Tema »Različni problemi za poliedre, cilinder, stožec in kroglo« je ena najtežjih pri predmetu geometrije v 11. razredu. Pred reševanjem geometrijskih nalog običajno preučijo ustrezne dele teorije, na katere se sklicujejo pri reševanju problemov. V učbeniku S. Atanasyana in drugih na to temo (str. 138) lahko najdemo le definicije poliedra, opisanega okoli krogle, poliedra, vpisanega v kroglo, krogle, vpisane v polieder, in opisane krogle blizu poliedra. V metodoloških priporočilih za ta učbenik (glej knjigo "Študij geometrije v 10-11 razredih" S.M. Sahakyan in V.F.Butuzov, str. 159) je navedeno, katere kombinacije teles se upoštevajo pri reševanju nalog št. 629-646 in opozarja se na dejstvo, da je treba "pri reševanju določenega problema najprej zagotoviti, da imajo študenti dobro predstavo o medsebojni razporeditvi teles, ki so navedena v pogoju". Sledi rešitev problemov št. 638 (a) in št. 640.

Ob upoštevanju vsega naštetega in dejstva, da so za študente najtežje naloge težave z združevanjem žoge z drugimi telesi, je treba ustrezna teoretična določila sistematizirati in jih posredovati študentom.

Definicije.

1. Krogla se imenuje vpisana v polieder, polieder pa je opisan okrog krogle, če se površina krogle dotika vseh ploskov poliedra.

2. Krogla se imenuje opisana okoli poliedra, polieder pa vpisan v kroglo, če površina krogle poteka skozi vsa oglišča poliedra.

3. Kroglica se imenuje vpisana v valj, prisekani stožec (stožec) in valj, okrnjen stožec (stožec) - opisan v bližini krogle, če se površina krogle dotika osnov (osnove) in vseh generatrič cilinder, okrnjen stožec (stožec).

(Iz te definicije sledi, da lahko veliki krog krogle vpišemo v kateri koli aksialni prerez teh teles).

4. Kroglica se imenuje opisana okrog valja, prisekani stožec (stožec), če osnovni krogi (osnovni krog in vrh) pripadajo površini krogle.

(Iz te definicije sledi, da je o katerem koli aksialnem prerezu teh teles mogoče opisati obseg večjega kroga krogle).

Splošne pripombe o položaju središča žoge.

1. Središče krogle, vpisane v polieder, leži na presečišču simetralnih ravnin vseh diedrskih kotov poliedra. Nahaja se samo znotraj poliedra.

2. Središče krogle, opisane okoli poliedra, leži na presečišču ravnin, pravokotnih na vse robove poliedra in potekajo skozi njihove sredine. Lahko se nahaja znotraj, na površini in zunaj poliedra.

Kombinacija žoge s prizmo.

1. Krogla, vpisana v ravno prizmo.

Izrek 1. Kroglo lahko vpišemo v ravno prizmo, če in samo, če je mogoče v osnovo prizme vpisati krog, višina prizme pa je enaka premeru te kroge.

Posledica 1. Središče krogle, vpisane v ravno prizmo, leži na sredini višine prizme, ki poteka skozi središče kroga, vpisanega v osnovo.

Posledica 2. Zlasti kroglo lahko vpišemo v ravne črte: trikotne, pravilne, štirikotne (v katerih so vsote nasprotnih strani osnove enake), če je H = 2r, kjer je H višina prizme , r je polmer kroga, vpisanega v osnovo.

2. Krogla, opisana okoli prizme.

2. izrek. Kroglo lahko opišemo v bližini prizme, če in samo, če je prizma ravna in je v bližini njene osnove opisati krog.

Posledica 1... Središče kroglice, opisane o ravni prizmi, leži na sredini višine prizme, potegnjene skozi središče kroga, opisanega okoli osnove.

Posledica 2. Zlasti kroglo je mogoče opisati: blizu ravne trikotne prizme, blizu pravilne prizme, blizu pravokotnega paralelepipeda, blizu ravne štirikotne prizme, v kateri je vsota nasprotnih kotov osnove 180 stopinj.

Iz učbenika L. S. Atanasyana o kombinaciji krogle s prizmo lahko predlagamo probleme št. 632, 633, 634, 637 (a), 639 (a, b).

Kombinacija žoge s piramido.

1. Krogla, opisana okoli piramide.

3. izrek. Kroglico lahko opišemo v bližini piramide, če in samo, če je mogoče opisati krog v bližini njene osnove.

Posledica 1. Središče krogle, ki je opisano okoli piramide, leži na presečišču premice, pravokotne na osnovo piramide, ki poteka skozi središče kroga, opisanega okoli te osnove, in ravnine, pravokotne na kateri koli stranski rob, vlečen skozi sredino te rob.

Posledica 2.Če sta stranska robova piramide enaka drug drugemu (ali enako nagnjena k ravnini osnove), potem lahko okoli takšne piramide opišemo kroglo. Središče te krogle v tem primeru leži na točki presečišča višina piramide (ali njenega nadaljevanja) s simetrično osjo stranskega roba, ki leži v ravnini stranskega rebra in višine.

Posledica 3. Zlasti kroglo je mogoče opisati: blizu trikotne piramide, blizu pravilne piramide, blizu štirikotne piramide, v kateri je vsota nasprotnih kotov 180 stopinj.

2. V piramido vpisana krogla.

4. izrek. Če so stranske ploskve piramide enako nagnjene k podstavku, potem lahko v takšno piramido vpišemo kroglo.

Posledica 1. Središče krogle, vpisane v piramido, katere stranske ploskve so enako nagnjene k podstavku, leži na presečišču višine piramide s simetralo linearnega kota katerega koli diedralnega kota na dnu piramide, katerega stranica je višina stranske ploskve, vlečena od vrha piramide.

Posledica 2. V pravilno piramido lahko vpišemo kroglo.

Iz učbenika L.S. Atanasyana o kombinaciji krogle s piramido lahko predlagamo probleme št. 635, 637 (b), 638, 639 (c), 640, 641.

Kombinacija žoge z okrnjeno piramido.

1. Krogla, opisana okoli pravilne prisekane piramide.

5. izrek. Kroglo lahko opišemo okoli katere koli pravilne okrnjene piramide. (Ta pogoj je zadosten, ni pa nujen)

2. Krogla, vpisana v pravilno prisekano piramido.

6. izrek. Kroglico lahko vpišemo v pravilno okrnjeno piramido, če in samo če je apotem piramide enak vsoti apotemov osnov.

V učbeniku L.S. Atanasyana (št. 636) obstaja samo ena težava za kombinacijo krogle z okrnjeno piramido.

Kombinacija žoge z okroglimi telesi.

7. izrek. Kroglico lahko opišemo okoli valja, prisekanega stožca (ravnega krožnega) ali stožca.

8. izrek. V valj (ravno krožno) lahko vpišemo kroglo, če in samo če je valj enakostranični.

9. izrek. Kroglico lahko vpišemo v kateri koli stožec (ravno krožno).

10. izrek. Kroglico lahko vpišemo v okrnjen stožec (ravni krožni), če in samo če je njen generator enak vsoti polmerov osnov.

Iz učbenika L.S. Atanasyana je mogoče predlagati probleme št. 642, 643, 644, 645, 646 za kombinacijo žoge z okroglimi telesi.

Za uspešnejše preučevanje gradiva na to temo je potrebno v pouk vključiti ustne naloge:

1. Rob kocke je enak a. Poiščite polmere kroglic: vpisane v kocko in opisane okoli nje. (r = a / 2, R = a3).

2. Ali je mogoče opisati kroglo (kroglo) okoli: a) kocke; b) pravokotni paralelepiped; c) nagnjen paralelepiped, na dnu katerega leži pravokotnik; d) ravni paralelepiped; e) nagnjen paralelepiped? (a) da; b) da; c) ne; d) ne; e) ne)

3. Ali je res, da je okrog katere koli trikotne piramide mogoče opisati kroglo? (da)

4. Ali je mogoče opisati kroglo okoli katere koli štirikotne piramide? (Ne, ne okoli katere koli štirikotne piramide)

5. Kakšne lastnosti mora imeti piramida, da lahko opiše kroglo okoli sebe? (Na njegovem dnu mora biti poligon, okoli katerega je mogoče opisati krog)

6. V kroglo je vpisana piramida, katere stranski rob je pravokoten na osnovo. Kako najdem središče krogle? (Središče krogle je presečišče dveh geometrijskih mest točk v prostoru. Prva je pravokotnica, narisana na ravnino osnove piramide, skozi središče okrog nje opisanega kroga. Druga je ravnina, pravokotna na ta stranski rob in potegnjena skozi njegovo sredino)

7. Pod kakšnimi pogoji lahko opišeš kroglo okoli prizme, na dnu katere je trapez? (Prvič, prizma mora biti ravna, in drugič, trapez mora biti enakokraki, da se okoli njega lahko opiše krog)

8. Katere pogoje mora izpolnjevati prizma, da bi lahko opisali kroglo okoli sebe? (Prizma mora biti ravna, njena osnova pa mora biti mnogokotnik, okoli katerega je mogoče opisati krog)

9. V bližini trikotne prizme je opisana krogla, katere središče leži zunaj prizme. Kateri trikotnik je osnova prizme? (Top trikotnik)

10. Ali lahko opišete kroglo okoli nagnjene prizme? (ne)

11. Pod kakšnim pogojem se bo središče krogle, opisane o ravni trikotni prizmi, nahajalo na eni od stranskih ploskov prizme? (Na dnu je pravokoten trikotnik)

12. Osnova piramide je enakokraki trapez.Ortogonalna projekcija vrha piramide na ravnino osnove je točka, ki se nahaja izven trapeza. Ali je mogoče opisati kroglo okoli takšnega trapeza? (Da, lahko. Dejstvo, da se ortogonalna projekcija vrha piramide nahaja izven njene osnove, ni pomembno. Pomembno je, da na dnu piramide leži enakokraki trapez – mnogokotnik, okoli katerega je lahko krog opisano)

13. V bližini pravilne piramide je opisana krogla. Kako se nahaja njeno središče glede na elemente piramide? (Središče krogle je na pravokotnici, povlečeni na ravnino osnove skozi njeno središče)

14. Pod kakšnim pogojem leži središče krogle, opisane o ravni trikotni prizmi: a) znotraj prizme; b) zunaj prizme? (Na dnu prizme: a) ostrokotni trikotnik; b) topokotnik)

15. Okrog pravokotnega paralelepipeda je opisana krogla, katere robovi so enaki 1 dm, 2 dm in 2 dm. Izračunaj polmer krogle. (1,5 dm)

16. V kateri prisekani stožec je mogoče vpisati kroglo? (V prisekanem stožcu, v katerega osni prerez je mogoče vpisati krog. Osni prerez stožca je enakokraki trapez, vsota njegovih osnov mora biti enaka vsoti njegovih stranskih stranic. Z drugimi besedami, vsota polmerov osnov stožca mora biti enaka generatrisi)

17. V okrnjen stožec je vpisana krogla. Pod kakšnim kotom je tvornica stožca vidna iz središča krogle? (90 stopinj)

18. Kakšno lastnost mora imeti ravna prizma, da se vanjo lahko vpiše krogla? (Prvič, na dnu ravne prizme mora biti mnogokotnik, v katerega je mogoče vpisati krog, in drugič, višina prizme mora biti enaka premeru kroga, vpisanega na dnu)

19. Navedite primer piramide, v katero ni mogoče vpisati krogle? (Na primer, štirikotna piramida s pravokotnikom ali paralelogramom na dnu)

20. Na dnu ravne prizme leži romb. Ali je mogoče v to prizmo vpisati kroglo? (Ne, ne morete, saj v splošnem primeru ne morete opisati kroga okoli romba)

21. Pod kakšnim pogojem je mogoče kroglo vpisati v ravno trikotno prizmo? (Če je višina prizme dvakrat večji od polmera kroga, vpisanega v osnovo)

22. Pod kakšnim pogojem je mogoče v pravilno štirikotno prisekano piramido vpisati kroglo? (Če je odsek dane piramide z ravnino, ki poteka skozi sredino stranice osnove, pravokotne nanjo, enakokraki trapez, v katerega je mogoče vpisati krog)

23. V trikotno prisekano piramido je vpisana krogla. Katera točka piramide je središče krogle? (Središče krogle, vpisane v to piramido, je na presečišču treh bisektralnih ravnin kotov, ki jih tvorijo stranske ploskve piramide z osnovo)

24. Ali je mogoče opisati kroglo okoli valja (desno krožno)? (Ja lahko)

25. Ali je mogoče opisati kroglo o stožcu, prisekanem stožcu (ravnem krožnem)? (Da, lahko v obeh primerih)

26. Ali je mogoče v kateri koli valj vpisati kroglo? Kakšne lastnosti mora imeti valj, da bi vanj vpisali kroglo? (Ne, ne vsak: osni prerez cilindra mora biti kvadraten)

27. Ali je mogoče v vsak stožec vpisati kroglo? Kako določiti položaj središča krogle, vpisane v stožec? (Da, na katero koli. Središče vpisane krogle je na presečišču višine stožca in simetrale kota naklona generatrike na ravnino osnove)

Avtor meni, da bi morali od treh učnih ur načrtovanja na temo »Različni problemi za poliedre, valj, stožec in kroglo« dve učni uri posvetiti reševanju problemov, ki vključujejo kombinacijo krogle z drugimi telesi. Zgoraj navedenih izrekov ni priporočljivo dokazovati zaradi premajhnega časa pri pouku. Povabite lahko študente, ki imajo dovolj spretnosti, da jih dokažejo, tako da navedete (po presoji učitelja) potek ali načrt dokazovanja.

Okoli krogle je opisana pravilna štirikotna prizma, katere prostornina je 65 dm 3. Izračunajte razmerje med celotno površino prizme in prostornino krogle
Prizma imenujemo pravilna, če so njene osnove pravilni mnogokotniki, stranski robovi pa pravokotni na osnovo. Pravilen štirikotnik je kvadrat. Presečišče diagonal kvadrata je njegovo središče, pa tudi središče vpisanega kroga. Dokažimo to dejstvo. čeprav je malo verjetno, da bo ta dokaz zahtevan in ga je mogoče izpustiti
Kot posebna oblika paralelograma, pravokotnika in romba ima kvadrat svoje lastnosti: diagonale so enake in so deljene s presečno točko na polovico in so simetrale vogalov kvadrata. Skozi točko E narišite premo črto TK, vzporedno z AB. AB je pravokotna na BC, kar pomeni, da je TC tudi pravokotna na BC (če je ena od dveh vzporednih ravnih črt pravokotna na katero koli tretjo premo, je druga vzporedna premica pravokotna na to (tretjo) premo črto). Na enak način bomo narisali ravno črto MR. Pravokotna trikotnika BET in AEK sta enaka po hipotenuzi in ostrem kotu (BE = AE - polovica diagonal, ∠ EBT = ∠ EAK - polovica pravega kota), torej ET = EK. Na enak način dokažimo, da je EM = EP. In iz enakosti trikotnikov CEP in CET (isti predznak) vidimo, da je ET = EP, t.j. ET = EP = EK = EM ali preprosto rečemo, da je točka M enako oddaljena od stranic kvadrata, kar je nujen pogoj, da jo prepoznamo kot središče kroga, vpisanega v ta kvadrat.
Razmislite o pravokotniku AVTK (ta štirikotnik je pravokotnik, saj so vsi vogali v njem po konstrukciji ravne črte). V pravokotniku sta nasprotni strani enaki - AB = CT (upoštevati je treba, da je CT osnovni premer) - to pomeni, da je osnovna stranica enaka premeru vpisanega kroga.
Narišimo ravnine skozi vzporedne (dve ravni črti, pravokotni na isto ravnino, vzporedni) AA 1, CC 1 in BB 1 oziroma DD 1 (vzporednice določata samo eno ravnino). Ravnini AA 1 C 1 C in BB 1 D 1 D sta pravokotni na osnovo ABCD, saj poteka skozi ravna (bočna rebra) pravokotno nanjo.
Iz točke H (presečišče diagonal) v ravnini AA 1 C 1 C pravokotno na osnovo ABCD. Nato bomo naredili enako v ravnini BB 1 D 1 D. Iz izreka: če iz točke, ki pripada eni od dveh pravokotnih ravnin, narišemo pravokotnico na drugo ravnino, potem ta pravokotnica popolnoma leži v prvi ravnini, dobimo, da mora ta pravokotnica ležati in v ravnini AA 1 C 1 C in v ravnini BB 1 D 1 D. To je možno le, če ta pravokotnica sovpada s presečno črto teh ravnin - NE. tiste. odsek NI ravna črta, na kateri leži središče vpisanega kroga (ker NI enako oddaljena od ravnin stranskih ploskov, to pa sledi iz enake razdalje točk E in H od oglišč ustreznih baz (kot dokazano: točka presečišča diagonal je enako oddaljena od stranic kvadrata ), vendar iz dejstva, da NI pravokotna na osnove, lahko sklepamo, da NI premer kroglice. Izrek. Kroglica se lahko vpiše v pravilno prizmo, če in samo če je njena višina enaka premeru kroga, vpisanega v osnovo.kroglice, potem je njena višina enaka premeru kroga, vpisanega v osnovo. a, in višina prizme presega h, potem s tem izrekom zaključimo a= h in potem lahko prostornino prizme najdemo takole:

Nadalje, z uporabo dejstva, da je višina enaka premeru vpisane krogle in strani osnove prizme, najdemo polmer kroglice in nato njeno prostornino:

Povedati je treba, da so stranski robovi enaki višini (odseki vzporednih ravnih, zaprti med vzporednima ravninama, so enaki), in ker je višina enaka strani osnove, potem na splošno vsi robovi prizme so enaki drug drugemu in vsi obrazi so v bistvu kvadrati s površino a 2. Pravzaprav se takšna figura imenuje kocka - poseben primer paralelepipeda. Ostaja še najti celotno površino kocke in jo povezati s prostornino krogle:

Kroglo je mogoče opisati okoli piramide, če in samo če je mogoče opisati krog okoli njene osnove.

Če želite zgraditi središče O te kroglice, potrebujete:

1. Poiščite središče O, krog, opisan okoli osnove.

2. Skozi točko O potegni ravno črto, pravokotno na ravnino osnove.

3. Skozi sredino katerega koli stranskega roba piramide narišite ravnino, pravokotno na ta rob.

4. Poišči točko O presečišča zgrajene premice in ravnine.

Poseben primer: stranski robovi piramide so enaki. Nato:

žogo je mogoče opisati;

središče O krogle leži v višini piramide;

Kje je polmer opisane krogle; - stransko rebro; H je višina piramide.

5.2. Žoga in prizma

Kroglico lahko opišemo v bližini prizme, če in samo če je prizma ravna in je v bližini njene osnove opisati krog.

Središče krogle je središče segmenta, ki povezuje središča krogov, opisanih blizu osnov.

kjer je polmer opisane krogle; - polmer opisane okoli osnove kroga; H je višina prizme.

5.3. Krogla in cilinder

Okoli valja je vedno mogoče opisati kroglo. Središče krogle je središče simetrije aksialnega prereza valja.

5.4. Žoga in stožec

Žogo lahko vedno opišemo blizu stožca. središče žoge; služi kot središče kroga, ki je opisan okoli aksialnega prereza stožca.

Če želite uporabiti predogled predstavitev, si ustvarite Google Račun (račun) in se prijavite vanj: https://accounts.google.com

Napisi diapozitivov:

Krogle, opisane okoli poliedrov.

Opredelitev. Polieder se imenuje vpisan v kroglo (in krogla je opisana okoli poliedra), če vsa oglišča poliedra pripadajo tej krogli. Posledica. Središče opisane krogle je točka, enako oddaljena od vseh vozlišč poliedra. O O O. ... ...

Izrek 1. Množica točk, enako oddaljenih od dveh danih točk, je ravnina, pravokotna na odsek s konci na teh točkah, ki poteka skozi njegovo središče (ravnina pravokotnic na ta odsek). AB ┴ α AO = OB α A B O

Izrek 2. Množica točk, enako oddaljenih od n danih točk, ki ležijo na enem krogu, je premica, pravokotna na ravnino teh točk in poteka skozi središče kroga, ki je opisan okoli njih. C E A B D O a. ... ... ... ... ... C E A B D. ... ... ... ...

Prizma, vpisana v kroglo. OA = OB =… = OX = R sp. O 1. O. O sf a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1. X 1. .A .B .C .D E. X. a a 1. O. O 1

Posledice. 1) Kroglo je mogoče opisati v bližini ravne trikotne prizme, saj vedno lahko opišeš krog okoli trikotnika. 2) Kroglo je mogoče opisati v bližini katere koli pravilne prizme, saj pravilna prizma je ravna in krog je vedno mogoče opisati v bližini pravilnega poliedra. O. O. ...

Problem številka 1. Krogla je opisana blizu prizme, na dnu katere leži pravokoten trikotnik s krakoma 6 in 8. Bočni rob prizme je 24. Poiščite polmer krogle. Dano: ∆ ABC - pravokoten; AC = 6, BC = 8, AA 1 = 24. Najdi: R w =? Rešitev: 1) OO 1 ┴AB 1; OO 1 = AA 1 = 24. 2) ABC: AB = 10. 3) O w OB: R w = O w B = √OO w 2 + OB 2 = = √144 + 25 = 13 Odgovor: 13. O 1 O.. ... R w O w S 1 B 1 A 1 A C B

Problem številka 3. Meri pravokotnega paralelepipeda so 2,3 in 5. Poiščite polmer opisane krogle. Dano: AB = a = 2; BC = b = 3; CC 1 = c = 5. Najdi: R w =? Rešitev: 1) AC 2 = a 2 + b 2 + c 2. 2) A 1 C 2 = 25 + 9 + 4 = 38 (Lastnost diagonal pravokotnega paralelepipeda) 3) A 1 C = √38; R w = O w C = √38 / 2 Odgovor: √38 / 2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3. ... ... O w

Problem številka 3. Osnovna stranica pravilne trikotne prizme je a, stranski rob pa 2 a. Poiščite polmer opisane krogle. Dano: AB = BC = AC = a, AA 1 ┴ABC; AA 1 = 2a. Najdi: R w =? Rešitev: 1) AB = AO √3; AO = a / √3. 2) R w = √ a 2 + a 2/3 = 2a / √ 3 Odgovor: 2a / √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O w R w. O O 1

Posledice. 1) Kroglo je vedno mogoče opisati v bližini trikotne piramide, saj je krog vedno mogoče opisati blizu trikotnika. 2) Kroglo je vedno mogoče opisati v bližini pravilne piramide. 3) Če so stranski robovi piramide enaki (enako nagnjeni k podstavku), potem je v bližini takšne piramide vedno mogoče opisati kroglo. * V zadnjih dveh primerih leži središče krogle na ravni črti, ki vsebuje višino piramide. O. O.

Naloge (krogla, opisana okoli piramide). V bližini piramide PABC je opisana krogla, katere osnova je enakostranični trikotnik ABC s stranico 4√3. Bočni rob PA je pravokoten na ravnino osnove piramide in je enak 6. Poiščite polmer krogle. Dano: AB = BC = AC = 4 √3; PA ┴ (ABC); PA = 6. Najdi: R w =? Rešitev: 1) OO SF ┴ (ABC); O je središče kroga, opisanega okoli ∆ABC; K O SF ┴ PA; KP = AK (KO SF Ena od sredinskih pravokotnic na stranski rob PA); O SF je središče opisane krogle. 2) OO SF ┴ (ABC); OO SF pripada (AKO); PA ┴ (ABC); AK pripada (AKO); pomeni KA || OO SF; ... O SF. O K. P. A. B. C

Naloge (krogla, opisana okoli piramide). 3) KO c f ┴AP; KO c f pripada (AOK); AO ┴AP; AO pripada (AOK); pomeni KO c ф || AO; 4) Iz (2) in (3): AOO c ф K-pravokotnik, AK = PA / 2 = 3; 5) AO = AB / √3 = 4; 6) ∆ AO O c f: AO c f = R w = 5 Odgovor: 5

Naloge (krogla, opisana okoli piramide). V pravilni štirikotni piramidi je stransko rebro nagnjeno k podstavku pod kotom 45 ˚. Višina piramide je h. Poiščite polmer opisane krogle. Podano: PABCD - pravilna piramida; (AP ^ (ABC)) = 45 ˚; PO = h. Najdi: R w =? Rešitev: 1) AO = OP = h; AP = h √ 2; 2) ∆PAP ​​1 - pravokoten; PP 1 je premer krogle; PP 1 = 2 R w; AP 2 = PP 1 * OP; (h √ 2) 2 = 2 R w * h; R w = 2h 2 / 2h = h. Odgovor: h. C. B A. .D .P .P 1. O

Naloge (krogla, opisana okoli piramide). Sama. Polmer krogle, opisane okoli pravilnega tetraedra, je R. Poiščite skupno površino tetraedra.

Naloge (krogla, opisana okoli piramide). Sama. Podano: DABC - pravilen tetraeder; R je polmer krogle. Najdi: S poln tetr. =? Rešitev: 1) Ker je tetraeder pravilen, središče opisane krogle pripada ravni črti, ki vsebuje višino piramide; 2) S polno tetr. = a 2 √ 3/4 * 4 = a 2 √ 3; 3) Točke D, A, D 1 pripadajo istemu krogu - prerezu krogle z ravnino DAD 1, zato je kot DAD 1 vpisani kot glede na premer, DD 1; kot DAD 1 = 90 ˚; 4) AO - višina ∆ ADD 1, narisana iz vrha pravega kota. AD 2 = DO * DD 1; 5) AO = a / √ 3; DO = √ a 2 -a 2/3 = a √ 2 / √ 3; a 2 = a √ 2 / √ 3 * 2R; a = √ 2 / √ 3 * 2R; a 2 = 8R 2/3; .D 1 .D .O .B .C A. a a

Naloge (krogla, opisana okoli piramide). Sama. 6) S polno tetr. = 8R 2 √ 3/3 Odgovor: 8R 2 √ 3/3

2. Osnovna stran

Naloge

1. Poiščite površino ravne prizme, na dnu katere je romb z diagonaloma 3 in 4 ter stranskim robom 5.

Odgovor: 62.

2. Na dnu ravne prizme leži romb z diagonaloma 6 in 8. Njegova površina je 248. Poiščite stranski rob te prizme.

Odgovor: 10.

3. Poišči stranski rob pravilne štirikotne prizme, če sta stranice njene osnove 3 in je površina 66.

Odgovor: 4.

4. Pravilna štirikotna prizma je opisana okoli valja, katerega osnovni polmer in višina sta enaka 2. Poišči površino stranske površine prizme.

Odgovor: 32.

5. Pravilna štirikotna prizma je opisana okoli valja, katerega osnovni polmer je 2. Površina stranske površine prizme je 48. Poiščite višino valja.

Ravna prizma (pravilna šesterokotna)

Prizma, v kateri so stranski robovi pravokotni na osnove, osnove pa enaki kvadrati.

1. Stranske ploskve - enaki pravokotniki

2. Osnovna stran

Naloge

1. Poišči prostornino pravilne šesterokotne prizme, katere osnovni strani sta enaki 1, stranski robovi pa enaki.

Odgovor: 4.5.

2. Poiščite stransko površino pravilne šesterokotne prizme, katere osnovni strani sta 3 in višina 6.

Odgovor: 108.

3. Poiščite prostornino pravilne šesterokotne prizme z vsemi robovi enaki √3.

Odgovor: 13.5

4. Poiščite prostornino poliedra, katerega oglišča so točke A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 pravilne šesterokotne prizme ABCDEFA1B1C1D1E1F1, katere osnovna površina je 6, stranski rob pa 2 .

Ravna prizma (poljubna n-premog)

Prizma, v kateri so stranski robovi pravokotni na osnove, osnove pa enake n-kotnikom.

1. Če je osnova pravilen mnogokotnik, so stranske ploskve enake pravokotnike.

2. Osnovna stran .

piramida

Piramida je polieder, sestavljen iz n-kotnika A1A2 ... AnA1 in n trikotnikov (A1A2P, A1A3P itd.).

1. Presek, vzporeden z osnovo piramide, je podoben mnogokotnik. Območja preseka in osnove se imenujejo kvadrati njunih razdalj do vrha piramide.

2. Piramida se imenuje pravilna, če je njena osnova pravilen mnogokotnik, oglišče pa je projicirano v središče osnove.

3. Vsi stranski robovi pravilne piramide so enaki, stranski robovi pa enaki enakokraki trikotniki.

4. Višina stranske ploskve pravilne piramide se imenuje apotema.

5. Bočna površina pravilne piramide je enaka polovici produkta osnovnega oboda pomnoženega apotema.

Naloge

1. Kolikokrat se bo povečala prostornina pravilnega tetraedra, če podvojimo vse njegove robove?

Odgovor: 8.

2. Stranice osnove pravilne šesterokotne piramide so 10, stranski robovi so 13. Poiščite površino stranske površine piramide.

Odgovor: 360.

5. Poišči prostornino piramide, prikazane na sliki. Njegova osnova je mnogokotnik, katerega sosednji strani sta pravokotni, eden od stranskih robov pa je pravokoten na osnovno ravnino in je enak 3.

Odgovor: 27.

6. Poišči prostornino pravilne trikotne piramide z osnovnimi stranicami, enakimi 1, in višino, ki je enaka.

Odgovor: 0,25.

7. Stranski robovi trikotne piramide so medsebojno pravokotni, vsak od njih je enak 3. Poiščite prostornino piramide.

Odgovor: 4.5.

8. Diagonala osnove pravilne štirikotne piramide je 8. Stranski rob je 5. Poiščite prostornino piramide.

Odgovor: 32.

9. V pravilni štirikotni piramidi je višina 12, prostornina 200. Poiščite stranski rob piramide.

Odgovor: 13.

10. Stranice osnove pravilne štirikotne piramide so 6, stranski robovi so 5. Poiščite površino piramide.

Odgovor: 84.

11. Prostornina pravilne šesterokotne piramide 6. Stran osnove je 1. Poiščite stranski rob.

12. Kolikokrat se bo povečala površina pravilnega tetraedra, če podvojimo vse njegove robove?

Odgovor: 4.

13. Prostornina pravilne štirikotne piramide je 12. Poišči prostornino piramide, odrezano od nje z ravnino, ki poteka skozi diagonalo osnove in sredino nasprotnega stranskega roba.

Odgovor: 3.

14. Kolikokrat se bo prostornina oktaedra zmanjšala, če vse njegove robove zmanjšamo za polovico?

Odgovor: 8.

15. Prostornina trikotne piramide je 15. Ravnina poteka skozi stran dna te piramide in seka nasprotni stranski rob v točki, ki ga deli v razmerju 1:2, šteto od vrha piramide. Poiščite največji volumen piramid, na katerega ravnina razdeli prvotno piramido.

Odgovor: 10.

16. Poiščite višino pravilne trikotne piramide, katere stranice osnove so 2, prostornina pa je.

Odgovor: 3.

17. V pravilni štirikotni piramidi je višina 6, stranski rob 10. Poiščite njeno prostornino.

Odgovor: 256.

18. Od trikotne piramide, katere prostornina je 12, je trikotna piramida odrezana z ravnino, ki poteka skozi vrh piramide in srednjo črto osnove. Poiščite prostornino izrezane trikotne piramide.

Odgovor: 3.

Cilinder

Cilinder - telo, omejeno z valjasto površino in dvema krogoma z mejami.

Volumen telesa	Bočna površina	Osnovna površina	Skupna površina

1. Generatorji valja - generatrični segmenti, zaprti med bazami.

2. Višina valja je dolžina generatrike.

3. Aksialni prerez - pravokotnik, katerega dve strani sta generatrisi, drugi dve pa premera osnov valja.

4. Krožni prerez - odsek, katerega rezalna ravnina je pravokotna na os valja.

5. Razvoj stranske ploskve cilindra - pravokotnik, ki predstavlja dva odrezana robova stranske ploskve valja vzdolž generatrike.

6. Površina stranske površine valja je površina njegovega zamaha.

7. Celotna površina valja se imenuje vsota površin stranske površine in obeh baz.

8. Okoli valja je vedno mogoče opisati kroglo. Njegovo središče leži na sredini višine. , kjer je R polmer krogle, r polmer dna valja, H višina valja.

9. V cilinder lahko vpišemo kroglo, če je premer dna valja enak njegovi višini, .

Naloge

1. Del se spusti v valjasto posodo, ki vsebuje 6 litrov vode. Hkrati se je raven tekočine v posodi povečala za 1,5-krat. Kolikšen je volumen dela?

Odgovor: 3.

2. Poišči prostornino valja, katerega osnovna površina je 1, generatrika pa 6 in je nagnjena k osnovni ravnini pod kotom 30o.

Odgovor: 3.

3. Valj in stožec imata skupno osnovo in višino. Poiščite prostornino valja, če je prostornina stožca 50.

Odgovor: 150.

4. Vodo, ki je bila v valjasti posodi na nivoju 12 cm, smo vlili v valjasto posodo, dvakrat večjega premera. Na kakšni višini bo nivo vode v drugi posodi?

5. Površina aksialnega prereza valja je enaka. Poiščite površino stranske površine valja.

Odgovor: 2.

6. Pravilna štirikotna prizma je opisana okoli valja, katerega osnovni polmer in višina sta enaka 2. Poišči površino stranske površine prizme.

Odgovor: 32.

7. Obseg dna valja je 3. Površina stranske ploskve je 6. Poiščite višino valja.

8. En valjast krog je dvakrat višji od drugega, drugi pa je en in pol krat širši. Poiščite razmerje med prostornino drugega kroga in prostornino prvega.

Odgovor: 1.125.

9. V valjasti posodi nivo tekočine doseže 18 cm Na kakšni višini bo nivo tekočine, če jo vlijemo v drugo posodo, katere premer je 3-krat večji od prve?

Odgovor: 2.

Stožec

Stožec je telo, omejeno s stožčasto površino in krogom.

Volumen telesa	Bočna površina	Osnovna površina	Skupna površina

1. Površina stranske površine stožca je površina njegovega zamaha.

2. Razmerje med kotom pomika in kotom na vrhu aksialnega preseka .

1. Valj in stožec imata skupno osnovo in višino. Poiščite prostornino valja, če je prostornina stožca 50.

Odgovor: 150.

2. Poiščite prostornino stožca, katerega osnovna površina je 2, generatrika pa 6 in je nagnjena k osnovni ravnini pod kotom 30o.

Odgovor: 2.

3. Prostornina stožca je 12. Odsek je narisan vzporedno z osnovo stožca, ki deli višino na polovico. Poiščite prostornino odrezanega stožca.

Odgovor: 1.5.

4. Kolikokrat je prostornina stožca, opisanega pri pravilni štirikotni piramidi, večja od prostornine stožca, vpisanega v to piramido?

Odgovor: 2.

5. Višina stožca je 6, generatrika je 10. Poiščite njegovo prostornino, deljeno z.

Odgovor: 128.

6. Valj in stožec imata skupno osnovo in višino. Poiščite prostornino stožca, če je prostornina valja 48.

Odgovor: 16.

7. Premer osnove stožca je 6, kot vrha aksialnega prereza pa 90 °. Izračunajte prostornino stožca, deljeno z.

8. Stožec je opisan o pravilni štirikotni piramidi z osnovno stranjo 4 in višino 6. Poiščite njeno prostornino, deljeno z.

9. Stožec dobimo z vrtenjem enakokrakega pravokotnega trikotnika okoli kraka, ki je enak 6. Poiščite njegovo prostornino, deljeno z.

Krogla in krogla

Krogla je površina, sestavljena iz vseh točk v prostoru, ki se nahajajo na določeni razdalji od dane točke. Žoga je telo, omejeno s kroglo.

1. Presek krogle z ravnino je krog, če je razdalja od središča krogle do ravnine manjša od polmera krogle.

2. Presek krogle z ravnino je krog.

3. Tangentna ravnina na kroglo je ravnina, ki ima s kroglo samo eno skupno točko.

4. Polmer krogle, potegnjen na točko tangente krogle in ravnine, je pravokoten na tangentno ravnino.

5. Če je polmer krogle pravokoten na ravnino, ki poteka skozi njen konec, ki leži na krogli, potem je ta ravnina tangentna na kroglo.

6. Polieder imenujemo opisan okrog krogle, če se krogla dotika vseh njenih ploskov.

7. Odseki tangent na kroglo, potegnjeni iz ene točke, so enaki in tvorijo enake kote z ravno črto, ki poteka skozi to točko in središče krogle.

8. Krogla je vpisana v valjasto površino, če se dotakne vseh njenih generatorjev.

9. Krogla je vpisana v stožčasto površino, če se dotakne vseh njenih generatorjev.

Naloge

1. Polmera obeh kroglic sta 6 in 8. Poiščite polmer kroglice, katere površina je enaka vsoti površin njunih površin.

Odgovor: 10.

2. Površina velikega kroga krogle je 1. Poiščite površino krogle.

3. Kolikokrat se bo površina krogle povečala, če se njen polmer podvoji?

4. Polmeri treh kroglic so enaki 3, 4 in 5. Poišči polmer kroglice, katere prostornina je enaka vsoti njunih prostornin.

Odgovor: 6.

5. Okrog krogle s polmerom 2 je opisan pravokotni paralelepiped. Poiščite njegovo površino.

Odgovor: 96.

6. Kocka je vpisana v kroglo polmera. Poiščite površino kocke.

Odgovor: 24.

7. Okrog krogle s polmerom 2 je opisan pravokotni paralelepiped. Poiščite njegovo prostornino.

8. Prostornina pravokotnega paralelepipeda, opisanega okoli krogle, je 216. Poiščite polmer krogle.

Odgovor: 3.

9. Površina pravokotnega paralelepipeda, opisanega okoli krogle, je enaka 96. Poiščite polmer krogle.

Odgovor: 2.

10. V bližini kroglice je opisan valj, katerega stranska površina je 9. Poiščite površino krogle.

Odgovor: 9.

11. Kolikokrat je površina krogle, opisane okoli kocke, večja od površine krogle, vpisane v isto kocko?

Odgovor: 3.

12. Kocka je vpisana v kroglo polmera. Poiščite prostornino kocke.

Odgovor: 8.

Sestavljeni poliedri

Naloge

1. Slika prikazuje polieder, vsi diedrski koti poliedra so ravni. Poiščite razdaljo med točkama A in C2.

Odgovor: 3.

2. Poiščite vogal CAD2 poliedra, prikazanega na sliki. Vsi diedrski koti poliedra so ravni. Odgovor navedite v stopinjah.

Odgovor: 60.

3. Poiščite površino poliedra, prikazanega na sliki (vsi diedrski koti so pravi).

Odgovor: 18.

4. Poiščite površino poliedra, prikazanega na sliki (vsi diedrski koti so pravi).

Odgovor: 132

5. Poiščite površino prostorskega križa, ki je prikazan na sliki in je sestavljen iz enotnih kock.

Odgovor: 30

6. Poišči prostornino poliedra, prikazanega na sliki (vsi diedrski koti so pravi).

Odgovor: 8

7. Poišči prostornino poliedra, prikazanega na sliki (vsi diedrski koti so pravi).

Odgovor: 78

8. Slika prikazuje polieder, vsi diedrski koti poliedra so ravni. Poiščite tangent kota ABB3.

Odgovor: 2

10. Na sliki je polieder, vsi diedrski koti poliedra so ravni. Poiščite tangento kota C3D3B3.

Odgovor: 3

11. Skozi srednjo črto osnove trikotne prizme je narisana ravnina, vzporedna s stranskim rebrom. Poiščite stransko površino prizme, če je stranska površina okrnjene trikotne prizme 37.

Odgovor: 74.

12. Na sliki je polieder, vsi diedrski koti poliedra so ravni. Poiščite kvadrat razdalje med B2 in D3.

Odgovor: 11.