Geometrijsko modeliranje

Vektorska in bitna grafika.

Obstajata dve vrsti grafike - vektorska in rastrska. Glavna razlika je v principu shranjevanja slik. Vektorska grafika opisuje sliko z uporabo matematičnih formul. Glavna prednost vektorske grafike je, da s spreminjanjem obsega slike ne izgubi kakovosti. To vodi do druge prednosti - ko se velikost slike spremeni, se velikost datoteke ne spremeni. Rasterska grafika je pravokotna matrika, sestavljena iz številnih zelo majhnih nedeljivih točk (pikslov).

Rastrsko sliko lahko primerjamo z otroškim mozaikom, ko je slika sestavljena iz barvnih kvadratov. Računalnik si zapomni barve vseh kvadratov v vrsti v določenem vrstnem redu. Zato bitne slike zahtevajo več prostora za shranjevanje. Težko jih je povečati in še težje urediti. Če želite povečati sliko, morate povečati velikost kvadratov, nato pa se slika "stopa". Za zmanjšanje bitne slike je potrebno več sosednjih točk preoblikovati v eno ali zavreči nepotrebne točke. Posledično je slika popačena, njene majhne podrobnosti postanejo nečitljive. Vektorska grafika je brez teh pomanjkljivosti. V vektorskih urejevalnikih se risba spominja kot zbirka geometrijskih oblik - kontur, predstavljenih v obliki matematičnih formul. Če želite sorazmerno povečati predmet, preprosto spremenite eno številko: faktor skaliranja. Pri povečanju ali zmanjšanju slike ne pride do popačenja. Zato pri ustvarjanju risbe ne morete razmišljati o njenih končnih dimenzijah - vedno jih lahko spremenite.

Geometrijske transformacije

Vektorska grafika je uporaba geometrijskih primitivov, kot so točke, črte, zvitki in poligoni za predstavitev slik v računalniški grafiki. Upoštevajte na primer krog s polmerom r. Seznam informacij, potrebnih za popoln opis kroga, je naslednji:

polmer r;

koordinate središča kroga;

barva in debelina obrisa (po možnosti prozorna);

barva polnila (po možnosti prozorna).

Prednosti tega načina opisovanja grafike pred rastrsko grafiko:

Najmanjša količina informacij se prenese v veliko manjšo velikost datoteke (velikost ni odvisna od velikosti predmeta).

V skladu s tem lahko neskončno povečate, na primer, lok kroga in ostane gladek. Po drugi strani, če je krivulja lomljena črta, bo povečava pokazala, da dejansko ni krivulja.

Pri povečevanju ali pomanjševanju predmetov je lahko debelina črte konstantna.

Parametri objekta so shranjeni in jih je mogoče spreminjati. To pomeni, da premikanje, skaliranje, vrtenje, polnjenje itd. ne bodo poslabšali kakovosti risbe. Poleg tega je običajno, da se velikosti navedejo v enotah, neodvisnih od naprave ((angleščina)), ki vodijo do najboljše možne rasterizacije na rastrskih napravah.

Vektorska grafika ima dve temeljni pomanjkljivosti.

Vsakega predmeta ni mogoče enostavno vektorizirati. Poleg tega sta količina pomnilnika in čas prikaza odvisna od števila predmetov in njihove kompleksnosti.

Pretvarjanje vektorske grafike v rastrsko je precej preprosto. Toda poti nazaj običajno ni – rastrsko sledenje običajno ne zagotavlja visokokakovostne vektorske grafike.

Urejevalniki vektorske grafike vam običajno omogočajo vrtenje, premikanje, obračanje, raztezanje, poševništvo, izvajanje osnovnih afinnih transformacij na predmetih, spreminjanje z-reda in kombiniranje primitivov v bolj zapletene objekte.

Bolj sofisticirane transformacije vključujejo Boolove operacije na zaprtih oblikah: združitev, dopolnilo, presečišče itd.

Vektorska grafika je idealna za preproste ali sestavljene risbe, ki morajo biti neodvisne od naprave ali ne potrebujejo fotorealizma. Na primer, PostScript in PDF uporabljata vektorski grafični model.

Črte in lomljene črte.

Poligoni.

Krogi in elipse.

Bezierove krivulje.

Bezigones.

Besedilo (v računalniških pisavah, kot je TrueType, je vsaka črka ustvarjena iz Bézierovih krivulj).

Ta seznam je nepopoln. Obstajajo različne vrste krivulj (Catmull-Rom zrezki, NURBS itd.), ki se uporabljajo v različnih aplikacijah.

Bitno sliko je mogoče tudi obravnavati kot primitiven objekt, ki se obnaša kot pravokotnik.

Osnovne vrste geometrijskih modelov

Geometrijski modeli dajejo zunanjo predstavo o izvirnem predmetu in so značilni po enakih razmerjih geometrijskih dimenzij. Ti modeli so razdeljeni na dvodimenzionalne in tridimenzionalne. Skice, diagrami, risbe, grafike, slike so primeri dvodimenzionalnih geometrijskih modelov in modelov zgradb, avtomobilov, letal itd. So tridimenzionalni geometrijski modeli.

3D grafika deluje s predmeti v tridimenzionalnem prostoru. Običajno so rezultati ravna slika, projekcija. 3D računalniška grafika se pogosto uporablja v filmih in računalniških igrah.

V 3D računalniški grafiki so vsi predmeti običajno predstavljeni kot zbirka površin ali delcev. Najmanjša površina se imenuje poligon. Trikotniki so običajno izbrani kot poligoni.

Vse vizualne transformacije v 3D grafiki so nadzorovane z matrikami (glej tudi: afina transformacija v linearni algebri). V računalniški grafiki se uporabljajo tri vrste matrik:

rotacijsko matriko

premična matrika

matriko skaliranja

Vsak mnogokotnik je mogoče predstaviti kot niz koordinat njegovih vozlišč. Torej bo trikotnik imel 3 oglišča. Koordinate vsakega oglišča so vektor (x, y, z). Če vektor pomnožimo z ustrezno matriko, dobimo nov vektor. Ko smo naredili takšno transformacijo z vsemi oglišči poligona, bomo dobili nov poligon in po preoblikovanju vseh poligonov bomo dobili nov predmet, zasukan / premaknjen / pomanjšan glede na izvirnik

Podsistemi grafičnega in geometrijskega modeliranja (GGM) zasedajo osrednje mesto v SAPP. Oblikovanje izdelkov v njih se praviloma izvaja v interaktivnem načinu pri delu z geometrijskimi modeli, t.j. matematični predmeti, ki prikazujejo obliko izdelka, sestavo montažnih enot in morda še nekatere dodatne parametre (teža, barve površine itd.).

V podsistemih GGM tipična pot obdelave podatkov vključuje pridobitev načrtovalne rešitve v aplikacijskem programu, njeno predstavitev v obliki geometrijskega modela (geometrično modeliranje), pripravo projektne rešitve za vizualizacijo, samo vizualizacijo z uporabo osebnega računalnika, če je potrebno, popravljanje rešitve v interaktivnem načinu.

Zadnji dve operaciji se izvajata na podlagi računalniških zmogljivosti GGM. Ko govorimo o matematični podpori GGM, mislimo predvsem na modele, metode in algoritme za geometrijsko modeliranje in pripravo na vizualizacijo.

Razlikujte med dvodimenzionalno (2D) in tridimenzionalno (3D) programsko opremo GGM.

Glavne aplikacije 2D GGM so priprava risarske dokumentacije v SAPP, topološko načrtovanje tiskanih vezij in LSI čipov v SAPP elektronske industrije.

V procesu 3D modeliranja nastajajo geometrijski modeli, t.j. modeli, ki odražajo geometrijske lastnosti izdelkov. Razlikovati med geometrijskimi modeli, žičnimi modeli (žicami), površinskimi, volumetričnimi (solidnimi).

Model z žičnim okvirjem predstavlja obliko izdelka v obliki končnega niza črt, ki ležijo na površinah izdelka. Za vsako črto so znane koordinate končnih točk in navedena je njihova incidenca na robove ali površine. Pri nadaljnjih operacijah CAPP je neprimerno uporabljati žični model, zato se žični modeli danes redko uporabljajo.

Površinski model prikaže obliko izdelka z definiranjem njegovih mejnih površin, na primer kot zbirko podatkov o ploskvah, robovih in ogliščih.

Posebno mesto zasedajo modeli izdelkov s površinami kompleksnih oblik, ti izklesane površine... Takšni izdelki vključujejo na primer ohišja mikrovezij, računalnikov, delovnih postaj) itd.

Volumetrični modeli razlikujejo po tem, da eksplicitno vsebujejo informacije o pripadnosti elementov notranjemu ali zunanjemu prostoru v zvezi z izdelkom.

Obravnavani modeli predstavljajo telesa z zaprtimi prostorninami, ki so tako imenovani mnogoterji. Nekateri sistemi geometrijskega modeliranja omogočajo delovanje z malo podobnimi modeli ( nerazličen), katerih primeri so lahko modeli teles, ki se dotikajo drug drugega na eni točki ali vzdolž ravni črte. Delni modeli so priročni v procesu načrtovanja, ko je v vmesnih fazah koristno delati hkrati s tridimenzionalnimi in dvodimenzionalnimi modeli, ne da bi navedli debelino sten konstrukcije itd.

Sistematizacija geometrijskih modelov

Z geometrijskimi modeli se morajo ukvarjati matematiki in fiziki, inženirji in oblikovalci, znanstveniki in delavci, zdravniki in umetniki, kozmonavti in fotografi. Vendar še vedno ni sistematičnega vodnika po geometrijskih modelih in njihovi uporabi. To je razloženo predvsem z dejstvom, da je nabor geometrijskih modelov preširok in raznolik.

Geometrijski modeli so lahko utelešenje načrtovalčeve namere in služijo ustvarjanju novega predmeta. Obratna shema se zgodi tudi, ko je model izdelan na predmetu, na primer med obnovo ali popravilom.

Geometrijski modeli so razvrščeni na predmetne (risbe, zemljevidi, fotografije, modeli, televizijske slike itd.), izračunane in kognitivne. Objektni modeli so tesno povezani z vizualnim opazovanjem. Informacije, pridobljene iz predmetnih modelov, vključujejo informacije o obliki in velikosti predmeta, o njegovi lokaciji glede na druge.

Risbe strojev, konstrukcij, tehničnih naprav in njihovih delov so izdelane v skladu s številnimi konvencijami, posebnimi pravili in določenim merilom. Razlikovati med risbami delov, sklopom, splošnim pogledom, montažo, tabelarnimi, dimenzijskimi, zunanjimi pogledi, operativnimi itd. Glede na fazo projektiranja se risbe delijo na risbe tehničnega predloga, osnutke in tehnične načrte, delovne risbe. Risbe se razlikujejo tudi po industriji: strojegradnja, instrumentarstvo, gradbeništvo, rudarstvo in geološka, ​​topografska itd. Risbe zemeljskega površja se imenujejo zemljevidi. Risbe se razlikujejo po načinu slik: ortogonalna risba, aksonometrija, perspektiva, numerične oznake, afine projekcije, stereografske projekcije, kinematografska perspektiva itd.

Geometrijski modeli se bistveno razlikujejo po načinu izvedbe: risbe so originali, izvirniki, kopije, risbe, slike, fotografije, filmi, rentgenski posnetki, kardiogrami, modeli, modeli, skulpture itd. Med geometrijskimi modeli so ravni in volumetrični.

Z grafičnimi konstrukcijami lahko dobimo numerične rešitve različnih problemov. Pri izračunu algebrskih izrazov so števila predstavljena s smernimi segmenti. Da bi našli razliko ali vsoto številk, so ustrezni segmenti narisani na ravni črti. Množenje in deljenje se izvajata z izdelavo proporcionalnih segmentov, ki so na straneh vogala odrezani z vzporednimi ravnimi črtami. Kombinacija operacij množenja in seštevanja vam omogoča izračun vsote produktov in tehtanega povprečja. Grafično povečevanje je sestavljeno iz zaporednega ponavljanja množenja. Grafična rešitev enačb je vrednost abscise presečišča krivulj. Grafično lahko izračunate določen integral, narišete izpeljanko, t.j. diferencirati in integrirati diferencialne enačbe. Geometrijske modele za grafične izračune je treba razlikovati od nomogramov in računskih geometrijskih modelov (RGM). Grafični izračuni vsakič zahtevajo zaporedje konstrukcij. Nomogrami in RGM so geometrijske slike funkcionalnih odvisnosti in ne zahtevajo novih konstrukcij za iskanje številčnih vrednosti. Nomogrami in RGM se uporabljajo za izračun in preučevanje funkcionalnih odvisnosti. Izračuni na RGM in nomogramih se nadomestijo z branjem odgovorov z uporabo elementarnih operacij, navedenih v ključu nomograma. Glavni elementi nomogramov so lestvice in binarna polja. Nomogrami so razdeljeni na osnovne in sestavljene. Nomograme odlikuje tudi delovanje v ključu. Temeljna razlika med RGM in nomogramom je v tem, da se za konstruiranje RGM uporabljajo geometrijske metode, za konstruiranje nomogramov pa analitične metode.

Geometrijski modeli, ki prikazujejo razmerja med elementi množice, se imenujejo grafi... Grafi so modeli reda in načina delovanja. Pri teh modelih ni razdalj, kotov, ni pomembno, ali so točke povezane z ravno ali ukrivljeno črto. V grafih se razlikujejo samo oglišča, robovi in ​​loki. Prvič so bili pri reševanju ugank uporabljeni grafi. Trenutno se grafi učinkovito uporabljajo v teoriji načrtovanja in krmiljenja, teoriji razporejanja, sociologiji, biologiji, elektroniki, pri reševanju verjetnostnih in kombinatornih problemov itd.

Grafični model funkcionalne odvisnosti imenujemo graf. Funkcijski grafi se lahko sestavijo na določenem njegovem delu ali na grafu druge funkcije z uporabo geometrijskih transformacij.

Grafični prikaz, ki jasno prikazuje razmerje poljubnih količin, je diagram. Na primer, diagram stanja (fazni diagram) grafično prikazuje razmerje med parametri stanja termodinamičnega ravnotežnega sistema. Palični grafikon, ki je zbirka sosednjih pravokotnikov, zgrajenih na eni ravni črti in predstavlja porazdelitev vseh vrednosti po kvantitativnih značilnostih, se imenuje histogram.

Posebej pomembni so teoretični geometrijski modeli. V analitični geometriji geometrijske podobe raziskujemo s pomočjo algebre, ki temelji na metodi koordinat. V projektivni geometriji se preučujejo projektivne transformacije in nespremenljive lastnosti figur, ki niso odvisne od njih. V deskriptivni geometriji se prostorske figure in metode reševanja prostorskih problemov preučujejo tako, da se njihove slike gradijo na ravnini. Lastnosti ravnih figur se obravnavajo v planimetriji, lastnosti prostorskih figur - v stereometriji. V sferični trigonometriji se proučuje razmerje med koti in stranicami sferičnih trikotnikov. Teorija fotogrametrije in stereofotogrametrije omogoča določanje oblik, velikosti in položaja predmetov iz njihovih fotografskih slik.

Geometrijski model predmeta razumemo kot niz informacij, ki enolično določajo njegovo konfiguracijo in geometrijske parametre.

Trenutno obstajata dva pristopa k avtomatiziranemu ustvarjanju geometrijskih modelov z uporabo računalniške tehnologije.

Prvi pristop, ki predstavlja tradicionalno tehnologijo ustvarjanja grafičnih slik, temelji na na dvodimenzionalnem geometrijskem modelu in dejanska uporaba računalnika kot elektronske risalne plošče, kar omogoča pospešitev postopka risanja predmeta in izboljšanje kakovosti projektne dokumentacije. V tem primeru osrednje mesto zaseda risba, ki služi kot sredstvo za prikaz izdelka na ravnini v obliki pravokotnih projekcij, pogledov, prerezov in prerezov ter vsebuje vse potrebne informacije za razvoj tehnološkega procesa. izdelave izdelka. V dvodimenzionalnem modelu je geometrija izdelka prikazana v računalniku kot ploski predmet, katerega vsaka točka je predstavljena z dvema koordinatama: X in Y.

Glavne pomanjkljivosti uporabe 2D modelov v računalniško podprtem oblikovanju so očitne:

Ustvarjeno objektno strukturo je treba miselno predstaviti v obliki posameznih risarskih elementov (ortogonalne projekcije, pogledi, prerezi in prerezi), kar je težaven proces tudi za izkušene razvijalce in pogosto vodi do napak pri oblikovanju struktur izdelkov;

Vse grafične podobe na risbi (ortogonalne projekcije, pogledi, prerezi, prerezi) so ustvarjene neodvisno druga od druge in zato niso asociativno povezane, torej vsaka sprememba oblikovalskega predmeta vodi v potrebo po spremembah (urejanju) v vsakem ustrezna grafična podoba risbe, ki je naporen proces in je vzrok za veliko število napak pri spreminjanju zasnov izdelka;

Nezmožnost uporabe nastalih risb za ustvarjanje računalniških modelov krmilnih sklopov predmetov iz sestavnih delov (agregatov, sklopov in delov);

Kompleksnost in visoka delovna intenzivnost ustvarjanja aksonometričnih slik montažnih enot izdelkov, njihovih katalogov in priročnikov za njihovo delovanje;

Dvodimenzionalni modeli so neučinkoviti za uporabo v naslednjih (po izdelavi zasnove izdelka) fazah proizvodnega cikla.

Drugi pristop k razvoju grafičnih podob oblikovalskih objektov temelji na z uporabo tridimenzionalnih geometrijskih modelov predmetov, ki nastajajo v avtomatiziranih sistemih tridimenzionalnega modeliranja. Takšni računalniški modeli so vizualni način predstavljanja projektnih predmetov, ki omogoča odpravo naštetih pomanjkljivosti dvodimenzionalnega modeliranja in znatno razširitev učinkovitosti in obsega tridimenzionalnih modelov v različnih fazah proizvodnega cikla proizvodnih izdelkov.

Tridimenzionalni modeli se uporabljajo za računalniško predstavitev modelov izdelkov v treh dimenzijah, to pomeni, da je geometrija predmeta predstavljena v računalniku s tremi koordinatami: X, Y in Z. poljubno zorno kot ali jih vizualizirajte kot perspektivo. Zato imajo 3D geometrijski modeli pomembne prednosti pred 2D modeli in lahko znatno izboljšajo učinkovitost oblikovanja.

Glavne prednosti 3D modelov:

Podobo oblikovalec jasno in preprosto zazna;

Risbe delov so ustvarjene z uporabo samodejno pridobljenih projekcij, pogledov, prerezov in prerezov tridimenzionalnega modela predmeta, kar znatno poveča produktivnost razvoja risbe;

Spremembe tridimenzionalnega modela samodejno povzročijo ustrezne spremembe povezane grafike risbe predmeta, kar omogoča hitro spreminjanje risb;

Možno je izdelati tridimenzionalne modele virtualnih krmilnih sklopov in katalogov izdelkov;

Tridimenzionalni modeli se uporabljajo za izdelavo operativnih skic tehnoloških procesov za izdelavo delov in oblikovnih elementov tehnološke opreme: štampiljke, kalupi, kalupi za ulivanje;

S pomočjo tridimenzionalnih modelov je mogoče simulirati delovanje izdelkov, da bi pred izdelavo določili njihovo zmogljivost;

Tridimenzionalni modeli se uporabljajo v sistemih avtomatizirane priprave programov za avtomatsko programiranje trajektorij gibanja delovnih teles večosnih obdelovalnih strojev z numerično krmiljenjem;

Te prednosti omogočajo učinkovito uporabo tridimenzionalnih modelov v avtomatiziranih sistemih za upravljanje življenjskega cikla izdelkov.

Obstajajo tri glavne vrste 3D modelov:

- okvir (žica), v kateri so slike predstavljene s koordinatami oglišč in robov, ki jih povezujejo;

- površno predstavljajo površine, ki omejujejo ustvarjeni objektni model;

- trdno stanje ki so oblikovani iz modelov trdnega telesa;

- hibridni .

Tridimenzionalni grafični modeli vsebujejo informacije o vseh grafičnih primitivih predmeta, ki se nahaja v tridimenzionalnem prostoru, to pomeni, da je zgrajen numerični model tridimenzionalnega predmeta, katerega vsaka točka ima tri koordinate (X, Y, Z) .

riž. 10.1. Tetraedrska žična podatkovna struktura

Glavne pomanjkljivosti žičnih modelov:

Skritih vrstic ni mogoče samodejno odstraniti;

Možnost dvoumne predstavitve predmeta;

V prerezu predmeta bodo ravnine le točke presečišča robov predmeta;

Vendar žični modeli ne zahtevajo veliko računanja, torej visoke hitrosti in velikega računalniškega pomnilnika. Zato so z vidika njihove uporabe pri ustvarjanju računalniških slik ekonomični.

V površinskih modelih volumetrična slika predmeta je predstavljena kot zbirka posameznih površin.

Za izdelavo 3D površinskih modelov se uporabljajo analitične in zgibne površine.

Analitične površine(ravnina, valj, stožec, krogla itd.) so opisane z matematičnimi enačbami.

Sline površine so predstavljeni z nizi točk, med katerimi se z matematičnim približkom določijo položaji preostalih točk. Na sl. 10.2b prikazuje primer ploskve, ki je nastala s premikanjem ravne skice (slika 10.2a) v izbrani smeri.

riž. 10.2. Primer vretenčne površine

Slabosti površinskih modelov:

V prerezu predmeta bodo ravnine le linije preseka površin predmeta s sečnimi ravninami;

Logičnih operacij seštevanja, odštevanja in preseka predmetov ni mogoče izvajati.

Prednosti površinskih modelov:

Nedvoumna predstavitev predmeta;

Sposobnost ustvarjanja modelov predmetov s kompleksnimi površinskimi konfiguracijami.

Tridimenzionalni površinski modeli so našli široko uporabo pri ustvarjanju modelov kompleksnih predmetov, sestavljenih iz površin, katerih relativna debelina je veliko manjša od dimenzij ustvarjenih modelov predmetov (ladijski trup, trup letala, karoserija avtomobila itd.).

Poleg tega se površinski modeli uporabljajo za ustvarjanje hibridnih trdnih modelov z uporabo površinsko omejenih modelov, ko je ustvarjanje trdnega modela zelo težko ali nemogoče zaradi kompleksnih površin predmeta.

Trden model je resnična predstavitev objekta, saj struktura računalniških podatkov vključuje koordinate točk celotnega telesa predmeta. To vam omogoča izvajanje logičnih operacij na predmetih: združitev, odštevanje in presečišče.

Obstajata dve vrsti trdnih modelov: površinsko omejeni in volumetrični.

V trdnem modelu z omejeno površino meje objektov se oblikujejo s pomočjo površin.

Za soliden model notranji računski model predstavlja koordinate točk celotnega togega telesa. Očitno je, da trdni modeli predmetov zahtevajo veliko izračunov v primerjavi z žičnimi in površinskimi modeli, saj je v procesu njihovih transformacij potrebno ponovno izračunati koordinate vseh točk telesa predmeta in s tem veliko računsko moč računalnikov ( hitrost in RAM). Vendar imajo ti modeli prednosti, ki jim omogočajo učinkovito uporabo v procesu računalniško podprtega oblikovanja:

Možno je samodejno odstranjevanje skritih črt;

Vidnost in nemožnost dvoumne predstavitve predmeta;

V odseku predmeta z ravninami bodo dobljeni rezi, ki se uporabljajo pri ustvarjanju risb;

Možno je izvajati logične operacije seštevanja, odštevanja in preseka predmetov.

Na sliki 10.3 so za ilustracijo prikazani rezultati ravninskega preseka različnih vrst tridimenzionalnih modelov paralelepipeda: žični, površinski in trdni.

riž. 10.3. Ravni odseki različnih vrst 3D modelov

Ta ilustracija kaže, da je s pomočjo tridimenzionalnih modelov mogoče dobiti reze in odseke, ki jih je treba izvesti pri ustvarjanju risb izdelkov.

Načelo ustvarjanja kompleksnega modela predmeta temelji na zaporednem izvajanju treh logičnih (boolovih) operacij s trdnimi modeli (slika 10.4): hibridni model , ki je kombinacija površinsko omejenega modela in volumetričnega trdnega modela, ki omogoča izkoriščanje obeh modelov.

Prednosti polprevodniških in hibridnih modelov so glavni razlog za njihovo široko uporabo pri ustvarjanju tridimenzionalnih modelov predmetov, kljub potrebi po izvedbi velikega števila izračunov in s tem uporabi računalnikov z velikim pomnilnikom in visoko hitrostjo. .

Rezultat geometrijskega modeliranja nekega predmeta je matematični model njegove geometrije. Matematični model vam omogoča grafični prikaz modeliranega predmeta, pridobivanje njegovih geometrijskih značilnosti, študij številnih fizikalnih lastnosti predmeta s postavitvijo numeričnih eksperimentov, pripravo proizvodnje in končno izdelavo predmeta.

Če želite videti, kako izgleda predmet, morate simulirati tok svetlobnih žarkov, ki padajo in se vračajo z njegovih površin. V tem primeru lahko obrazi modela dobijo zahtevano barvo, prosojnost, teksturo in druge fizikalne lastnosti. Model je mogoče osvetliti iz različnih smeri s svetlobo različnih barv in jakosti.

Geometrični model vam omogoča, da določite masno središče in inercialne značilnosti načrtovanega predmeta, da izmerite dolžine in kote njegovih elementov. Omogoča izračun dimenzijskih verig in določitev zbirke projektiranega predmeta. Če je predmet mehanizem, lahko na modelu preverite njegovo delovanje in izračunate kinematične značilnosti.

Z uporabo geometrijskega modela je mogoče izvesti numerični eksperiment za določitev napeto-deformacijskega stanja, frekvenc in načinov naravnih vibracij, stabilnosti konstrukcijskih elementov, toplotnih, optičnih in drugih lastnosti predmeta. Da bi to naredili, je potrebno geometrijski model dopolniti s fizikalnimi lastnostmi, simulirati zunanje pogoje njegovega delovanja in z uporabo fizikalnih zakonov izvesti ustrezen izračun.

Iz geometrijskega modela lahko izračunate pot rezalnega orodja za obdelavo predmeta. Z izbrano tehnologijo izdelave predmeta vam geometrijski model omogoča načrtovanje orodja in izvedbo priprave proizvodnje ter preverjanje same možnosti izdelave predmeta po tej metodi in kakovosti te izdelave. Poleg tega je možna grafična simulacija proizvodnega procesa. Toda za izdelavo predmeta so poleg geometrijskih informacij potrebni tudi podatki o tehnološkem procesu, proizvodni opremi in marsičem, kar je povezano s proizvodnjo.

Mnogi od naštetih problemov tvorijo samostojne veje uporabne znanosti in po svoji kompleksnosti niso slabši, v večini primerov pa celo presegajo problem izdelave geometrijskega modela. Geometrijski model je izhodišče za nadaljnje ukrepanje. Pri gradnji geometrijskega modela nismo uporabljali fizikalnih zakonov, vektor polmera vsake točke vmesnika med zunanjim in notranjim delom modeliranega predmeta je znan, zato moramo pri gradnji geometrijskega modela sestaviti in rešiti algebraično enačb.

Problemi, ki uporabljajo fizikalne zakone, vodijo do diferencialnih in integralnih enačb, katerih rešitev je težja kot reševanje algebraičnih enačb.

V tem poglavju se bomo osredotočili na izvajanje izračunov, ki niso povezani s fizikalnimi procesi. Upoštevali bomo izračun čisto geometrijskih značilnosti teles in njihovih ravnih prerezov: površino, prostornino, masno središče, vztrajnostne momente in orientacijo glavnih vztrajnostnih osi. Ti izračuni ne zahtevajo dodatnih informacij. Poleg tega bomo obravnavali probleme numerične integracije, ki jih je treba rešiti pri določanju geometrijskih značilnosti.

Določanje površine, težišča in vztrajnostnih momentov ravnega preseka telesa vodi do izračuna integralov po površini preseka. Za ravninske odseke imamo informacije o njihovih mejah. Integrale po površini ravnega preseka bomo zreducirali na krivolinijske integrale, ti pa na določene integrale. Določanje površine, prostornine, težišča mase, vztrajnostnih momentov telesa vodi do izračuna površinskih in prostorninskih integralov. Zanašali se bomo na predstavitev telesa s pomočjo meja, torej na opis telesa z nizom omejevalnih površin in topološke informacije o medsebojni bližini teh površin. Integrale po prostornini telesa bomo zmanjšali na površinske integrale nad površinami ploskve telesa, ki pa se reducirajo na dvojne integrale. Na splošno je regija integracije povezana dvodimenzionalna regija. Izračun dvojnih integralov z numeričnimi metodami se lahko izvede za območja preprostih tipov - štirikotne ali trikotne. V zvezi s tem so na koncu poglavja obravnavane metode za izračun določenih integralov in dvojnih integralov nad štirikotnimi in trikotnimi območji. Metode za delitev območij za določanje parametrov površin v niz trikotnih poddomen so obravnavane v naslednjem poglavju.

Na začetku poglavja razmislite o redukciji površinskih integralov na krivolinijske integrale in redukciji volumskih integralov na površinske integrale. Na podlagi tega bodo temeljili izračuni geometrijskih značilnosti modelov.

Geometrijski model Model je predstavitev podatkov, ki najbolj ustrezno odraža lastnosti resničnega predmeta, ki so bistvenega pomena za proces načrtovanja. Geometrijski modeli opisujejo predmete, ki imajo geometrijske lastnosti. Geometrijsko modeliranje je torej modeliranje objektov različne narave z uporabo geometrijskih podatkovnih tipov.

Glavni mejniki pri ustvarjanju matematičnih temeljev sodobnih geometrijskih modelov Izum CNC stroja - zgodnja 50. leta (Massachusetts Institute of Technology MIT) - potreba po izdelavi digitalnega modela dela Ustvarjanje "kiparskih površin" (potrebe letalska in avtomobilska industrija) - za Citroen je matematik Paul de Casteljo predlagal konstruiranje gladkih krivulj in površin iz niza kontrolnih točk - krivulje prihodnosti in Bezierjeve površine - 1959 Rezultati dela so bili objavljeni leta 1974.

Bilinearni obliž je gladka površina, sestavljena iz 4 točk. Coonsova bilinearna loputa (Coonsova površina) - gladka površina, sestavljena iz 4 mejnih krivulj - Stephen Koons - profesor MIT - 1967 Koons je predlagal uporabo racionalnega polinoma za opis stožnih prerezov. Sutherland - študent Koonsa je razvil podatkovne strukture za prihodnje geometrijske modele, predlagal številne algoritme za rešitev problema vizualizacije

Ustvarjanje površine, ki nadzoruje gladkost med mejnimi krivuljami, Bezierjeva površina - Pierre Bezier - inženir pri Renaultu - 1962 Osnova za razvoj takšnih površin so bile Hermite krivulje in površine, ki jih je opisal francoski matematik - Charles Hermite (sred. 19. stoletje)

Uporaba zgibov (krivulj, katerih stopnja ni določena s številom kontrolnih točk, vzdolž katerih je narisana) pri geometrijskem modeliranju. Isaac Schoenberg (1946) jih je teoretično opisal. Karl de Boer in Cox sta te krivulje preučila za geometrijsko modeliranje - imenovali so jih B-splines - 1972.

Uporaba NURBS (racionalnih B-zrezkov na neenakomerni mreži parametrizacije) pri geometrijskem modeliranju - Ken Verspril (Univerza v Sirakuzah), nato uslužbenec Computervision -1975 NURBS je prvič uporabil Rosenfelda v modelskem sistemu Alpha 1 in Geomod - 1983 Sposobnost opisovanja vse vrste stožčastih profilov z uporabo Rational B-Splines - Eugene Lee - 1981 To rešitev smo našli pri razvoju sistema TIGER CAD, ki ga uporablja proizvajalec letal Boeing. To podjetje je predlagalo vključitev NURBS v format IGES Razvoj parametrizacijskih principov v geometrijskem modeliranju, uvedba koncepta prihodnosti - S. Geisberg. Pioneers - PTC (Parametric Technology Corporation), prvi sistem, ki podpira parametrično modeliranje - Pro / E -1989

Matematično znanje, potrebno za študij geometrijskih modelov Vektorska algebra Matrične operacije Oblike matematične predstavitve krivulj in površin Diferencialna geometrija krivulj in površin Približevanje in interpolacija krivulj in površin Informacije iz elementarne geometrije na ravnini in v prostoru

Razvrstitev geometrijskih modelov glede na nasičenost informacij Po nasičenosti z informacijami Žični okvir (žica) Žična površina Trdni model ali trdni model

Razvrstitev geometrijskih modelov po notranji predstavi Po notranji predstavi Meja – Mejni prikaz –B-rep -analitični opis - lupina Strukturni model - konstrukcijsko drevo Struktura + meje

Klasifikacija po načinu oblikovanja Po načinu oblikovanja Trdodimenzionalno modeliranje ali z eksplicitno specifikacijo geometrije - specifikacija lupine Parametrični model Kinematični model (lofting, sweep, Extrude, revolve, stretched, sweeping) Model konstruktivne geometrije (z uporabo osnovne elementi forme in logične operacije na njih - presečišče, odštevanje, združitev) Hibridni model

Metode za konstruiranje krivulj v geometrijskem modeliranju Krivulje so osnova za izdelavo tridimenzionalnega modela površine. Metode za konstruiranje krivulj v geometrijskem modeliranju: Interpolacija - Hermitove krivulje in kubične vleke Aproksimacija - Bezierove krivulje, Zgibne krivulje, NURBS krivulje

Osnovne metode gradnje površinskih modelov Analitične ploskve Ravnine poligonalne mreže Kvadratne ploskve - stožčasti prerezi Površine, sestavljene s točkami Poligonalne mreže Bilinearna ploskev Linearna in bikubična Koonsova površina Bézierjeva površina B-spline površine NURBS površine Trikotne ploskve Površine zgrajene po kinematičnem principu revolucije Kompleks Surfa pometane in podstrešne površine

Trdni model Pri modeliranju trdnih teles se uporabljajo topološki objekti, ki nosijo topološke in geometrijske informacije: Face; rob; Vertex; cikel; Lupina Osnova trdne snovi je njena lupina, ki je zgrajena iz površin

Metode trdnega modeliranja: eksplicitno (neposredno) modeliranje, parametrično modeliranje. Eksplicitno modeliranje 1. Model konstruktivne geometrije - z uporabo BEF in Booleovih operacij. 2. Kinematični princip konstrukcije. 3. Eksplicitno modeliranje lupine. 4. Objektno usmerjeno modeliranje – uporaba funkcij.

Geometrija, ki temelji na strukturnih in tehnoloških elementih (značilnosti) (objektno usmerjeno modeliranje) FEACHERS - enojni ali sestavljeni strukturni geometrijski objekti, ki vsebujejo informacije o svoji sestavi in ​​se zlahka spreminjajo med projektiranjem (poskosi, robovi itd.), odvisno od uvedenih v geometrijski model sprememb. LASTNOSTI - parametrizirani objekti, ki so pritrjeni na druge elemente geometrijskega modela.

Površinski in trdni modeli, ki temeljijo na kinematičnem principu Vrtenje Enostavno premikanje - ekstruzija Mešanje dveh profilov Enostavno premikanje profila po krivulji Premikanje profila vzdolž krivulje in spreminjanje v presečni ravnini

Primeri trdnih teles, zgrajenih po kinematičnem principu 1. Mešanje profilov po določenem zakonu (kvadratni, kubični itd.)

Parametrični modeli Parametrični model je model, ki ga predstavlja niz parametrov, ki vzpostavljajo razmerje med geometrijskimi in dimenzijskimi značilnostmi modeliranega predmeta. Vrste parametrizacije in hierarhična parametrizacija Variacijska parametrizacija Geometrična ali dimenzijska parametrizacija Tablična parametrizacija

Hierarhična parametrizacija Parameterizacija prvega parametričnega modela na podlagi zgodovine. Zgodovina se spremeni v parametrični model, če so določeni parametri povezani z vsako operacijo. Pri izdelavi modela se celotno zaporedje gradnje, na primer vrstni red izvedenih geometrijskih transformacij, prikaže v obliki konstrukcijskega drevesa. Izvajanje sprememb v eni od stopenj modeliranja vodi do spremembe celotnega modela in konstrukcijskega drevesa.

Slabosti hierarhične parametrizacije ü Uvedba cikličnih odvisnosti v model bo povzročila neuspeh sistema pri izdelavi takšnega modela. ü Možnosti urejanja takega modela so omejene zaradi pomanjkanja zadostne stopnje svobode (zmožnost urejanja parametrov vsakega elementa po vrsti) ü Kompleksnost in nepreglednost za uporabnika ü Konstrukcijsko drevo je lahko zelo zapleteno, preračunano model bo vzel veliko časa ü Odločitev o tem, katere parametre spremeniti, se pojavi šele v procesu gradnje ü Nemožnost uporabe tega pristopa pri delu s heterogenimi in starimi podatki

Hierarhično parametrizacijo lahko imenujemo toga parametrizacija. S togo parametrizacijo so vse povezave v celoti določene v modelu. Pri izdelavi modela s togo parametrizacijo je zelo pomembno določiti vrstni red in naravo prekritih povezav, ki bodo nadzorovale spremembo geometrijskega modela. Takšne povezave se najbolj v celoti odražajo v konstrukcijskem drevesu. Za togo parametrizacijo je značilna prisotnost primerov, ko pri spreminjanju parametrov geometrijskega modela rešitve sploh ni. ugotovljeno, saj so nekateri parametri in vzpostavljena razmerja v nasprotju med seboj. Enako se lahko zgodi pri spreminjanju posameznih stopenj drevesa gradnje. Uporaba drevesa gradnje pri ustvarjanju modela vodi do ustvarjanja modela na podlagi zgodovine, ta pristop k modeliranju se imenuje proceduralni

Odnos med starši in otroki. Osnovno načelo hierarhične parametrizacije je fiksiranje vseh stopenj gradnje modela v konstrukcijskem drevesu. To je definicija odnosa starš/otrok. Ko je ustvarjena nova funkcija, postanejo vse druge funkcije, na katere se sklicuje ustvarjena funkcija, njeni starši. Če spremenite nadrejeno funkcijo, se spremenijo vsi njeni potomci.

Variacijska parametrizacija Izdelava geometrijskega modela z uporabo omejitev v obliki sistema algebraičnih enačb, ki določajo razmerje med geometrijskimi parametri modela. Primer geometrijskega modela, zgrajenega na podlagi variacijske parametrizacije

Primer ustvarjanja parametričnega modela skice s pomočjo variacijske parametrizacije v Pro / E Prisotnost simbolne oznake za vsako dimenzijo vam omogoča, da določite razmerje dimenzij z uporabo matematičnih formul.

Geometrijska parametrizacija temelji na preračunu parametričnega modela glede na geometrijske parametre nadrejenih objektov. Geometrični parametri, ki vplivajo na model, zgrajen na podlagi geometrijske parametrizacije ü Vzporednost ü Pravkotnost ü Tangenca ü Koncentričnost krogov ü itd. Geometrijska parametrizacija uporablja načela asociativne geometrije

Geometrijsko in variacijsko parametrizacijo lahko pripišemo mehki parametrizaciji Zakaj? mehka parametrizacija je metoda za konstruiranje geometrijskih modelov, ki temelji na principu reševanja nelinearnih enačb, ki opisujejo razmerje med geometrijskimi značilnostmi predmeta. Omejitve pa so določene s formulami, kot v primeru variacijskih parametričnih modelov, ali geometrijskimi razmerji parametrov, kot v primeru modelov, ustvarjenih na podlagi geometrijske parametrizacije. Metoda konstruiranja geometrijskega modela z uporabo variacijske in geometrijske parametrizacije se imenuje deklarativni

Tabelarna parametrizacija Izdelava tabele parametrov za tipične dele. Generiranje novega tipičnega predmeta se izvede z izbiro iz tabele standardnih velikosti. Tabela velikosti vzorcev, ustvarjena v Pro / E

Koncept posrednega in neposrednega urejanja Posredno urejanje predpostavlja prisotnost konstrukcijskega drevesa za geometrijski model - urejanje poteka znotraj drevesa Neposredno urejanje vključuje delo z mejo trdnega telesa, to je z njegovo lupino. Urejanje modela ne temelji na konstrukcijskem drevesu, temveč kot posledica spreminjanja komponent trdne lupine

Jedra geometrijskega modeliranja Jedro geometrijskega modeliranja je nabor programskih orodij za konstruiranje tridimenzionalnih geometrijskih modelov na podlagi matematičnih metod njihove konstrukcije. ACIS - Sistem Dassault - Parasolid Boundary Representation - Unigraphics Solution - Granite Boundary Representation - uporablja se v Pro / E in Creo - podpira 3D parametrično modeliranje

Glavne sestavine jeder geometrijskega modeliranja Podatkovna struktura za modeliranje - strukturna predstavitev - model strukturne geometrije ali mejna predstavitev - B-rep model. Matematični aparat. Orodja za vizualizacijo. Nabor vmesnikov - API (Application Programming Interface)

Metode za ustvarjanje geometrijskih modelov v sodobnem CAD Metode za izdelavo modelov na osnovi tridimenzionalnih ali dvodimenzionalnih obdelovancev (osnovni oblikovni elementi) - ustvarjanje primitivov, logične operacije Izdelava trdnega ali površinskega modela po kinematičnem principu - pometanje, lofting , sweep, itd. Pogosto uporabljeno načelo parametrizacije. Sprememba teles ali površin z gladkimi fileti, zaokroževanjem, ekstrudiranjem. Metode za urejanje meja - manipulacija s komponentami trdnih teles (točki, robovi, ploskve itd.). Uporablja se za dodajanje, odstranjevanje, spreminjanje elementov trdne ali ravninske oblike. Metode za modeliranje telesa z uporabo prostih oblik. Objektno usmerjeno modeliranje. Uporaba elementov strukturne oblike - značilnosti (zabode, luknje, fileti, utori, zareze itd.) (na primer, da se naredi taka in drugačna luknja na takem in takem mestu)

Naloge, ki jih rešuje CAD različnih stopenj 1. Reševanje nalog osnovnega nivoja oblikovanja, parametrizacija je odsotna ali pa je izvedena na najnižji najpreprostejši ravni 2. Imajo dovolj močno parametrizacijo, osredotočeni so na individualno delo, različnim razvijalcem je nemogoče delati skupaj na enem projektu hkrati. 3. Omogoča izvajanje vzporednega dela oblikovalcev. Sistemi so zgrajeni na modularni osnovi. Celoten cikel dela se izvaja brez izgube podatkov in parametričnih povezav. Osnovno načelo je parameterizacija od konca do konca. V takšnih sistemih je dovoljeno spreminjati model izdelka in sam izdelek v kateri koli fazi dela. Podpora na kateri koli ravni življenjskega cikla izdelka. 4. Rešujejo se naloge ustvarjanja modelov ozkega področja uporabe. Izvajati je mogoče vse možne načine izdelave modelov

Klasifikacija sodobnih CAD sistemov Klasifikacijski parametri stopnja parametrizacije Funkcionalno bogastvo Področja uporabe (letala, avtomobili, instrumenti) Sodobni CAD 1. Nizek nivo (majhen, lahek): Avto. CAD, Compass itd. 2. Srednje (srednje): Pro Desktop, Solid Works, Power Shape itd. 3. Visoko (veliko, težko): Pro / E, Creo (PTC), Catia, Solid Works (Dassault Systemes) , Siemens PLM Software (NX Unigraphics) 4. Specializirani: SPRUT, Icem Surf, CAD sistemi, ki se uporabljajo v posebnih panogah - MCAD, ACAD, ECAD

Primeri CAD različnih nivojev Nizka raven - Auto. CAD, Kompas srednje ravni - Inventor (Autodesk), Solid Edge (Siemens), Solid Works (Dassault System), T-Flex - Top Systems High-level - Pro / E-Creo Parametric (PTC), CATIA (Dassault System) , NX (Unigraphics – programska oprema Siemens PLM) Specialized - SPRUT, Icem Surf (PTC)

Trenutno glavni koncepti modeliranja 1. Fleksibilno inženirstvo (fleksibilno načrtovanje): ü ü Parametrizacija Oblikovanje površin katere koli kompleksnosti (proste površine) Dedovanje drugih projektov Ciljno odvisno modeliranje 2. Vedenjsko modeliranje ü ü ü Ustvarjanje inteligentnih modelov (pametni modeli ) - izdelava modelov, prilagojenih razvojnemu okolju. V geometrijskem modelu m. B. intelektualni koncepti so vključeni, na primer značilnosti Vključitev v geometrijski model zahtev za izdelavo izdelka Izdelava odprtega modela, ki omogoča njegovo optimizacijo 3. Uporaba ideologije konceptualnega modeliranja pri ustvarjanju velikih sklopov ü ü Uporaba asociativnega povezave (nabor parametrov asociativne geometrije) Ločitev parametrov modela v različnih fazah projektiranja sklopov