1 Tema: Hiperbola Načrt 1 Definicija in kanonična enačba hiperbole Geometrijske lastnosti hiperbole Medsebojni položaj hiperbole in premice, ki poteka skozi njeno središče Asimptote

Beležki predavanj 13 ELIPSA, HIPERBOLA IN PARABOLA 0. Načrt predavanja Predavanje Elipsa, hiperbola in parabola. 1. Elipsa. 1.1. Definicija elipse; 1.2. Določitev kanoničnega koordinatnega sistema; 1.3. Izpeljava enačbe

MODUL PARABOL HIPERBOLA ELIPSA Praktična lekcija Tema: Načrt elipse Definicija in kanonična enačba elipse Geometrijske lastnosti elipse Ekscentričnost Odvisnost oblike elipse od ekscentričnosti

DRUGI PROBLEM 1. Ravna črta na ravnini. 1. Dve ravni črti sta podani z vektorskimi enačbami (, rn) = D in r = r + a in (an,) 0. Poišči vektor polmera presečišča premic. 0 t. Podano točko М 0 s polmerom vektorja

Krivulje drugega reda. Opredelitev: Črta krivulje) drugega reda je množica (M) točk ravnine, katere kartezijeve koordinate X, Y) izpolnjujejo algebraično enačbo druge stopnje:,

ALGEBRIČNE premice NA RAVNINI .. PREMICE PRVEGA REDA (LINEARJI V RAVNINI ... OSNOVNE VRSTE ENAČAČ LINEAROV V RAVNINI Neničelni vektor n, pravokoten na dano premico, se imenuje normalna

Elipsa in njene lastnosti Definicija .. Elipsa je krivulja drugega reda, definirana v nekem pravokotnem kartezijanskem koordinatnem sistemu z enačbo b, b 0. (.) Enakost (.) Imenuje se kanonična

0,5 setgray0 0,5 setgray1 1 Predavanje 9 ELIPSA, HIPERBOLA IN PARABOLA 1. Kanonična enačba elipse Definicija 1. Elipsa je geografsko mesto točk M na ravnini, vsota razdalj od vsake

ELEMENTI ANALITIČNE GEOMETRIJE Učne ravnine V TRIDIMENZIONALNEM PROSTORU Napišite vektorsko enačbo ravnine in razložite pomen veličin, vključenih v to enačbo Napišite splošno enačbo ravnine

Lekcija 12 Elipsa, hiperbola in parabola. Kanonične enačbe. Elipsa je lokus točk M na ravnini, za katero je vsota razdalj od dveh fiksnih točk F 1 in F 2, imenovana

LINEARNA ALGEBRA Predavanje Enačbe krivulj drugega reda Opredelitev kroga Krog je lokus točk, enako oddaljenih od ene točke, ki se imenuje središče kroga, na razdalji r

Uralska zvezna univerza, Inštitut za matematiko in računalništvo, Oddelek za algebro in diskretno matematiko Uvodne opombe To predavanje obravnava tretjo krivuljo drugega reda, parabolo.

Predavanje 9.30 Poglavje Analitična geometrija na ravnini Koordinatni sistemi na ravnini Pravokotni in polarni koordinatni sistemi Koordinatni sistem na ravnini je metoda, ki omogoča določanje

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Yaroslavl State University poim P. G. Demidova Oddelek za algebro in matematično logiko S. I. Yablokova Krivulje drugega reda Del Delavnica

Tema ELEMENTI ANALITIČNE GEOMETRIJE NA RAVNINI IN V PROSTORU Predavanje .. Premice na ravnini Pl in n. Metoda koordinat na ravnini .. Premica v kartezičnih koordinatah .. Pogoj vzporednosti in pravokotnosti

Linearna algebra in analitična geometrija Tema: Krivulje drugega reda Lektorica Rozhkova S.V. 01 15. Krivulje drugega reda Krivulje drugega reda delimo na 1) degenerirane in) nedegenerirane degenerirane

Predavanje 11 1. STOŽNI PREDELKI 1.1. Opredelitev. Razmislite o prerezu pravega krožnega stožca z ravnino, pravokotno na generatriko tega stožca. Za različne vrednosti kota α na vrhu v osi

Predavanje 9 1. STOŽNI PREDELKI 1.1. Opredelitev. Razmislite o prerezu pravega krožnega stožca z ravnino, pravokotno na generatriko tega stožca. Za različne vrednosti kota α na vrhu v osi

Uralska zvezna univerza, Inštitut za matematiko in računalništvo, Oddelek za algebro in diskretno matematiko Uvodne opombe V tem predavanju se preučuje še ena hiperbola krivulje drugega reda.

Praktična lekcija 14 Tema: Načrt parabole 1. Definicija in kanonična enačba parabole .. Geometrijske lastnosti parabole. Relativni položaj parabole in premice, ki poteka skozi njeno središče. Glavni

A N A L I T I Ch E C A Z G E O M E T R I Z krivulje drugega reda ŠIMANČUK Dmitrij Viktorovič [email protected] Fakulteta za uporabno matematiko procesov na državni univerzi v Sankt Peterburgu

Matrice 1 Dane matrike in Najdi: a) A + B; b) 2B; c) B T; d) AB T; e) B T A Rešitev a) Po definiciji vsote matrik b) Po definiciji produkta matrike s številom c) Po definiciji transponirane matrike

MOŽNOST 1 1 Poiščite naklon k premice, ki poteka skozi točki M 1 (18) in M ​​(1); zapišite enačbo ravne črte v parametrični obliki. Ustvarite enačbe za stranice in mediane trikotnika z oglišči A ()

Test. Dane matrike A, B in D. Poiščite AB 9D, če: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Pomnožite matriki A 3 in B 3. posledično bo C velikosti 3 3, sestavljen iz elementov

9. poglavje Krivulje na ravnini. Krivulje drugega reda 9. Osnovni pojmi Pravijo, da ima krivulja Γ v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy enačbo F (,) = 0, če točka M (x, y) pripada krivulji v tistem

Linearna algebra in analitična geometrija Tema: Krivulje drugega reda Predavatelj Pakhomova E.G. 01 15. Krivulje drugega reda Krivulje drugega reda delimo na 1) degenerirane in) nedegenerirane degenerirane

Uralska zvezna univerza, Inštitut za matematiko in računalništvo, Oddelek za algebro in diskretno matematiko Uvodne opombe V treh prejšnjih predavanjih so bile preučene premice in ravnine, t.j.

Poglavje 1 Krivulje in ploskve drugega reda V vseh odsekih razen v 1.9 je koordinatni sistem pravokoten. 1.1. Sestavljanje enačb za krivulje drugega reda in druge krivulje 1.p) Dokaži, da je množica

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Moskovska državna tehnična univerza po imenu N.E. Bauman Fakulteta za temeljne vede Oddelek za matematično modeliranje À.Í. Santnikov,

POGLAVJE 5. ANALITIČNA GEOMETRIJA 5 .. Enačba premice na ravnini Enačbi oblike F (x, y) 0 pravimo enačba premice, če to enačbo izpolnjujejo koordinate katere koli točke, ki leži na dani ravnini

Inštitut za inženiring in tehnologijo Balakovo - podružnica Zvezne državne avtonomne visokošolske ustanove "Nacionalna raziskovalna jedrska univerza" MEPhI "

Premice drugega reda Yu. L. Kalinovskiy Oddelek za visoko matematiko Univerze "Dubna" Načrt 2 3 4 5 6 7 Vrstice drugega reda: lokus točk, katerih kartezijeve koordinate izpolnjujejo enačbo

44. Definicija hiperbole. Hiperbola je množica vseh točk na ravnini, katerih koordinate v ustreznem koordinatnem sistemu izpolnjujejo enačbo 2 2 y2 = 1, (1) b2, kjer je b> 0. Ta enačba

Linearna algebra in analitična geometrija Tema: Krivulje drugega reda (nadaljevanje) Predavatelj Pakhomova E.G. 01 г. 4. Splošna definicija elipse, hiperbole in parabole DEFINICIJA. Vrstice a m se imenujejo direktne

1 Predavanje 1.4. Krivulje in površine drugega reda Povzetek: Kanonične enačbe krivulj so izpeljane iz definicij: elipsa, hiperbola in parabola. Podane so parametrične enačbe elipse in hiperbole.

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Zvezna državna proračunska izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje "Sibirska državna industrijska univerza"

Praktično delo Sestavljanje enačb premic in krivulj 2. reda Namen dela: utrditi zmožnost sestavljanja enačb premic in krivulj 2. reda Vsebina dela. Osnovni koncepti. B C 0 vektor

Naloge za vadbo zgrešenih ur Kazalo Tema: Matrice, dejanja na njih. Izračun determinant .... 2 Tema: Inverzna matrika. Reševanje sistemov enačb z uporabo inverzne matrike. Formule

Analitična geometrija 5 .. Premica na ravnini Različni načini definiranja premice na ravnini. Splošna enačba premice na ravnini. Lokacija ravne črte glede na koordinatni sistem. Geometrijski pomen

MOŽNOST 11 1 Točka M () je osnova navpičnice, spuščene iz točke N (1-1) na premico l Napišite enačbo premice l; poišči razdaljo od točke N do premice l Napiši enačbe za premice

49. Cilindrične in stožčaste ploskve 1. Cilindrične ploskve Definicija. Naj bosta v prostoru podana premica l in neničelni vektor a. Površina, ki jo tvorijo ravne črte, ki potekajo skozi vse mogoče

Analitična geometrija Analitična geometrija na ravnini. Analitična geometrija reševanje geometrijskih problemov z uporabo algebre, za katero se uporablja metoda koordinat. Pod koordinatnim sistemom na ravnini

1. možnost Naloga 1. Podajte geometrijsko definicijo elipse. Naloga 2. S pomočjo Dandelinovih kroglic dokaži, da elipsa nastane kot stožčasti prerez. Problem 3. Dokaži, da je množica točk P iz katerih

Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. ANALITIČNA GEOMETRIJA NA RAVNINI Kazan 008 0 Kazanska državna univerza Oddelek za splošno matematiko LR Sekaeva, ON Tyuleneva ANALITIČNA GEOMETRIJA NA RAVNINI

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Kazanska državna univerza za arhitekturo in gradbeništvo Oddelek za višjo matematiko Elementi vektorske in linearne algebre. Analitična geometrija.

Analitična geometrija na ravnini Linijska enačba je najpomembnejši koncept v analitični geometriji. y М (x, y) 0 x Definicija. Enačba premice (krivulje) na ravnini Oxy je enačba, ki ji

Vzorci osnovnih letalskih problemov Gaussova metoda Določeni sistemi linearnih enačb Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo 6

MOŽNOST 16 1 Skozi točki M 1 (3 4) in M ​​(6) je narisana ravna črta. Poiščite presečišča te premice s koordinatnimi osemi Sestavite enačbe stranic trikotnika, za katere sta točki A ( 1) B (3 1) C (0 4) so

Preizkus 3 MOŽNOST 1 Naredite enačbo premice, ki je pravokotna na točko presečišča ravnih črt in poteka skozi .. Zapišite enačbo premice, ki poteka skozi točke, in poiščite razdaljo od točke

ELEMENTI ANALITIČNE GEOMETRIJE NA RAVNINI. Premica 1. Izračunaj obseg trikotnika, katerega oglišča so točke A (6; 7), B (3; 3), C (1; 5). 2. Poiščite točko, enako oddaljeno od točk A (7;

Analitična geometrija Modul 1 Matrična algebra Vektorska algebra Besedilo 5 (samostojna študija) Anotacija Kartezijev pravokotni koordinatni sistem na ravnini in v prostoru Formule za razdaljo

Ministrstvo za izobraževanje Ruske federacije Rostovska državna univerza Fakulteta za mehaniko in matematiko Oddelek za geometrijo Kazak V.V. Delavnica analitične geometrije za prve učence

ANALITIČNA GEOETIJA SPLOŠNA ENAČBA RAVNINE. GPD Z ravnino razumemo površino z lastnostjo, da če dve točki premice pripadata ravnini, potem vse točke premice pripadajo dani

PREDAVANJE 5 ELEMENTI ANALITIČNE GEOMETRIJE. 1 1. Enačba površine in enačbe premice v prostoru. Geometrični pomen enačb V analitični geometriji se vsaka površina obravnava kot množica

1. poglavje LINEARJE IN RAVNINE n R. 1.1. Točkovni prostori Prej je bil obravnavan aritmetični prostor nizov. V matematiki je mogoče razlagati končno urejen niz koordinat ne samo

Testna naloga iz analitične geometrije. Semester 2. Možnost 1 1. Poiščite enačbe tangent na krog (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, vzporedno s premo črto 5x 12y + 1 = 0. 2. Zapišite enačbo tangento

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Zvezna državna avtonomna izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje "Zvezna univerza Kazan (Volga)"

Diferenciali višjega reda. Izpitna vozovnica. Matrice, osnovni pojmi in definicije .. Napiši enačbo kroga, če sta točki A (;) in B (-; 6) konca enega od premerov.. Podana so oglišča

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Moskovska državna tehnična univerza po imenu N.E. Bauman Fakulteta za temeljne vede Oddelek za matematično modeliranje À.Í. Santnikov,

Površine drugega reda. Površina v tridimenzionalnem prostoru je opisana z enačbo oblike F (x; y; z) = 0 ali z = f (x; y). Presečišče dveh površin definira črto v prostoru, t.j. črta v prostoru

Vrstice drugega reda.
Elipsa in njena kanonična enačba. Krog

Po temeljiti študiji ravne črte na ravnini nadaljujemo s preučevanjem geometrije dvodimenzionalnega sveta. Vložki se podvojijo in vabim vas, da obiščete slikovito galerijo elips, hiperbol, parabol, ki so značilni predstavniki vrstice drugega reda... Ogled se je že začel in najprej kratke informacije o celotni razstavi v različnih nadstropjih muzeja:

Pojem algebraične črte in njen vrstni red

Imenuje se črta na ravnini algebraično, če je v afini koordinatni sistem njena enačba ima obliko, kjer je polinom, sestavljen iz členov oblike (- realno število, - nenegativna cela števila).

Kot lahko vidite, enačba algebraične črte ne vsebuje sinusov, kosinusov, logaritmov in drugih funkcionalnih beau monde. Samo "x" in "igre" v nenegativna cela števila stopinj.

Vrstni red je enaka največji vrednosti vanj vključenih izrazov.

V skladu z ustreznim izrekom koncept algebraične črte, kot tudi njen vrstni red, nista odvisna od izbire afini koordinatni sistem, zato zaradi lažjega razumevanja predpostavljamo, da se vsi nadaljnji izračuni izvajajo v Kartezijanske koordinate.

Splošna enačba vrstica drugega reda ima obliko, kjer - poljubna realna števila (običajno je pisati z množiteljem - "dva"), koeficienti pa hkrati niso enaki nič.

Če, potem je enačba poenostavljena na , in če koeficienti niso hkrati enaki nič, potem je to točno splošna enačba "ravne" črte kateri je vrstica prvega naročila.

Mnogi so razumeli pomen novih izrazov, a kljub temu, da bi 100-odstotno asimilirali material, vtaknemo prste v vtičnico. Če želite določiti vrstni red vrstice, morate ponoviti vsi izrazi njene enačbe in za vsako od njih poiščite vsota stopinj vhodne spremenljivke.

Na primer:

izraz vsebuje "x" v 1. stopnji;
izraz vsebuje "igro" v 1. stopnji;
v izrazu ni spremenljivk, zato je vsota njihovih moči enaka nič.

Zdaj pa ugotovimo, zakaj enačba postavlja črto drugič naročilo:

izraz vsebuje "x" v 2. stopnji;
seštevek ima vsoto stopenj spremenljivk: 1 + 1 = 2;
izraz vsebuje "igro" v 2. stopnji;
vsi ostali izrazi - manjše stopnje.

Največja vrednost: 2

Če k naši enačbi dodamo, recimo, še dodatno, potem bo že določila vrstica tretjega reda... Očitno splošna oblika enačbe vrstice tretjega reda vsebuje "popoln nabor" členov, vsota potenk spremenljivk, v katerih je enaka trem:
, kjer koeficienti hkrati niso enaki nič.

V primeru, da dodamo enega ali več ustreznih izrazov, ki vsebujejo , potem bomo govorili o Vrstice 4. reda, itd

Večkrat se bomo morali ukvarjati z algebrskimi vrsticami 3., 4. in višjega reda, zlasti ko se seznanimo z polarni koordinatni sistem.

Vendar pa se vrnimo k splošni enačbi in se spomnimo njenih najpreprostejših šolskih različic. Kot primera se nakazujeta parabola, katere enačbo je mogoče enostavno reducirati na splošno obliko, in hiperbola z enakovredno enačbo. Vendar pa ni vse tako gladko...

Pomembna pomanjkljivost splošne enačbe je, da skoraj vedno ni jasno, katero črto postavlja. Tudi v najpreprostejšem primeru ne boste takoj ugotovili, da je to hiperbola. Takšne postavitve so dobre le pri maškaradi, zato se med analitično geometrijo obravnava tipičen problem reduciranje enačbe vrstice drugega reda na kanonično obliko.

Kakšna je kanonična oblika enačbe?

To je splošno sprejeta standardna oblika enačbe, ko v nekaj sekundah postane jasno, kateri geometrijski objekt definira. Poleg tega je kanonični pogled zelo priročen za reševanje številnih praktičnih nalog. Tako na primer glede na kanonično enačbo "Ravno" naravnost, prvič, takoj je jasno, da je ravna črta, in drugič, točko, ki ji pripada, in vektor smeri je mogoče zlahka videti.

Očitno kateri koli 1. vrstica naročila je ravna črta. V drugem nadstropju pa nas ne čaka stražar, ampak precej bolj raznolika družba devetih kipov:

Razvrstitev vrstic drugega reda

S pomočjo posebnega niza dejanj se vsaka enačba vrstice drugega reda zmanjša na eno od naslednjih vrst:

(in so pozitivne realne številke)

1) - kanonična enačba elipse;

2) - enačba kanonske hiperbole;

3) - kanonična enačba parabole;

4) – imaginarno elipsa;

5) - par sekajočih se ravnih črt;

6) - par imaginarno sekajoče se črte (z edino veljavno presečišče v izhodišču);

7) - par vzporednih ravnih črt;

8) - par imaginarno vzporedne črte;

9) - par sovpadajočih ravnih črt.

Nekateri bralci lahko dobijo vtis, da je seznam nepopoln. Na primer, v točki 7 enačba določa par neposredno vzporedno z osjo, in postavlja se vprašanje: kje je enačba, ki določa premice, vzporedne z ordinato? Odgovori ne velja za kanoničnega... Ravne črte predstavljajo isto standardno ohišje, zasukano za 90 stopinj, dodaten vnos v razvrstitvi pa je odveč, saj ne nosi nič bistveno novega.

Tako obstaja devet in samo devet različnih vrst linij 2. reda, v praksi pa so najpogostejši elipsa, hiperbola in parabola.

Poglejmo najprej elipso. Kot običajno se osredotočam na tiste točke, ki so velikega pomena za reševanje problemov, in če potrebujete podrobno izpeljavo formul, dokaze izrekov, si oglejte na primer učbenik Bazylev / Atanasyan ali Aleksandrov.

Elipsa in njena kanonična enačba

Črkovanje ... prosim, ne ponavljajte napak nekaterih uporabnikov Yandexa, ki jih zanimajo "kako sestaviti elipso", "razlika med elipso in ovalom" in "ekscentričnost elipse".

Kanonična enačba elipse ima obliko, kjer so pozitivna realna števila in. Pozneje bom oblikoval samo definicijo elipse, za zdaj pa je čas, da se odpočijemo od govornice in rešimo pogost problem:

Kako sestavim elipso?

Ja, vzemi in samo nariši. Z nalogo se pogosto srečujemo in pomemben del študentov se z risbo ne spopada povsem kompetentno:

Primer 1

Konstruiraj elipso, ki jo poda enačba

Rešitev: najprej pripeljemo enačbo v kanonično obliko:

Zakaj voditi? Ena od prednosti kanonične enačbe je, da omogoča takojšnjo določitev elipse ki so v točkah. Preprosto je videti, da koordinate vsake od teh točk izpolnjujejo enačbo.

V tem primeru :


Oddelek se imenujejo glavna os elipsa;
oddelek – manjša os;
številko se imenujejo velika pol os elipsa;
številko – mala pol os.
v našem primeru:.

Če si želite hitro predstavljati, kako izgleda ta ali ona elipsa, je dovolj, da pogledate vrednosti "a" in "bs" njene kanonične enačbe.

Vse je v redu, zložljivo in lepo, vendar obstaja eno opozorilo: risbo sem naredil s programom. In risbo lahko dokončate s katero koli aplikacijo. Vendar pa je v hudi realnosti na mizi kariran kos papirja, na naših rokah pa v krogih plešejo miške. Ljudje z umetniškim talentom se seveda lahko prepirajo, vendar imate tudi miške (čeprav manjše). Ni zaman, da je človeštvo izumilo ravnilo, kompas, kotomer in druge preproste naprave za risanje.

Zaradi tega je malo verjetno, da bomo zmogli natančno narisati elipso, če poznamo samo oglišča. Še vedno v redu, če je elipsa majhna, na primer s polosmi. Druga možnost je, da zmanjšate obseg in s tem tudi dimenzije risbe. Toda v splošnem primeru je zelo zaželeno najti dodatne točke.

Obstajata dva pristopa k oblikovanju elipse - geometrijski in algebraični. Ni mi všeč gradnja s pomočjo kompasa in ravnila zaradi ne najkrajšega algoritma in znatne nereda risbe. V nujnih primerih si oglejte učbenik, v resnici pa je veliko bolj racionalno uporabljati orodja algebre. Iz enačbe elipse na osnutku hitro izrazite:

Nadalje se enačba razdeli na dve funkciji:
- definira zgornji lok elipse;
- definira spodnji lok elipse.

Elipsa, določena s kanonično enačbo, je simetrična glede na koordinatne osi, pa tudi glede izvora. In to je super – simetrija je skoraj vedno znanilec zastonj. Očitno je dovolj, da se ukvarjamo s 1. koordinatnim četrtletjem, zato potrebujemo funkcijo ... Iskanje dodatnih točk z abscisami se zdi samoumevno ... Na kalkulator smo zadeli tri sms-e:

Seveda je prijetno tudi to, da se bo v primeru resne napake pri izračunih to takoj pokazalo med gradnjo.

Označite točke na risbi (rdeča), simetrične točke na preostalih lokih (modra) in previdno povežite celotno podjetje s črto:


Začetno skico je bolje narisati tanko in tanko in šele nato pritisniti na svinčnik. Rezultat bi morala biti dostojna elipsa. Mimogrede, bi rad vedel, kakšna je ta krivulja?

Opredelitev elipse. Gorišča elips in ekscentričnost elipse

Elipsa je poseben primer ovala. Besede "oval" ne bi smeli razumeti v filistinskem pomenu ("otrok je narisal oval" itd.). To je matematični izraz, ki ima natančno formulacijo. Namen te lekcije ni obravnavati teorije ovalov in njihovih različnih tipov, ki so v standardnem tečaju analitične geometrije skoraj prezrti. In v skladu z bolj relevantnimi potrebami skočimo naravnost na strogo definicijo elipse:

Elipsa Je množica vseh točk ravnine, od katerih je vsota razdalj do vsake od dveh danih točk, imenovana triki elipsa, - je konstantna vrednost, številčno enaka dolžini glavne osi te elipse:.
V tem primeru je razdalja med fokusoma manjša od te vrednosti:.

Zdaj bo vse bolj jasno:

Predstavljajte si, da modra pika "poganja" elipso. Torej, ne glede na to, katero točko elipse vzamemo, bo vsota dolžin segmentov vedno enaka:

Prepričajmo se, da je v našem primeru vrednost vsote res enaka osmim. V mislih postavite točko "em" na desni vrh elipse, nato:, kar ste želeli preveriti.

Drug način risanja temelji na definiciji elipse. Višja matematika je včasih vzrok za napetost in stres, zato je čas za novo razbremenitev. Vzemite Whatman papir ali velik kos kartona in ga z dvema čepkoma pripnite na mizo. To bodo triki. Na štrleče glavice nohtov privežite zeleno nit in jo s svinčnikom potegnite do konca. Vrat svinčnika bo na neki točki, ki pripada elipsi. Zdaj začnite s svinčnikom slediti po listu papirja, pri čemer naj bo zelena nit napeta. Postopek nadaljujte, dokler se ne vrnete na izhodišče ... odlično ... risbo lahko oddate učitelju v preverjanje =)

Kako najdem žarišča elipse?

V danem primeru sem upodobil "pripravljene" žariščne točke, zdaj pa se bomo naučili, kako jih izluščiti iz globin geometrije.

Če je elipsa podana s kanonično enačbo, imajo njena žarišča koordinate , kje je razdalja od vsakega žarišča do središča simetrije elipse.

Izračuni so lažji od kuhane repe:

! Konkretnih koordinat žarišč ni mogoče identificirati s pomenom "tse"! Ponavljam, da je to RAZDALJA od vsakega fokusa do središča(ki v splošnem primeru ni nujno, da se nahaja točno na izvoru).
Zato tudi razdalje med žarišči ni mogoče vezati na kanonični položaj elipse. Z drugimi besedami, elipso lahko premaknete na drugo mesto in vrednost ostane nespremenjena, medtem ko bodo fokusi naravno spremenili svoje koordinate. Upoštevajte to pri nadaljnjem raziskovanju teme.

Ekscentričnost elipse in njen geometrijski pomen

Ekscentričnost elipse je razmerje, ki lahko sprejme vrednosti znotraj.

v našem primeru:

Ugotovimo, kako je oblika elipse odvisna od njene ekscentričnosti. Za to popraviti levo in desno oglišče obravnavana elipsa, to pomeni, da bo vrednost velike pol osi ostala konstantna. Potem bo formula ekscentričnosti dobila obliko:.

Začnimo približevati vrednost ekscentričnosti enoti. To je možno le, če. Kaj to pomeni? ... spomnite se čarovniških trikov ... To pomeni, da se bodo žarišča elipse "razmaknila" vzdolž abscisne osi do stranskih oglišč. In ker "zeleni segmenti niso gumijasti", se bo elipsa neizogibno začela sploščiti in se bo spremenila v vse tanjšo klobaso, nanizano na os.

tako, bližje kot je vrednost ekscentričnosti elipse enoti, bolj je elipsa podolgovata.

Zdaj pa simulirajmo nasprotni proces: žarišča elipse. šli drug proti drugemu in se približevali središču. To pomeni, da je vrednost "tse" vedno manjša in s tem se ekscentričnost nagiba k nič:.
V tem primeru bodo "zeleni segmenti" nasprotno "postali gneči" in začeli bodo "potiskati" črto elipse navzgor in navzdol.

tako, bližje kot je vrednost ekscentričnosti nič, bolj je elipsa videti... poglejte skrajni primer, ko se žarišča uspešno ponovno združijo v izvoru:

Krog je poseben primer elipse

Dejansko ima v primeru enakosti polos kanonična enačba elipse obliko, ki se refleksno preoblikuje v dobro znano iz šolske enačbe kroga s središčem v izhodišču koordinat polmera "a".

V praksi se pogosteje uporablja posnetek z "govorečo" črko "er":. Polmer je dolžina segmenta, pri čemer je vsaka točka kroga od središča oddaljena za razdaljo polmera.

Upoštevajte, da ostaja definicija elipse popolnoma pravilna: žarišča sovpadajo, vsota dolžin sovpadajočih segmentov za vsako točko kroga pa je konstantna vrednost. Ker je razdalja med žarišči, torej ekscentričnost katerega koli kroga je nič.

Krog se zgradi enostavno in hitro, dovolj je, da se oborožite s kompasom. Kljub temu je včasih treba ugotoviti koordinate nekaterih njegovih točk, v tem primeru gremo po znani poti - enačbo pripeljemo do živahne Matanove oblike:

- funkcija zgornjega polkroga;
- funkcija spodnjega polkroga.

Nato najdemo zahtevane vrednosti, razlikovati, integrirati in delati druge dobre stvari.

Članek je seveda samo za referenco, a kako na svetu lahko živite brez ljubezni? Ustvarjalna naloga za samostojno reševanje

Primer 2

Napišite kanonično enačbo elipse, če sta znani eno od njenih žarišč in mala pol os (središče je v izhodišču). Poiščite oglišča, dodatne točke in narišite črto na risbi. Izračunajte ekscentričnost.

Rešitev in risanje na koncu lekcije

Dodajmo dejanje:

Vrtenje in vzporedno prevajanje elipse

Vrnimo se k kanonični enačbi elipse, in sicer k pogoju, katerega uganka že od prve omembe te krivulje muči radovedne misli. Tukaj smo pregledali elipso , vendar v praksi to ni enačba ? Konec koncev, pa se zdi, da je tudi tukaj kot elipsa!

Takšna enačba je redka, vendar se pojavlja. In res definira elipso. Razblinimo mistiko:

Kot rezultat konstrukcije dobimo našo domačo elipso, zasukano za 90 stopinj. to je, - to je nekanonična notacija elipsa . Zapis!- enačba ne definira nobene druge elipse, saj na osi ni točk (žarišč), ki bi ustrezale definiciji elipse.