Samostojno delo:

2. možnost:

1. možnost:

Preverite odgovore:

2. možnost:

1. možnost:

Kosinusni izrek:

Kvadrat stranic trikotnika je enak vsoti kvadratov drugih dveh stranic minus dvakratni produkt teh stranic s kosinusom kota med njima

• Najstarejši dokaz za izrek sinusov na ravnini je opisan v knjigi Nasir ad-Din At-Tusi "Razprava o popolnem štiridelnem", napisana v 13. stoletju. Sinusni izrek za sferični trikotnik so dokazali matematiki srednjeveškega vzhoda že v 10. stoletju. Al-Jayanijeva knjiga iz 11. stoletja "Knjiga neznanih lokov krogle" je zagotovila splošen dokaz izreka sinusov na krogli

Nasir ad-Din At-Tusi

Sinusni izrek :

Stranice trikotnika so sorazmerne s sinusi nasprotnih kotov.

• Komentar: Lahko pokažemo, da je razmerje med stranico trikotnika in sinusom nasprotnega kota enako premeru opisanega kroga. Zato so za kateri koli trikotnik ABC s stranicami AB = c, BC = a, CA = b enakosti
• Kjer je R polmer opisanega kroga.

1) Zapiši sinusni izrek za dani trikotnik:

2) Zapišite kosinusni izrek za izračun strani MK:

Poiščite kot B.

Poiščite dolžino stranice BC.

Poiščite dolžino stranice AB.

Poiščite MN.

Zapišite formulo za izračun:

• http://ppt4web.ru/geometrija/teoremy-sinusov-i-kosinusov0.html
• http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/10/15/teorema-sinusov-i-kosinusov
• https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Johannes_Regiomontanus2.jpg/500px-Johannes_Regiomontanus2.jpg
• http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/10/110/217/110217775_Nesreddi_tusi.jpg
• http://www.biografguru.ru/about/evklid/?q=3117

Izreki sinusov in kosinusov v problemih s praktično vsebino

so resnične?

vaja 1

dela teh strank na greh kot med njimi.

Kvadrat katere koli strani tr-ka je enak vsoti

kvadratov drugih dveh strani brez

dela teh strank na cos kot med njimi.

Kvadrat katere koli strani tr-ka je enak vsoti

kvadratov drugih dveh strani brez podvojenega

dela teh strank na cos kot med njimi.

V pravokotnem trikotniku

kvadrat noge je enak razliki kvadratov

hipotenuza in druga noga.

Katera od naslednjih trditev so resnične?

Naloga 2

sinusi nasprotnih kotov.

Stranice trikotnika so sorazmerne

kosinusov nasprotnih kotov.

Stranice trikotnika so sorazmerne

sinusi sosednjih kotov.

Stranice trikotnika so sorazmerne

nasprotnih vogalov.

Katera od naslednjih trditev so resnične?

Naloga 3

območje in obod.

Reševanje trikotnika je merjenje vsega

njenih elementov.

Reševanje trikotnika je iskanje

neznani elementi za tri znane.

Rešiti trikotnik pomeni najti ga

enak trikotnik.

Ni res!

Ni res!

Ni res!

Vzpostaviti ujemanje?

Naloga 4

A) sinusni izrek

B) Heronova formula

C) Pitagorejev izrek

D) kosinusni izrek

Od daljave stoji 1,7 m visok moški

8 korakov od stebrička, na katerem visi luč.

Človekova senca je enaka štirim korakom. Kateri

višina (v metrih) se nahaja luč?

Naloga 5

8 korakov

4 koraki

Nasvet (2)

Razmislite o podobnih trikotnikih

Δ ABC

Δ AKM

Nogometna žoga je pri Ježku, ki se nahaja na razdalji 23 m in 24 m od vrat. Širina vrat je 7 m. Poiščite kot žoge v gol?

Naloga 6

Naloga 7

Algoritem za reševanje praktičnih problemov

• Izvedite risanje
• Reši geometrijski problem

Naloga 7

Poiščite razdaljo do nedostopnega predmeta

Algoritem za iskanje razdalje do nedostopnega predmeta

• Označite 2 točki, med katerima je mogoče izmeriti razdaljo
• Izmerite kote
• Zgradite matematični model (risbo)
• Rešite geometrijski problem z uporabo sinusnega izreka

Odločite se sami 1. možnost Za določitev širine reke (AC) sta bili označeni 2 točki C in B na razdalji 50 m drug od drugega. Izmerili smo kota ACB in ABC, kjer je A drevo, ki stoji na drugi strani reke ob vodnem robu. (<АCВ=550, <АВС=650) 2. možnost Za določitev širine reke (AC) sta bili označeni 2 točki B in C na razdalji 40 m drug od drugega. Izmerili smo kota ACB in ABC, kjer je A drevo, ki stoji na drugi strani reke ob vodnem robu. (<АCВ=600, <АВС=700) Проверьте друг друга <А=1800-600-700= 50 0 AВ = 49 м

Tema « kosinusni izrek"

Vrsta lekcije : pouk o asimilaciji novega znanja

Lokacija lekcije - prva lekcija na to temo

Učni namen lekcije :

poznavanje oblikovanja kosinusnega izreka s strani študentov;

spretnost:

poišči dolžino tretje strani po znanih dveh drugih in kotu

med njimi;

določiti kot (kosinus kota) trikotnika s tremi znanimi

stranke;

določi vrsto trikotnika na treh znanih straneh.

Cilji osebnega razvoja:

organizirati situacije za:

samoodločanje študentov za predvidljiv rezultat

kognitivna dejavnost;

razvoj refleksivnih sposobnosti;

ustvariti pogoje za:

razvoj komunikacijskih sposobnosti študentov;

razvoj mišljenja učencev, sposobnosti argumentiranja, dokazovanja.

Oprema in materiali: multimedijska instalacija, ekran, tabla, kreda.

Kratek načrt lekcije

1. Organiziranje časa.

2. Posodabljanje vodilnega znanja in metod delovanja.

3. Motivacija in postavljanje ciljev.

4. Glavni del. Dokaz kosinusnega izreka. Izvedba

primeri uporabe kosinusnega izreka pri reševanju problemov.

Samouporaba znanja. (Mini test).

5. Odsev. Povzetek lekcije.

Med poukom

1. faza Organizacijski. Učence pozdravim in preverim pripravljenost delovnega mesta šolarjev za pouk. Ustvarjam delovno razpoloženje, učencem naznanim, da se pri pouku ocenjujejo tako, da na delovnem kartončku dajo ocene.

2. fazaPosodabljanje znanja učencev, predlaganje hipoteze.

Predlagam, da začnemo z ogrevanjem (testom) po formulah "Formule za vlivanje", "Vrednosti sinusa, kosinusa in tangenta za kote od 0⁰ do 180⁰".

Zapišite formulo za iskanje razdalje med točkami po njihovih koordinatah.

3. faza Ustvarjanje problemske situacije, njena rešitev.Motivacija in postavljanje ciljev.

Problematična naloga povečuje motivacijo učencev za nadaljnjo spoznavno dejavnost. Organizirana je situacija za določitev cilja lekcije in napovedovanje rezultatov lekcije, na primer, najti je treba univerzalen način iskanja dolžine tretje strani trikotnika po znanih dolžinah drugih dveh strani in kota med njimi.

Skupinsko delo.

Rešitev problema . Naloga. S formulo za razdaljo med točkama poiščite dolžino stranice BC▲ ABC, če A (0; 0), B (c; 0), C (bcosA ; bsinA ).

Izhod: dajmo besedno formulacijo dobljene enakosti. Dobimo izrek, imenovan kosinusni izrek:

kvadrat stranice trikotnika je enak vsoti kvadratov drugih dveh stranic minus dvakratni produkt teh stranic s kosinusom kota med njima.

Eden najlepših in najpreprostejših dokazov kosinusnega izreka je njegov dokaz v koordinatni ravnini.

Ali lahko rečemo, da je Pitagorejev izrek poseben primer kosinusnega izreka? Ja, ker cos 90 o = 0.

4. faza. Fizična minuta.

6 stopnja. Izjava problema: koliko elementov mora biti znanih, da se problem reši? Zgradite model, določite vrsto problema, raziščite odnose in povezave med elementi trikotnika .

Vprašanje za razpravo zanikanje. Kateri problem je mogoče rešiti s kosinusnim izrekom?

Vedeti to ima obliko a 2 = b 2 + c 2 - 2bc × cosγ, pretvorite ta izraz tako, da je želena vrednost kot γ: b 2 + c 2 = 2bc × cosγ + a 2 .
Nato dajte prikazano enačbo v nekoliko drugačno obliko: b 2 + c 2- a 2 = 2bc × cosγ. Nato sledi podani izraz v spodnjega:

cosγ = √b 2 + c 2 -a2 / 2bc.
Vprašanje za razpravo zanikanje. Kaj je mogoče najti s to formulo?

Vrednost kosinusa kota v trikotniku.

Učenci morajo izračunati kosinus večjega kota v trikotniku z znanimi dolžinami treh stranic in določiti vrsto tega trikotnika.

Izračunajte kosinus večjega kota v trikotniku, če so njegove stranice enake:

Možnost številka 1

Možnost številka 2

Možnost številka 3

c = 6, b = 8, a = 9

c = 6, b = 8, a = 10

c = 6, b = 8, a = 11

cos 19/96

cos 0

cos 0

79 0

90 0

103 0

Rezultati izračunov vsake skupine se vnesejo v tabelo, razpravljajo in sklepajo:

Za določitev vrste trikotnika (oster, pravokoten, tupo)

potrebno:

Izračunaj kosinus kota nasproti večji strani;

Če cos 0, ostrokotni trikotnik;

Če cos 0, pravokoten trikotnik;

Če cos 0, topo trikotnik.

Vprašanje za razpravo zanikanje.Kako lahko odgovorite na to vprašanje, ne da bi izračunali kosinus največjega kota? Spomnim se izreka o razmerju med stranicami in koti trikotnika. (V trikotniku nasproti večje stranice leži večji kot, nasprotno pa večja stran leži nasproti večjega kota).

IZHOD.

Naj bo c največja stranica
- če z 2 < a 2 + b 2, potem je trikotnik ostrokotni;
- če z 2 = a 2 + b 2, potem je trikotnik pravokoten;
- če z 2 > a 2 + b 2, potem je trikotnik tup.

Preverite izhod o opravljenih nalogah (doma).

7 stopnja. Izdelava dolgoročnega načrta za nadaljnje delo.

- učiteljevo vprašanje : Vprašanje za razpravo... Katere probleme je mogoče rešiti s kosinusnim izrekom?

- odgovori učencev

poišči dolžino tretje strani po znanih dveh drugih in kot med njima;

določiti kot (kosinus kota) trikotnika po treh znanih straneh

določi obliko trikotnika po treh znanih straneh

5 stopnja. Sidranje. Mini - tes

Mini test

Stanje

Možnosti odgovora

V trikotniku s stranicami m , n , str proti strani

str leži kot α ... Potem velja naslednje.

formula:

A) m 2 n 2 str 2 2 np cosα

B) m n 2 str 2 2 np cos α

V) str 2 m 2 n 2 mn cos α ;

G) str m 2 n 2 mn cos α ;

Če je kosinus večjega kota trikotnika

je negativen, potem ta trikotnik:

A) ostrokotni; B) pravokotni;

V) neumno.

Dolžini obeh stranic trikotnika sta enaki in 3 ter kot

med njimi 450. Potem je dolžina tretje strani:

A) 2; B) 3; B) √ 5; G) 5

V trikotniku so dolžine strani enake √3; 4; √7. Določite vrsto trikotnika

A) ostrokotni; B) pravokotni;

V) neumno.

Pregled.

Možnosti odgovora

1

V) str 2 m 2 n 2 mn cosα ;

2

V) neumno.

3

B) √ 5

4

V) neumno

Kaj je še treba storiti za dokončanje lekcije?"

Učenci: "Nastavite domačo nalogo."

Učitelj: "Če bi bil učitelj, kakšno domačo nalogo bi dal?"

8 stopnja. Domača naloga. str.98, št. 1025 (d).

Predlagam, da na delovne karte postavimo končno oznako in izvedemo razmislek o izpolnjevanju tabele.

Razprava, ki izpolni tabelo. Ocene

Dodatki št. 1. Ogrevanje. Test

"Formule za ulivanje", "Vrednosti sinusa, kosinusa in tangente za kote od 0⁰ do 180⁰"

1. greh (90 ⁰ - α ) =

2. cos (90 ⁰ - α ) =

3. greh (180 ⁰ - α ) = 1.cosα 2.sinα 3. - cosα 4. - sinα

4. cos (180 ⁰ - α ) 1) cosα 2) sinα 3) - cosα 4) - sinα

5. cos 60 ⁰ = 1) 2) 3)

6.cos 30 ⁰ = 1) 2) 3)

Diapozitiv 3

V 10. stoletju. Bagdadski učenjak Mohamed iz Bujana, znan kot Abu al-Vefa, je oblikoval izrek o sinusih. Nasir-ed-Din iz Tusa (1201-1274) je sistematično obravnaval vse primere reševanja poševnih sferičnih trikotnikov in nakazal številne nove rešitve. V 12. stoletju. številna astronomska dela so bila prevedena iz arabščine v latinščino, kar je Evropejcem omogočilo, da so se z njimi seznanili. A na žalost je veliko ostalo neprevedenega, izjemni nemški astronom in matematik Johann Müller (1436-1476), ki so ga njegovi sodobniki poznali kot Regiomontana (tako je prevedeno v latinščino ime njegovega rojstnega mesta Konigsberg), 200 let po Nasirju -ed- Dean je znova odkril svoje izreke. Malo zgodovine

Diapozitiv 4

FRANCOIS VIET (1540 - 1603) Viet je stal ob izvorih ustvarjanja nove znanosti - trigonometrije. Številne trigonometrične formule je prvi napisal Viet. Leta 1593 je bil prvi, ki je oblikoval kosinusni izrek v besedni obliki. Kosinus je krčenje latinskega izraza fullsinus, to je "komplementarni sinus" (ali drugače "sinus komplementarnega loka"; cosa = sin (90 ° - a)).

Diapozitiv 5

Sodobni zapis sinusa in kosinusa z znakoma sinx in cos x je leta 1739 prvič uvedel I. Bernoulli v pismu peterburškemu matematiku L. Eulerju. Ko je ugotovil, da so te oznake zelo priročne, jih je začel uporabljati v svojih matematičnih delih. Poleg tega Euler uvaja naslednje okrajšave za trigonometrične funkcije kota x: tang x, cot x, sec x, cosec x.

Diapozitiv 6

Navedite izrek o površini za trikotnik

Površina trikotnika je enaka polovici produkta njegovih dveh stranic s sinusom kota med njima. Zapiši površino trikotnika ABC A B C

Diapozitiv 7

Sinusni izrek

Stranice trikotnika so sorazmerne sinusom nasprotnih kotov M F N А В С Napiši izrek o sinusih za trikotnik MNF

Diapozitiv 8

Zapišite sinusni izrek za trikotnike: