Eulerjeva metoda se nanaša na numerične metode, ki dajejo rešitev v obliki tabele približnih vrednosti želene funkcije y (x)... Je relativno surov in se uporablja predvsem za grobe izračune. Ideje, na katerih temelji Eulerjeva metoda, pa so izhodišče za številne druge metode.

Razmislite o diferencialni enačbi prvega reda

z začetnim pogojem

x= x 0 , y(x 0 )= y 0 (3.2)

Rešitev enačbe je treba najti na segmentu [ a, b].

Delimo segment [ a, b] na n enakih delov in dobimo zaporedje NS 0 , NS 1 , NS 2 ,…, NS n, kje x jaz = x 0 + ih (jaz=0,1,…, n), a h=(b- a)/ n- korak integracije.

Pri Eulerjevi metodi so približne vrednosti y (x jaz +1 )  y jaz +1 se izračunajo zaporedno po formulah:

y i + 1 = ob jaz + hf (x jaz , y jaz ) (i = 0,1,2 ...) (3.3)

V tem primeru iskana integralna krivulja y = y (x) prehod skozi točko M 0 (NS 0 , ob 0 ), nadomesti prekinjena črta M 0 M 1 M 2 … z vrhovi M jaz (x jaz , y jaz ) (jaz=0,1,2,…); vsako povezavo M jaz M jaz +1 ta prekinjena črta, imenovana Eulerjeva prelomljena črta, ima smer, ki sovpada s smerjo integralne krivulje enačbe (1), ki poteka skozi točko M jaz(glej sliko 2):

Slika 2. Pogled na Eulerjevo prelomljeno črto

Spremenjena Eulerjeva metoda Najprej se izračunajo pomožne vrednosti zahtevane funkcije ob k + 1/2 v točkah NS k + 1/2, potem vrednost desne strani enačbe (3.1) najdemo na sredini y k + 1/2 = f ( xk + 1/2 , y k + 1/2 ) in opredeliti ob do + :

Nato:
(3.4)

Formule (3.4) so ​​ponavljajoče se formule Eulerjeve metode.

Za oceno napake na točki NS Za izvesti izračune ob Za korak za korakom h, nato s korakom 2 h in vzemite 1/3 razlike med temi vrednostmi:

,

kje y (x)- natančna rešitev diferencialne enačbe.

Eulerjevo metodo lahko enostavno razširimo na sisteme diferencialnih enačb in na diferencialne enačbe višjega reda. Slednje je treba predhodno reducirati na sistem diferencialnih enačb prvega reda.

3.2. Metoda Runge-Kutta

Metode Runge-Kutta imajo naslednje lastnosti:

Te metode so v enem koraku: najti ob k + 1 potrebujem podatke o prejšnji točki (x Za  y Za ) 

Metode se strinjajo s serijo Taylor do pogojev naročila h str kje je diploma R se pri različnih metodah razlikuje in se imenuje serijska številka oz vrstni red metode

Ne zahtevajo izračuna izvedenih finančnih instrumentov f (x y) vendar zahtevajo izračun same funkcije

Algoritem Runge-Kutta tretji naročilo:

(3.5)

Algoritem Runge-Kutta četrti naročilo:

(3.6)

Algoritmi tretjega in četrtega reda zahtevajo tri oziroma štiri izračune funkcije na vsakem koraku, vendar so zelo natančni.

3.3. Adams metoda

Adamsova metoda se nanaša na večstopenjski sheme za reševanje diferencialnih enačb, za katere je značilno, da je rešitev na trenutnem vozlišču odvisna od podatkov, ki niso v enem prejšnjem ali naslednjem omrežnem vozlišču, kot je to v enostopenjskih metodah, vendar je odvisna od podatkov v več sosednjih vozlišč.

Ideja Adamovih metod je uporaba vrednosti, izračunanih že v prejšnjih korakih, za izboljšanje natančnosti

Y k -1 , Y k -2 , Y k -3 …

Če se vrednosti uporabljajo v k prejšnja vozlišča, potem govorimo o metodi k-koraka integracije enačbe. Eden od načinov za izdelavo večstopenjskih metod je naslednji. Interpolacijski polinom stopnje (k -1) -L k -1 (x) , ki se uporablja pri integraciji diferencialne enačbe z izrazom:

V tem primeru je integral izražen s kvadraturno formulo:

kje λ l - kvadraturni koeficienti.

Tako pridobljena družina formul se imenuje izrecnok -stopenjska shema Adams... Kot lahko vidite, pri k=1 Eulerjeva formula je pridobljena kot poseben primer.

Na primer, za formulo 4. reda imamo:

(3.7)

y ( str ) k +1 - "napoved", izračunana z uporabo vrednosti na prejšnjih točkah, f ( str ) k +1 - približna vrednost funkcije, izračunana na točki pridobivanja napovedi, y ( c ) k +1 - "popravek" napovedane vrednosti, y k +1 Je zahtevana vrednost po Adamsu.

Prednost te metode za reševanje diferencialnih enačb je, da se na vsaki točki izračuna samo ena vrednost funkcije F (x, y). Slabosti vključujejo nezmožnost zagona večstopenjske metode z enega samega izhodišča, saj za izračune na podlagi k-stopenjska formula zahteva vrednost vrednosti funkcije v k vozlišča. Zato je potrebno (k-1) rešitev na prvih vozliščih x 1 , x 2 , ..., x k-1 pridobiti s pomočjo katere koli enostopenjske metode, na primer metode Runge-Kutta 4. reda.

Druga težava je nezmožnost spreminjanja koraka v postopku reševanja, ki se zlahka izvede v enostopenjskih metodah.

4. Kratek opis programa C ++ in predstavitev rezultatov njegove izvedbe

Številni znanstveni in tehnološki problemi se zmanjšajo na reševanje navadnih diferencialnih enačb (ODE). ODE so enačbe, ki vsebujejo enega ali več izpeljank želene funkcije. Na splošno

želena funkcija, n je vrstni red enačbe. Splošna rešitev ODE n-toga reda vsebuje n poljubnih konstant

c 1, c 2, ..., c n, tj. splošna rešitev ima obliko y x, c 1, c 2, ..., c n. Za izbiro ene same rešitve je treba določiti n dodatnih pogojev. Odvisno od načina dodelitve

dodatni pogoji, obstajata dve različni vrsti problemov: Cauchyjev problem in problem mejne vrednosti. Če so na neki točki določeni dodatni pogoji, se tak problem imenuje Cauchyjev problem. Dodatni pogoji v Cauchyjevem problemu se imenujejo začetni pogoji. Če so dodatni pogoji določeni na več točkah, tj. za različne vrednosti neodvisne spremenljivke se tak problem imenuje problem mejne vrednosti. Dodatni pogoji sami se imenujejo mejni ali robni pogoji.

Jasno je, da lahko za n 1 govorimo le o Cauchyjevem problemu. Primeri nastavitve Cauchyjeve težave:

Primeri težav z mejno vrednostjo:

nekatere posebne vrste enačb, zato je uporaba metod približne rešitve nujna.

Približne metode za reševanje Cauchyjevega problema za ODE prvega reda

Poiskati je treba rešitev y (x) ODE prvega reda

Če želite najti vse vrednosti y i, morate nekako

izračunaj integral na desni strani (5.4). Z uporabo različnih kvadraturnih formul bomo pridobili metode za reševanje problema (5.2), (5.3) različnih vrst natančnosti.

Eulerjeva metoda

Če izračunamo integral v (5.4), uporabimo najpreprostejšo formulo za leve pravokotnike prvega reda

Eksplicitna Eulerjeva metoda ima prvi red približevanja. Izvajanje metode. Ker je x 0, y 0, f x 0, y 0

so znani, z uporabo (5.5) zaporedoma definiramo vse y i: y 1 y 0 hf x 0, y 0, y 2 y 1 hf x 1, y 1,….

tangenta, dobljena z zamenjavo vrednosti x 1 x 0 h na desni strani, bi se morala malo razlikovati od ordinate y x 1 rešitve

y x Cauchyjevega problema. Zato lahko točko x 1, y 1 presečišča tangente z ravno črto x x 1 približno vzamemo

Uvod

Pri reševanju znanstvenih in inženirskih problemov je pogosto potrebno matematično opisati dinamični sistem. To je najbolje narediti v obliki diferencialnih enačb ( DU) ali sistem diferencialnih enačb. Najpogosteje se tak problem pojavi pri reševanju problemov, povezanih z modeliranjem kinetike kemičnih reakcij in različnih pojavov prenosa (toplota, masa, zagon) - prenos toplote, mešanje, sušenje, adsorpcija, pri opisovanju gibanja makro- in mikro delcev.

V nekaterih primerih se lahko diferencialna enačba spremeni v obliko, v kateri je najvišji izpeljanka izražena v eksplicitni obliki. Ta oblika pisanja se imenuje enačba, ki se reši glede na najvišji izpeljanko (medtem ko najvišji izpeljanka na desni strani enačbe ni):

Rešitev navadne diferencialne enačbe je funkcija y (x), ki za vsako x ustreza tej enačbi v določenem končnem ali neskončnem intervalu. Postopek reševanja diferencialne enačbe se imenuje integracija diferencialne enačbe.

Zgodovinsko gledano je prvi in ​​najpreprostejši način numerične rešitve Cauchyjevega problema za ODE prvega reda Eulerjeva metoda. Temelji na približevanju izpeljanega z razmerjem končnih prirastkov odvisnih (y) in neodvisnih (x) spremenljivk med vozlišči enotne mreže:

kjer je y i + 1 zahtevana vrednost funkcije v točki x i + 1.

Natančnost Eulerjeve metode je mogoče povečati z uporabo natančnejše integracijske formule za približevanje integrala - trapezna formula.

Ta formula se izkaže za implicitno glede na yi + 1 (ta vrednost je na levi in ​​desni strani izraza), to je enačba za yi + 1, ki jo je mogoče rešiti na primer numerično, z uporabo iterativne metode (v takšni obliki se lahko obravnava kot iterativna formula enostavne iteracijske metode).

Sestava seminarske naloge: seminarska naloga je sestavljena iz treh delov. V prvem delu kratek opis metod. V drugem delu izjava in rešitev problema. V tretjem delu - programska implementacija v računalniškem jeziku

Namen predmetnega dela: preučiti dve metodi za reševanje diferencialnih enačb, Euler-Cauchyjevo metodo in izboljšano Eulerjevo metodo.

1. Teoretični del

Številčna diferenciacija

Enačba, ki vsebuje enega ali več izpeljank, se imenuje diferencialna enačba. Diferencialne enačbe spadajo v dve kategoriji, odvisno od števila neodvisnih spremenljivk.

Navadne diferencialne enačbe (ODE)

Delne diferencialne enačbe.

Navadne diferencialne enačbe so tiste enačbe, ki vsebujejo enega ali več izpeljank želene funkcije. Lahko jih zapišemo kot

neodvisna spremenljivka

Najvišji red, vključen v enačbo (1), se imenuje vrstni red diferencialne enačbe.

Najenostavnejša (linearna) ODE je enačba (1) reda, razrešenega glede na izpeljanko

Vsaka funkcija, ki jo po zamenjavi v enačbo spremeni v identiteto, se imenuje rešitev diferencialne enačbe (1).

Glavni problem, povezan z linearnim ODE, je znan kot problem Kashi:

Poiščite rešitev enačbe (2) v obliki funkcije, ki izpolnjuje začetni pogoj (3)

Geometrijsko to pomeni, da je treba poiskati integralno krivuljo, ki poteka skozi točko), ko je izpolnjena enakost (2).

Številčno z vidika problema Kashi pomeni: treba je sestaviti tabelo vrednosti funkcij, ki ustreza enačbi (2) in začetnemu pogoju (3) na segmentu z določenim korakom. Običajno se domneva, da je začetni pogoj nastavljen na levem koncu segmenta.

Najpreprostejša numerična metoda za reševanje diferencialne enačbe je Eulerjeva metoda. Temelji na ideji grafične konstrukcije rešitve diferencialne enačbe, vendar ta metoda hkrati omogoča iskanje želene funkcije v numerični obliki ali v tabeli.

Naj bo podana enačba (2) z začetnim pogojem, torej je postavljen problem Kasha. Najprej rešimo naslednji problem. Na najpreprostejši način poiščite približno vrednost rešitve na neki točki, kjer je dovolj majhen korak. Enačba (2) skupaj z začetnim pogojem (3) določa smer tangente na iskano integralno krivuljo na točki s koordinatami

Enačba tangente ima obliko

Če se premikamo po tej tangenti, dobimo približno vrednost rešitve na točki:

Ob približni rešitvi na točki lahko ponovite prej opisani postopek: sestavite ravno črto, ki poteka skozi to točko s kotnim koeficientom, in iz nje poiščite približno vrednost rešitve v točki

. Upoštevajte, da ta ravna črta ni tangentna na realno integralno krivuljo, saj nam točka ni na voljo, če pa je dovolj majhna, bodo dobljeni približki blizu natančnih vrednosti rešitve.

Nadaljujemo s to idejo in sestavimo sistem enako razmaknjenih točk

Pridobivanje tabele vrednosti zahtevane funkcije

po Eulerjevi metodi je ciklična uporaba formule

Slika 1. Grafična interpretacija Eulerjeve metode

Metode za numerično integracijo diferencialnih enačb, pri katerih rešitve pridobivamo iz enega vozlišča v drugo, imenujemo korak za korakom. Eulerjeva metoda je najpreprostejši predstavnik metod po korakih. Značilnost katere koli metode po korakih je, da je od drugega koraka začetna vrednost v formuli (5) sama približna, to pomeni, da se napaka pri vsakem naslednjem koraku sistematično povečuje. Najbolj uporabljena metoda za ocenjevanje natančnosti metod po korakih za približno numerično rešitev ODE je metoda dvojnega prehoda določenega segmenta s korakom in s korakom

1.1 Izboljšana Eulerjeva metoda

Glavna ideja te metode: naslednja vrednost, izračunana po formuli (5), bo natančnejša, če vrednost izpeljane vrednosti, to je naklona ravne črte, ki nadomešča integralno krivuljo na segmentu, ne izračunamo vzdolž levi rob (to je na točki), vendar vzdolž središča segmenta. Ker pa vrednost derivata med točkami ni izračunana, preidemo na dvojne odseke središča, v katerem je točka, enačba ravne črte pa ima obliko:

Formula (5) ima obliko

Formula (7) se uporablja samo za, zato vrednosti iz nje ni mogoče pridobiti, zato jih najdemo z Eulerjevo metodo, medtem ko za natančnejši rezultat naredijo to: od začetka z uporabo formule (5 ), poiščite vrednost

(8)

Na točki in nato se najde po formuli (7) s korakom

(9)

Po ugotovitvi nadaljnjih izračunov za se proizvaja po formuli (7)

Sporočite nam vhodno dinamično zaporedje X(vhodni signal) in model (način pretvorbe vhodnega signala v izhodni signal). Problem določanja izhodnega signala y(t) (glej sliko 10.1).

Model dinamičnega sistema lahko predstavimo z diferencialno enačbo. Osnovna enačba dinamike:

y" = f(x(t), y(t), t) .

Začetni pogoji v ničelnem trenutku so znani t 0 : y(t 0) , x(t 0). Za določitev izhodnega signala upoštevajte, da po definiciji izpeljanke:

Položaj sistema poznamo v točki "1", določiti moramo položaj sistema v točki "2". Točke so med seboj ločene z razdaljo Δ t(slika 10.2). To pomeni, da se izračun vedenja sistema izvaja v korakih. Od točke "1" skočimo (diskretno) do točke "2", razdalje med točkami vzdolž osi t poklical izračunski korak Δ t .

Zadnja formula se imenuje Eulerjeva formula.

Očitno je, da poznamo stanje sistema v prihodnosti y(t + Δ t) , je potrebno za trenutno stanje sistema y(t) dodajte spremembo Δ y preteklo v času Δ t .

Poglejmo še enkrat to pomembno razmerje, ki izhaja iz geometrijskih premislekov (slika 10.3).

Naj bo A točka, na kateri je znano stanje sistema. To je "resnično" stanje sistema.

Nariši tangenco na pot sistema v točki A. Tangenta je derivat funkcije f(x(t), y(t), t) po spremenljivki t... Izpeljanko na točki je vedno enostavno izračunati, dovolj je, da znane spremenljivke (v trenutku, ko so znane) znane zamenjamo v formulo y" = f(x(t), y(t), t) .

Upoštevajte, da je izpeljanka po definiciji povezana s kotom nagiba tangente: y" = tg ( α ) torej kot α enostavno izračunati ( α = arctg ( y" ) ) in narišemo tangento.

Nariši tangenco na presečišče s črto t + Δ t... Trenutek t + Δ t ustreza "prihodnjemu" stanju sistema. Nariši črto, vzporedno z osjo t od točke A do presečišča s črto t + Δ t... Črte tvorijo pravokotni trikotnik ABC, katerega kateter je enak Δ t(slavni). Znan je tudi kot α ... Potem je drugi krak v pravokotnem trikotniku ABC: a = Δ t Tg ( α ) ... Zdaj je enostavno izračunati ordinato točke B. Sestavljena je iz dveh odsekov črte - y(t) in a... Ordinata simbolizira položaj sistema na točki y(t + Δ t) ... To je y(t + Δ t) = y(t) + a ali dalje y(t + Δ t) = y(t) + Δ t Tg ( α ) ali, če nadomestimo še, imamo: y(t + Δ t) = y(t) + Δ t · y" in končno y(t + Δ t) = y(t) + Δ t · f(x(t), y(t), t) ... Spet smo dobili Eulerjevo formulo (iz geometrijskih premislekov).

Ta formula lahko daje natančne rezultate le pri zelo majhnih Δ t(recimo, ko je Δ t-> 0). Pri Δ t≠ 0 formula daje neskladje med pravo vrednostjo y in izračunano, enako ε , zato mora vsebovati približni znak enakosti ali pa mora biti zapisano tako:

y(t + Δ t) = y(t) + Δ t · f(x(t), y(t), t) + ε .

Prav zares. Še enkrat poglejte sliko. 10.3. Miselno premaknimo črto t + Δ t levo (v resnici bomo približali vrednost Δ t na nič). Kot je enostavno videti, je razdalja BB * = ε , - to je napaka! - se bo skrčil. V meji (pri Δ t-> 0) vrednost napake ε bo enaka nič.

Torej zamenjavo prave krivulje z ravno (tangentno) črto na odseku Δ t, v rešitev vnesemo napako, pri čemer ne dobimo v točki "2" (glej sliko 10.2), ampak poleg nje, v točki "3". Očitno je, da ima ta numerična metoda na vsakem koraku napako pri izračunu ε .

Iz slike je razvidno, da je manjša vrednost Δ t, manjša je napaka pri izračunu ε ... To pomeni, da izračunamo vedenje sistema za poljubno časovno obdobje (na primer iz t 0 do t k), da zmanjšate napako pri vsakem koraku, koraki Δ t naj bo čim manjši. Da bi prišli do točke t k razdelek (t k – t 0) je razdeljen na segmente dolžine Δ t; tako da se bo vse izšlo N = (t k – t 0)/Δ t koraki. Kot rezultat izračuna bo treba za vsak korak uporabiti Eulerjevo formulo, tj. N enkrat. Vendar je treba upoštevati, da so napake ε jaz na vsakem jaz korak (v najpreprostejšem primeru) se sešteje in skupna napaka se hitro kopiči (glej sliko 10.4). In to je pomembna pomanjkljivost te metode. Čeprav je s to metodo mogoče (v numerični obliki) dobiti rešitev katere koli diferencialne enačbe (vključno z analitično nerazločljivo). Z zmanjšanjem koraka dobimo natančnejše rešitve, vendar ne smemo pozabiti, da povečanje števila korakov vodi do računalniških stroškov in zmanjšanja zmogljivosti. Poleg tega je pri velikem številu ponovitev v izračun vnesena še ena pomembna napaka zaradi omejene natančnosti računalnikov in zaokroževalnih napak.

Cilj 1. Podana je diferencialna enačba y" = 2ty ... Začetni položaj sistema je nastavljen: y(0) = 1. Potrebno ga je najti y(t), to je vedenje sistema v časovnem intervalu t od 0 do 1.

Analitična metoda za reševanje problema 1

y" = 2ty .

Z metodo ločevanja spremenljivk ugotovimo:

y" /y = 2t

Integrirali bomo od 0 do t jaz, potem imamo po pravilih integracije:

Za pridobljeno analitično rešitev je značilno, da je popolnoma natančna, če pa se izkaže, da je enačba kakor koli zapletena, potem rešitve sploh ne bomo našli. Pot analitične rešitve ni univerzalna.

Numerična metoda za reševanje problema 1

Numerična rešitev predvideva, da bo izračun potekal po Eulerjevi formuli v več zaporednih korakih. Na vsakem koraku ima rešitev svojo napako (glej sliko 10.2), saj se na vsakem koraku krivulja nadomesti z ravno črto.

V primeru algoritmične izvedbe se izračun izvede v ciklu, v katerem se t(števec t) in y :

Blok diagram za izvajanje metode na računalniku je prikazan na sl. 10.5.

Pri izvajanju Stratuma bo zapis videti tako (prisotnost simbola »~«, ko t ):

Iskali bomo smisel y prej obravnavanega primera v numerični obliki v intervalu od T= 0 do T= 1. Naredite število korakov n= 10, potem korak koraka Δ t bo: Δ t= (1 - 0) / n= (1 - 0) / 10 = 0,1.

Upoštevajte, da je numerično izračunana vrednost ( y jaz+ 1) se razlikuje od natančnega ( y natančno. ) in napaka (razlika med stolpci y jaz+ 1 in y natančno. ) v procesu izračuna narašča podobno kot je prikazano na sl. 10.4.

Zdaj pa izračunajmo relativno napako σ za izračunano vrednost y(1) dobljeno numerično v primerjavi s teoretičnim natančnim y teorija. po naslednji formuli:

σ = (1 - y calc. / y teorija) 100%

in primerjaj σ pri različnih vrednostih Δ t .

Če spremenimo vrednost koraka Δ t, na primer za zmanjšanje koraka, se bo zmanjšala tudi relativna napaka izračuna. To se zgodi pri izračunu vrednosti y(1) z različnimi vrednostmi korakov (glej tabelo 10.2).

Kot lahko vidite, z zmanjšanjem koraka prirastka Δ t vrednost relativne napake se zmanjša, kar pomeni, da se poveča natančnost izračuna.

Upoštevajte, da sprememba koraka za faktor 10 (z 1/10 na 1/100) vodi do spremembe vrednosti napake za približno 10 -krat (s 14% na 2%). Ko se korak spremeni 100 -krat, se bo napaka zmanjšala tudi za približno 100 -krat. Z drugimi besedami, velikost koraka in napaka za Eulerjevo metodo sta linearno povezani. Če želite zmanjšati napako za 10 -krat - zmanjšajte korak za 10 -krat in število izračunov povečajte za 10 -krat. To dejstvo v matematiki je običajno označeno s simbolom ε = O(Δ t) , Eulerjeva metoda pa se imenuje natančna metoda prvega reda.

Ker je napaka pri Eulerjevi metodi dovolj velika in se kopiči iz koraka v korak, natančnost pa je sorazmerna s številom izračunov, se Eulerjeva metoda običajno uporablja za grobe izračune, da se načeloma oceni obnašanje sistema. Za natančne kvantitativne izračune se uporabljajo natančnejše metode.

Opombe (uredi)

1. Vsaka numerična metoda je natančna, ker se rezultat razlikuje od teoretičnega. Natančnost metode je odvisna od velikosti koraka. Različne metode imajo različno natančnost. Vrstni red odvisnosti natančnosti od velikosti koraka označimo kot O(h). Eulerjeva metoda ima prvi red natančnosti; odvisnost napake od velikosti koraka je linearna.
2. Če je pri zmanjševanju koraka meja y n stremi k smislu y teorija. , potem naj bi bila metoda konvergentna. Raziskovalce zanima stopnja konvergence metode.
3. Metoda mora biti stabilna. Stabilnost je povezana z določeno velikostjo koraka. Z manifestacijo nestabilnosti pride do popolnega izkrivljanja kvalitativne slike izračuna, "ohlapnosti" rezultata.
4. Pri izbiri metode je priporočljivo najprej doseči stabilnost, znotraj območja stabilnosti pa konvergenco rezultata. Trajnost zagotavlja kakovostno sliko. Konvergenca zagotavlja količinski rezultat (glej tudi sliko 10.10).

Določeno v odstavkih. 1-4 bo prikazano s primerom.

Primer. Naj bo

Kvalitativno te enačbe opisujejo proces prenosa toplote med dvema telesoma, katerih temperature bodo v nekem trenutku označene kot A in B... Na splošno A in B- spremenljivke, ki se s časom spreminjajo t... Odkriti vedenje sistema pomeni ugotoviti, kako se bodo temperature spreminjale. A(t) in B(t) .

Intuitivno je jasno, da pri začetni temperaturni razliki A= 8 in B= 5 bi se morale temperature sčasoma postopoma izenačiti, saj bo vroče telo hladnejšemu dalo energijo, njegova temperatura pa se bo znižala, hladnejše telo pa bo prejelo energijo iz vročega, njegova temperatura pa se bo povečala. Proces prenosa toplote se bo končal (to pomeni, da se bodo spremembe ustavile), ko bodo temperature obeh teles enake.

Naredimo nekaj izračunov vedenja A(t) in B(t) z različnimi velikostmi korakov Δ t .

Vzeli bomo različne velikosti korakov Δ t in poiščite ustrezne vrednosti A in B pravočasno po naslednjih Eulerjevih formulah:

A nov = A prev. + ( + B prev. - A prev) Δ t ,
B nov = B prev. + ( + A prev. - B prev) Δ t .

Izračun za Δ t= 2 (tabela 10.3).

Opazimo pojav "ohlapnosti" (glej sliko 10.6). Nestabilna rešitev. Iz fizičnih vidikov je očitno, da se dve telesi ne moreta tako obnašati v procesu izmenjave toplote.

Izračun za Δ t= 1 (tabela 10.4).

Opaženo je obnašanje rešitve sistema na meji stabilnosti (glej sliko 10.7).

Izračun za Δ t= 0,5 (tabela 10,5).

Rešitev je stabilna, ustreza pravilni kvalitativni sliki (glej sliko 10.8). Temperature teles se postopoma približujejo, sčasoma postanejo enake. Toda rešitev ima še vedno veliko napako.

Izračun za Δ t= 0,1 (tabela 10.6).

Rešitev je stabilna. Rešitev je natančnejša (glej sliko 10.9).

Vloga spreminjanja velikosti koraka je prikazana na sl. 10.10.