Teise järgu kõverad tasapinnal on jooned, mis on määratletud võrranditega, milles muutuja koordinaadid x ja y sisaldub teises astmes. Nende hulka kuuluvad ellips, hüperbool ja parabool.

Teise järgu kõvera võrrandi üldvaade on järgmine:

kus A, B, C, D, E, F- numbrid ja vähemalt üks koefitsient A, B, C. ei ole null.

Teise järgu kõveratega seotud probleemide lahendamisel võetakse kõige sagedamini arvesse ellipsi, hüperbooli ja parabooli kanoonilisi võrrandeid. Neile on lihtne üldvõrranditest üle minna; sellele on pühendatud näide 1 ellipsiprobleemidest.

Kanoonilise võrrandi antud ellips

Ellipsi määratlus. Ellips on tasapinna kõigi punktide kogum, mille puhul punktide kauguste summa, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne väärtus ja suurem kui fookuste vaheline kaugus.

Fookused on näidatud nagu alloleval joonisel.

Ellipsi kanooniline võrrand on järgmine:

kus a ja b (a > b) - pooltelgede pikkused, see tähendab pooled koordinaattelgedel ellipsiga ära lõigatud segmentide pikkustest.

Ellipsi fookusi läbiv sirge on selle sümmeetriatelg. Teine ellipsi sümmeetriatelg on sirgjoon, mis läbib selle segmendiga risti oleva segmendi keskosa. Punkt O nende joonte ristumiskoht toimib ellipsi sümmeetria keskpunktina või lihtsalt ellipsi keskpunktina.

Abstsissitelg lõikab ellipsi punktides ( a, O) ja (- a, O) ja ordinaattelg on punktides ( b, O) ja (- b, O). Neid nelja punkti nimetatakse ellipsi tippudeks. Lõiku abstsissiteljel ellipsi tippude vahel nimetatakse selle peateljeks ja ordinaatteljel - kõrvalteljeks. Nende segmente ellipsi ülaosast keskkohani nimetatakse pooltaksideks.

Kui a = b, siis saab ellipsi võrrandi vormi. See on raadiuse ringi võrrand a ja ring on ellipsi erijuht. Raadiuse ringist saab ellipsi a kui selle kokku suruda a/b korda piki telge Oy .

Näide 1. Kontrollige, kas üldvõrrandi antud joon , ellips.

Lahendus. Teeme üldvõrrandi teisendusi. Rakendame vaba tähtaja ülekandmist paremale küljele, võrrandi tähtajalist jagamist sama arvu võrra ja murdude vähendamist:

Vastus. Saadud võrrand on ellipsi kanooniline võrrand. Seetõttu on see joon ellips.

Näide 2. Kirjutage ellipsi kanooniline võrrand, kui selle pooltaksid on vastavalt 5 ja 4.

Lahendus. Vaatame ellipsi ja asendaja kanoonilise võrrandi valemit: peamine pooltaks on a= 5, väike pooltaks on b= 4. Saame ellipsi kanoonilise võrrandi:

Punktid ja, peateljel rohelisega märgitud, kus

nimetatakse trikke.

helistas ekstsentrilisus ellips.

Suhtumine b/a iseloomustab ellipsi "lamestamist". Mida väiksem on see suhe, seda rohkem on ellips piki peatelge pikenenud. Kuid ellipsi pikenemise astet väljendatakse sagedamini ekstsentrilisuse kujul, mille valem on ülaltoodud. Erinevate ellipside puhul varieerub ekstsentrilisus vahemikus 0 kuni 1, jäädes alati alla ühe.

Näide 3. Kirjutage ellipsi kanooniline võrrand, kui fookuste vaheline kaugus on 8 ja peatelg 10.

Lahendus. Teeme lihtsaid järeldusi:

Kui peatelg on 10, siis selle pool, see tähendab pooltelg a = 5 ,

Kui fookuste vaheline kaugus on 8, siis number c fookuskoordinaadid on 4.

Asendage ja arvutage:

Tulemuseks on ellipsi kanooniline võrrand:

Näide 4. Kirjutage ellipsi kanooniline võrrand, kui selle peatelg on 26 ja ekstsentrilisus.

Lahendus. Nii põhitelje suurusest kui ka ekstsentrilisusvõrrandist nähtub, et ellipsi peamine poolpool a= 13. Ekstsentrilisuse võrrandist väljendame arvu c nõutav väiksema pooltelje pikkuse arvutamiseks:

.

Arvutame alapooliku pikkuse ruudu:

Koostame ellipsi kanoonilise võrrandi:

Näide 5. Määrake kanoonilise võrrandiga antud ellipsi fookused.

Lahendus. Leidke number c määrata ellipsi fookuste esimesed koordinaadid:

.

Saame ellipsi fookused:

Näide 6. Ellipsi fookused asuvad teljel Härg päritolu suhtes sümmeetriline. Kirjutage ellipsi kanooniline võrrand, kui:

1) fookuste vaheline kaugus on 30 ja peatelg on 34

2) kõrvaltelg on 24 ja üks fookustest asub punktis (-5; 0)

3) ekstsentrilisus ja üks fookustest on punktis (6; 0)

Jätkame koos ellipsiga seotud probleemide lahendamist

Kui see on ellipsi suvaline punkt (joonisel on see näidatud ellipsi paremas ülanurgas roheliselt) ja on kaugus fookustest kuni selle punktini, siis on kauguste valemid järgmised:

Iga ellipsile kuuluva punkti puhul on fookustest kauguste summa konstantne väärtus, mis on võrdne 2 a.

Võrranditega määratletud sirgjooned

nimetatakse lavastajad ellips (joonisel - servades punased jooned).

Kahest ülaltoodud võrrandist järeldub, et ellipsi mis tahes punkti puhul

,

kus ja on selle punkti kaugused otsejoonest ja.

Näide 7. Antakse ellips. Tehke selle juhtidele võrrand.

Lahendus. Vaatame directrixi võrrandit ja leiame, et see on vajalik ellipsi ekstsentrilisuse leidmiseks, s.t. Kõik andmed selle kohta on olemas. Me arvutame:

.

Saame võrrandi ellipsi otsejoonele:

Näide 8. Kirjutage ellipsi kanooniline võrrand, kui selle fookused on punktid ja otsejooned on sirged.

11.1. Põhimõisted

Mõelge teise astme võrranditega määratud jooni praeguste koordinaatide suhtes

Võrrandi koefitsiendid on reaalarvud, kuid vähemalt üks arvudest A, B või C on null. Selliseid jooni nimetatakse teise järgu joonteks (kõverateks). Allpool selgub, et võrrand (11.1) määratleb tasapinna ringi, ellipsi, hüperbooli või parabooli. Enne selle väite juurde asumist uurime loetletud kõverate omadusi.

11.2. Ring

Lihtsaim teise järgu kõver on ring. Tuletame meelde, et raadiusega R ring, mille keskpunkt on punkt, on tasapinna kõigi punktide Μ kogum, mis vastavad tingimusele. Olgu ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis punktil koordinaadid x 0, y 0 ja - ringi suvaline punkt (vt joonis 48).

Seejärel saame tingimusest võrrandi

(11.2)

Võrrand (11.2) rahuldatakse antud ringi mis tahes punkti koordinaatidega ja mis tahes punkti, mis ei asu ringil, koordinaadid ei vasta.

Võrrandit (11.2) nimetatakse ringi kanooniline võrrand

Eelkõige seadistades ja saame võrrandi ringjoonele, mille keskpunkt on lähtepunkt .

Ringi (11.2) võrrand pärast lihtsaid teisendusi saab vormi. Kui võrrelda seda võrrandit teise astme kõvera üldvõrrandiga (11.1), on lihtne näha, et ringi võrrandi puhul on täidetud kaks tingimust:

1) koefitsiendid x 2 ja y 2 on üksteisega võrdsed;

2) puudub termin, mis sisaldab praeguste koordinaatide korrutist xy.

Mõelge pöördprobleemile. Pannes väärtused ja võrrandisse (11.1), saame

Muutame selle võrrandi:

(11.4)

Siit järeldub, et võrrand (11.3) määratleb ringi tingimusel ... Selle keskpunkt on punktis ja raadius

.

Kui , siis võrrandil (11.3) on vorm

.

See on rahul ühe punkti koordinaatidega ... Sel juhul ütlevad nad: “ring on taandunud punktiks” (raadius on null).

Kui , siis võrrand (11.4) ja seega ka ekvivalentvõrrand (11.3) ei määratle ühtegi joont, kuna võrrandi (11.4) parem pool on negatiivne ja vasak pole negatiivne (ütleme: „kujuteldav ring“).

11.3. Ellips

Kanooniline ellipsivõrrand

Ellips nimetatakse tasapinna kõigi punktide kogumiks, mille kauguste summa kummagi selle tasapinna kahe antud punkti vahel on nn. trikke , on konstantne väärtus, mis on suurem kui fookuste vaheline kaugus.

Tähiseid tähistame tähega F 1 ja F 2, nende vaheline kaugus 2 c, ja kauguste summa ellipsi suvalisest punktist fookusteni - pärast 2 a(vt joonis 49). Definitsiooni järgi 2 a > 2c, st. a > c.

Ellipsi võrrandi tuletamiseks valime koordinaatsüsteemi nii, et fookused F 1 ja F 2 asetses teljel ja lähtepunkt langes kokku segmendi keskpunktiga F 1 F 2... Siis on fookustel järgmised koordinaadid: ja.

Laskma olla suvaline punkt ellipsil. Siis vastavalt ellipsi definitsioonile, s.t.

Sisuliselt on see ellipsi võrrand.

Teisendame võrrandi (11.5) lihtsamaks vormiks järgmiselt:

Sest a>koos, siis. Me panime

(11.6)

Seejärel saab viimane võrrand vormi või

(11.7)

Võib tõestada, et võrrand (11.7) on samaväärne algse võrrandiga. Seda nimetatakse kanooniline ellipsivõrrand .

Ellips on teise astme kõver.

Ellipsi kuju uurimine selle võrrandi abil

Määratleme ellipsi kuju selle kanoonilise võrrandi abil.

1. Võrrand (11.7) sisaldab x ja y ainult paarisarvu korral, seega kui punkt kuulub ellipsile, siis kuuluvad sellele ka punktid ,,. Sellest järeldub, et ellips on telgede suhtes sümmeetriline ja samuti punkti kohta, mida nimetatakse ellipsi keskpunktiks.

2. Leia ellipsi ja koordinaattelgede lõikepunktid. Pannes leiame kaks punkti ja, mille telg lõikab ellipsi (vt joonis 50). Sisestades võrrandi (11.7), leiame ellipsi teljega lõikumispunktid: ja. Punktid A 1 , A 2 , B 1, B 2 nimetatakse ellipsi tipud... Segmendid A 1 A 2 ja B 1 B 2, samuti nende pikkused 2 a ja 2 b nimetatakse vastavalt suured ja väikesed teljed ellips. Numbrid a ja b nimetatakse vastavalt suurteks ja väikesteks poolkirved ellips.

3. Võrrandist (11.7) järeldub, et iga vasakpoolne termin ei ületa ühtsust, s.t. ebavõrdsus ja või ja toimuvad. Seetõttu on kõik ellipsi punktid sirgjoontega moodustatud ristküliku sees.

4. Võrrandis (11.7) on negatiivsete terminite summa võrdne ühega. Järelikult ühe tähtaja suurenemisega teine ​​väheneb, st kui suureneb, siis väheneb ja vastupidi.

Sellest, mis on öeldud, järeldub, et ellipsil on joonisel fig. 50 (ovaalne suletud kõver).

Lisateave ellipsi kohta

Ellipsi kuju sõltub suhtest. Kui ellips muutub ringiks, saab ellipsi võrrand (11.7). Suhet kasutatakse sageli ellipsi kuju tunnuseks. Poole kauguse suhet fookuste ja ellipsi poolpealse telje vahel nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks ja o6o tähistatakse tähega ε ("epsilon"):

ja 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Siit on näha, et mida väiksem on ellipsi ekstsentrilisus, seda vähem on lamestatud ellips; kui paneme ε = 0, siis muutub ellips ringiks.

Olgu M (x; y) fookuste F 1 ja F 2 ellipsi suvaline punkt (vt joonis 51). Lõikude pikkusi F 1 M = r 1 ja F 2 M = r 2 nimetatakse punkti Μ fookuskaugusraadiusteks. Ilmselgelt,

Kehtivad järgmised valemid

Sirgeid jooni nimetatakse

Teoreem 11.1. Kui on kaugus ellipsi suvalisest punktist mõne fookuseni, d on kaugus samast punktist sellele fookusele vastava otsejoonega, siis on suhe konstantne väärtus, mis võrdub ellipsi ekstsentrilisusega:

Võrdsus (11,6) tähendab seda. Kui, siis võrrand (11.7) määratleb ellipsi, mille peatelg asub Oy teljel ja kõrvaltelg Oxi teljel (vt joonis 52). Sellise ellipsi fookused on punktides ja kus .

11.4. Hüperbool

Kanooniline hüperbooli võrrand

Hüperbool nimetatakse tasapinna kõigi punktide kogumiks, mille erinevuste moodul on kummagi vahemaa kaugus selle tasapinna kahest antud punktist, nn. trikke , on konstantne väärtus väiksem kui fookuste vaheline kaugus.

Tähiseid tähistame tähega F 1 ja F 2 nende vaheline kaugus läbi 2c, ja hüperbooli igast punktist kuni fookusteni jõudvate vahemaade erinevuse moodul 2a... A-prioriteet 2a < 2c, st. a < c.

Hüperbooli võrrandi tuletamiseks valime koordinaatsüsteemi nii, et fookused F 1 ja F 2 asetses teljel ja lähtepunkt langes kokku segmendi keskpunktiga F 1 F 2(vt joonis 53). Siis on fookustel koordinaadid ja

Laskma olla suvaline punkt hüperbool. Siis vastavalt hüperbooli määratlusele või, see tähendab .. Pärast lihtsustusi, nagu seda tehti ellipsi võrrandi tuletamisel, saame kanooniline hüperbooli võrrand

(11.9)

(11.10)

Hüperbool on teise järgu rida.

Hüperbooli kuju uurimine selle võrrandi abil

Määratleme hüperbooli vormi selle kakoonilise võrrandi abil.

1. Võrrand (11.9) sisaldab x ja y ainult paarisarvudes. Järelikult on hüperbool sümmeetriline telgede ja samuti punkti kohta hüperbooli keskus.

2. Leia hüperbooli ja koordinaattelgede lõikepunktid. Kui sisestada võrrand (11.9), leiame kaks hüperbooli teljega ristumiskohta: ja. Sisestades (11,9), saame selle, mida ei saa olla. Järelikult ei lõika hüperbool Oy telge.

Punkte ja nimetatakse tipud hüperbool ja segment

tegelik telg , jaotis - tõeline poolaks hüperbool.

Punkte ühendavat segmenti nimetatakse kujuteldav telg , number b - kujuteldav semiaksis ... Külgedega ristkülik 2a ja 2b helistas hüperbooli peamine ristkülik .

3. Võrrandist (11.9) järeldub, et vähendatav väärtus ei ole väiksem kui üks, see tähendab see või. See tähendab, et hüperbooli punktid asuvad sirgjoonest paremal (hüperbooli parem haru) ja sirgest vasakul (hüperbooli vasak haru).

4. Hüperbooli võrrandist (11.9) on näha, et kui see suureneb, siis see ka suureneb. See tuleneb asjaolust, et erinevus jääb konstantseks, võrdseks ühega.

Öeldust järeldub, et hüperboolil on kuju, mis on näidatud joonisel 54 (kõver, mis koosneb kahest piiramata harust).

Hüperbooli asümptoodid

Joont L nimetatakse asümptotiks piiramatu kõver K, kui kaugus d kõvera K punktist M selle sirgjooneni kaldub punkti M piiramatul kaugusel piki kõverat K lähtepunktist nulli. Joonis 55 illustreerib asümptoti mõistet: joon L on kõvera K asümptoot.

Näitame, et hüperboolil on kaks asümptoti:

(11.11)

Kuna sirgjooned (11.11) ja hüperbool (11.9) on koordinaattelgede suhtes sümmeetrilised, piisab, kui arvestada ainult nende näidatud joonte punktidega, mis asuvad esimeses kvartalis.

Võtke sirgjooneliselt punkt N, millel on sama abstsiss x kui hüperbooli punktil (vt joonis 56) ja leidke erinevus ΜΝ joone ordinaatide ja hüperbooli haru vahel:

Nagu näete, suureneb x suurenedes murdosa nimetaja; lugeja on konstant. Seetõttu segmendi pikkus ΜΝ kipub nulli. Kuna ΜΝ on suurem kui kaugus d punktist Μ sirgjooneni, siis d kipub veelgi enam nulli. Niisiis, sirgjooned on hüperbooli asümptoodid (11.9).

Hüperbooli (11.9) konstrueerimisel on soovitav esmalt konstrueerida hüperbooli põhiline ristkülik (vt joonis 57), joonistada selle ristküliku vastastikku läbivad sirged jooned, hüperbooli asümptoodid ning märkida tipud ja , hüperboolid.

Võrdkülgne hüperbooli võrrand.

mille asümptootideks on koordinaatteljed

Hüperbooli (11.9) nimetatakse võrdkülgseks, kui selle pooltaksid on võrdsed (). Tema kanooniline võrrand

(11.12)

Võrdkülgse hüperbooli asümptootidel on võrrandid ja seetõttu on need koordinaatnurkade poolitajad.

Mõelge selle hüperbooli võrrandile uues koordinaatsüsteemis (vt joonis 58), mis on saadud vanast, pöörates koordinaattelgi nurga all. Koordinaattelgede pööramiseks kasutame valemeid:

Asendage x ja y väärtused võrrandiga (11.12):

Võrdse võrdkülgse hüperbooli võrrand, mille teljed Ox ja Oy on asümptoodid, saab vormi.

Lisateave hüperbooli kohta

Ekstsentrilisus hüperbooli (11.9) nimetatakse fookuste vahelise kauguse ja hüperbooli reaaltelje suuruse suhteks, mida tähistatakse tähega ε:

Kuna hüperbooli puhul on hüperbooli ekstsentrilisus suurem kui üks :. Ekstsentrilisus iseloomustab hüperbooli kuju. Tõepoolest, võrdsus (11.10) tähendab, et ja .

Seega on selge, et mida väiksem on hüperbooli ekstsentrilisus, seda madalam on selle pooltekstesuhe ja seega ka pikem selle põhiline ristkülik.

Võrdkülgse hüperbooli ekstsentrilisus on. Tõesti,

Fookuskaugused ja parema haru punktide puhul on hüperboolidel vorm ja vasakpoolse haru puhul ja .

Sirgeid jooni nimetatakse hüperbooli otsejoonisteks. Kuna hüperbooli puhul ε> 1, siis. See tähendab, et parempoolne otsejoon asub hüperbooli keskpunkti ja parema tipu vahel, vasakpoolne asub keskpunkti ja vasaku tipu vahel.

Hüperbooli otsestriksidel on sama omadus kui ellipsiga.

Võrrandiga määratletud kõver on samuti hüperbool, mille tegelik telg 2b asub Oy teljel ja kujuteldav telg 2 a- härja teljel. Joonisel 59 on see näidatud punktiirjoonega.

On ilmne, et hüperboolid ja neil on ühised asümptoodid. Selliseid hüperboole nimetatakse konjugaatideks.

11.5. Parabool

Kanooniline parabooli võrrand

Parabool on tasapinna kõigi punktide kogum, millest igaüks on antud punktist võrdselt kaugel, mida nimetatakse fookuseks, ja antud sirgjoon, mida nimetatakse otsejooneks. Kaugust fookusest F otsejooneni nimetatakse parabooli parameetriks ja tähistatakse p (p> 0).

Paraboolivõrrandi tuletamiseks valime Oxy koordinaatsüsteemi nii, et Ox -telg läbib fookust F, mis on sirgjoonega risti, otsejoonest F -ni ning koordinaatide O lähtepunkt asub fookuse ja Directrix (vt joonis 60). Valitud süsteemis on fookusel F koordinaadid ja otsejoone võrrandil on vorm või.

1. Võrrandis (11.13) sisaldub muutuja y ühtlases astmes, mis tähendab, et parabool on sümmeetriline Ox -telje suhtes; härgtelg on parabooli sümmeetriatelg.

2. Kuna ρ> 0, järeldub (11.13), et. Järelikult asub parabool Oy teljest paremal.

3. Meil ​​on y = 0. Järelikult läbib parabool lähtepunkti.

4. Piiramatu x -i suurenemisega suureneb piiramatult ka moodul у. Paraboolil on kuju (kuju), mis on näidatud joonisel 61. Punkti O (0; 0) nimetatakse parabooli tipuks, lõiku FM = r nimetatakse punkti M fookuskauguseks.

Võrrandid ,, ( p> 0) määratlevad ka paraboolid, need on näidatud joonisel 62

Lihtne on näidata, et kolmnurkse ruudu graafik, kus B ja C on mis tahes reaalarv, on ülaltoodud määratluse tähenduses parabool.

11.6. Teise järgu ridade üldvõrrand

Teise järgu kõverate võrrandid sümmeetriatelgedega paralleelselt koordinaattelgedega

Leiame kõigepealt võrrandi ellipsist, mille keskpunkt on punkt, mille sümmeetriateljed on paralleelsed koordinaattelgedega Ox ja Oy ning pooltaksid on võrdsed a ja b... Asetame ellipsi O 1 keskele uue koordinaatsüsteemi, mille teljed ja pooltaksid, päritolu a ja b(vt joonis 64):

Lõpuks on joonisel 65 näidatud paraboolidel vastavad võrrandid.

Võrrand

Ellipsi, hüperbooli, parabooli ja võrrandi võrrandid pärast teisendusi (avage sulgud, liigutage kõik võrrandi tingimused ühes suunas, tooge sarnased terminid, tutvustage koefitsientide uusi tähiseid) vormi võrrand

kus koefitsiendid A ja C ei ole samal ajal võrdsed nulliga.

Tekib küsimus: kas mõni vormi (11.14) võrrand määrab teise astme ühe kõvera (ring, ellips, hüperbool, parabool)? Vastuse annab järgmine teoreem.

Teoreem 11.2... Võrrand (11.14) määratleb alati: kas ringi (A = C jaoks) või ellipsi (kui A C> 0) või hüperbooli (A C puhul)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Üldine teise astme võrrand

Mõelge nüüd teise astme üldisele võrrandile kahe tundmatuga:

See erineb võrrandist (11.14) selle poolest, et esineb koordinaatide (B1 0) korrutisega termin. Koordinaattelgi nurga a kaudu pöörates on võimalik seda võrrandit teisendada nii, et selles pole koordinaatide korrutisega terminit.

Telgede pöörlemisvalemite kasutamine

väljendame vanu koordinaate uutega:

Valime nurga a nii, et koefitsient x "· y" kaoks, st et võrdsus

Seega, kui telgi pööratakse läbi nurga a, mis vastab tingimusele (11.17), vähendatakse võrrandit (11.15) võrrandiks (11.14).

Väljund: üldine teise järgu võrrand (11.15) määratleb tasapinnal järgmised kõverad (välja arvatud degeneratsiooni ja lagunemise juhtumid): ring, ellips, hüperbool, parabool.

Märkus: kui A = C, kaotab võrrand (11.17) oma tähenduse. Sel juhul cos2α = 0 (vt (11.16)), siis 2α = 90 °, st α = 45 °. Niisiis, kui A = C, tuleks koordinaatsüsteemi pöörata 45 °.

Ärakiri

1. peatükk. TEINE TELLIMISRIDA LENNUKIL. Ellips, hüperbool, parabool. Ellips on tasapinna kõigi punktide kogum, mille puhul kahe antud punkti F 1 ja F kauguste summa on konstantne väärtus, mis ületab F 1 ja. M (, x) F 1 О F x joonis. Punkte F 1 ja F nimetatakse ellipsi fookuspunktideks ja nende vaheline kaugus FF 1 on fookuskaugus, mida tähistatakse c -ga. Punkt M kuulugu ellipsile. Segmente F1 M ja F M nimetatakse punkti M. fookuskaugusteks. Olgu F1F = c. Definitsiooni järgi a> c. Vaatleme ristkülikukujulist Descartes'i koordinaatsüsteemi Ox, milles fookused F 1 ja F asuvad abstsissiteljel sümmeetriliselt algpunkti suhtes. Selles koordinaatsüsteemis kirjeldab ellipsi kanooniline võrrand: x + = 1, a b 1

2. kus b = a c Parameetreid a ja b nimetatakse vastavalt ellipsi suuremaks ja väiksemaks pooltaksiks. Ellipsi ekstsentrilisus on arv ε, mis võrdub poole selle fookuskauguse c ja poolmajutelje suhtega, s.t. ε =. Ellipsi a ekstsentrilisus rahuldab ebavõrdsused 0 ε< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. Нормальное уравнение окружности имеет вид (x c) + (d) = R. Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F 1 и F есть величина постоянная, равная a. Точки F 1 и F называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними фокальным расстоянием, которое обозначается c. Отрезки F1 M и F M называются фокальными радиусами точки M (x,) гиперболы. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Ox, в которой фокусы F 1 и F расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. M (x,) F 1 F x Рис. 3

3 Kanoonilise hüperbooli võrrandi vorm on x a = b 1,. kus b = c a Numbreid a ja b nimetatakse vastavalt hüperbooli tegelikuks ja kujuteldavaks poolaksiks. Ebavõrdsusega määratletud piirkonnas ei ole hüperbooli. x a b Määratlus. Hüperbooli asümptoodid on sirged, b b antud võrranditega = x, = x. a a Hüperbooli punkti M (x,) fookuskaugused leitakse valemitega r 1 = ε x a, r = ε x + a. Hüperbooli ekstsentrilisus, nagu ka ellips, määratakse valemiga ε =. Lihtne on kontrollida, kas ebavõrdsus ε a> 1 vastab hüperbooli ekstsentrilisusele. Määratlus. Parabool on tasapinna kõigi punktide kogum, mille puhul kaugus antud punktini F on võrdne kaugusega antud sirgest d, mis ei läbi punkti F. Punkti F nimetatakse parabooli fookuseks ja sirget d nimetatakse otsejooneks. Kaugust fookusest otsejooneni nimetatakse parabooli parameetriks ja tähistatakse p -ga. d M (x,) F x joonis. 4 3

4 Valige segmendi FD keskel oleva Descartes'i koordinaatsüsteemi lähtepunkt O, mis on punktist F sirgele d langenud risti. Selles koordinaatsüsteemis on fookusel F koordinaadid F p p; 0 ja otsejoone d annab võrrand x + = 0. Parabooli kanooniline võrrand on: = px. Parabool on sümmeetriline OF telje suhtes, mida nimetatakse parabooliteljeks. Selle telje ja parabooli ristumiskoha punkti O nimetatakse parabooli tipuks. Punkti fookuskaugus M (x,) st. selle p kaugus fookusest leitakse valemiga r = x +. 10B .. Teise järgu sirge üldvõrrand Teise järgu sirgeks nimetatakse tasapinna punktide kogumit, mille koordinaadid x ja mis vastavad võrrandile ax + ax + a + ax + a + a = 0, 11 1 kus a11 , a1, a, a10, a0, a00 mõned reaalarvud ja a, a, a ei ole samal ajal võrdsed nulliga. Seda võrrandit nimetatakse teise astme kõvera üldvõrrandiks ja seda saab kirjutada ka vektorkujul rr rr (Ax, x) + (b, x) + a = 0, kus 00 a11 a1 rr A =, a1 ab = (a10; a0), x = (x;). T Kuna A = A, siis A on ruutvormi maatriks r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x + a Ellips, hüperbool ja parabool on tasapinna teise järgu kõverate näited. Lisaks nendele kõveratele on ka teist tüüpi teise astme kõveraid, mis on seotud x -joonega. Näiteks võrrand = 0, kus a 0, b 0, a b 4

Joonis 5 määratleb tasapinnal lõikuvate joonte paari. Koordinaatsüsteeme, milles kõvera võrrand võtab kõige lihtsama vormi, nimetatakse kanoonilisteks. Kasutades teisenduste koostist: telgede pöörlemine läbi nurga α, lähtepunkti paralleelne teisendamine punkti (x0; 0) ja peegeldus abstsissitelje ümber, vähendatakse teise järgu kõvera võrrandit üheks kanooniliseks võrrandid, millest peamised olid eespool loetletud. 11BNäited 1. Tehke elontsi kanooniline võrrand, mille keskpunkt on lähtepunktis ja fookused asuvad abstsissiteljel, kui on teada, et selle ekstsentrilisus ε = ja punkt N (3;) asub kolmandal ellipsil. x a b Ellipsi võrrand: + = 1. Meil ​​on see =. a b a 3 9 Sellest arvutame, et a = b. Asendades võrrandisse punkti N (3;) koordinaadid, saame + = 1 ja seejärel b = 9 ning a b 81 a = = 16,. Järelikult on ellipsi kanooniline võrrand 5 x + = 1. 16, 9. Kirjutage hüperbooli kanooniline võrrand, mille keskpunkt on lähtepunktis ja kolded, mis asuvad abstsisil, kui punkti M 1 (5; 3) on antud hüperbool ja ekstsentrilisus ε =. x Hüperbooli kanooniline võrrand = 1. Võrdsusest a b a + b = meil on b = a 5 9. Seega = 1 ja a = 16. Seetõttu on ellipsi kanooniline võrrand = a a a x 16 5

6 3. Leidke paraboolil olevad punktid = 10x, mille fookusraadius on 1,5. Pange tähele, et parabool asub parempoolsel tasapinnal. Kui M (x; asub paraboolil, siis x 0. Parameeter p = 5. Olgu (;)) M x nõutav punkt, F fookus, () parabooli otsejoon. Siis F, 5; 0, d: x =, 5. Kuna FM = ρ (M, d), siis x +, 5 = 1,5, 10 Vastus: () 1 10; 10 x =, = 100, = ± 10. Niisiis, saime kaks punkti. M10; 10 M, () 4. Leidke võrrandiga x = 1 antud hüperbooli parempoolsest harust punkt, mille kaugus paremast fookusest on 16 9 kaks korda väiksem kui kaugus vasakust fookusest. Hüperbooli parema haru puhul määratakse fookuskaugused valemitega r 1 = ε x a ja r = ε x + a. Seetõttu saame võrrandi ε x + a = (ε x a). Antud hüperbooli korral a = 4, 5, c = 5 ja ε =. Seega x = 9,6. Seega on meil = ± x 16 = ± d Vastus: kaks punkti M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Leidke sirge võrrand, mille mis tahes punkti kauguse suhe punkt F (3; 0) sirgjooneni 1 x 8 = 0 on ε =. Määrake rea nimi ja selle parameetrid. M x; soovitud sirgele, on võrdsus tõene: suvalise punkti puhul () FM (x 3) + 1 = =. ρ (Ml,) x 8 6

7 Seega on meil [(x 3) +] = (x 8). Sulgusid laiendades ja termineid ümber korraldades saame (x +) + = 50, s.t. (x +) + = Vastus: vajalik sirge on ellips, mille keskpunkt on punktis ja pooltaksed a = 5 ja b = Leia hüperbooli võrrand Koordinaatide vanad koordinaadid O () x; 0; ;,;. C (; 0) = 8 uues süsteemis (x;) ja uued (zt;) on seotud maatriksi võrdsusega 1 1 x z 1 z + t = 1 1 t = z t. Seega võrrand x = 8 z + t z t = 8, zt = 4. Vastus: zt = 4. γ: 4x 4x + 8x + 4+ 3 = 0 kuni kano- 7. Too kõver uuele kujule. uutes koordinaatides on vorm Mõtle ruutkuju () q x, = 4x 4x +. Vormi q maatriksil on omaväärtused 5 ja 0 ning vastavad ortonormaalsed vektorid ja lähme uuele koordinaatsüsteemile: 7

8 z 1 1 x. t = 5 1 Väljendame vanad koordinaadid (x;) uutega (zt); : 1 1 z + tx 1 z = 1 t =, 1 zt tähendab, x = z + t, = z + t Asendades need avaldised kõvera γ võrrandisse, saame tulemuseks 0 = 4x 4x + 8x = x = z + 1 t, = 1 z + t () () () () = 5z 4 5z + 3 = z 5 4 z 5 + 3 = z 5 1 z 5 3. Seega on uutes koordinaatides esitatud kõver γ võrrandiga 1 3 γ: zz =. Seadistus = z, x = t, saame γ: =, 1, kust leiame kanoonilistes koordinaatides kõvera γ: = 0 kanoonilise võrrandi = 5 x 1 1 x Pange tähele, et kõver γ on paralleelsete joonte paar. 1B Lisad majandus- ja finantsprobleemidele 8. Las Anyal, Borissil ja Dmitril on puuviljade ostmiseks kummalgi 150 rubla. On teada, et 1 kg pirne maksab 15 rahaühikut ja 1 kg õunu maksab 10 rahaühikut. Pealegi, kõik kolm 8

9 -l on oma utiliidi funktsioon, mida ta soovib ostmisel maksimeerida. Ostetakse x1 kg pirne ja x kg õunu. Need utiliidi funktsioonid on järgmised: u = x + x Ani jaoks, 1 A 1 x u B = + x Borisi jaoks ja ud = x1 x Dmitri jaoks. Ani, Borisi ja Dmitri jaoks on vaja leida ostuplaan (x1, x), milles need tagavad maksimaalse kasulikkuse. x Joon. 5 Vaadeldavat probleemi saab lahendada geomeetriliselt. Selle probleemi lahendamiseks tuleks kasutusele võtta tasemejoone mõiste. x x 1 joonis 6 Funktsiooni nivoojoon z = f (x,) on tasapinna kõigi punktide kogum, millel funktsioon säilitab konstantse väärtuse h. x 9

10 Sel juhul kasutatakse lahenduses ka tasapinna geomeetriliste domeenide algmõisteid, mis on määratud lineaarse ebavõrdsusega (vt alajaotis 1.4). x x 1 joonis 7 Funktsioonide ua, u B ja u D tasandijooned tähistavad vastavalt Ani, Borisi ja Dmitri sirgeid, ellipse ja hüperboole. Ülesande tähenduses eeldame, et x1 0, x 0. Teisest küljest on eelarvepiirang kirjutatud ebavõrdsusena 15x1 + 10x 150. Viimase ebavõrdsuse jagamisel 10 -ga saame 3x1 + x 30 või + 1. On lihtne näha, et x1 x on selle ebavõrdsuse lahenduste domeen koos mittenegatiivsustingimustega kolmnurk, mida piiravad jooned x1 = 0, x = 0 ja 3x1 + x =

11 X * X * Joonis. 8 Joon. 9 Geomeetriliste mustrite põhjal on nüüd lihtne kindlaks teha, et uamax = ua (0,15) = 15, ubmax = ub (0,15) = 5 ja udmax = ud (Q). Eelarvekolmnurga külje taseme hüperbooli puudutamise punkti Q koordinaadid tuleb juba analüütiliselt arvutada. Selleks pange tähele, et punkt Q vastab kolmele võrrandile: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x "= =. X1 X * Joonis

12 Võrranditest h kõrvaldades saame punkti Q = (x, x) = (5; 7,5) koordinaadid. 1 Vastus: Q = (x1, x) = (5; 7,5). 9. Firma kulude ja kasumi mittelineaarne mudel. Las ettevõte toodab kahte tüüpi mitmeotstarbelisi seadmeid, A ja B, vastavalt x ja tootmisühikuid. Sel juhul väljendatakse ettevõtte aasta tulusid tulufunktsiooniga Rx (,) = 4x + ja tootmiskulusid väljendatakse kulufunktsiooniga 1 1 Cx (,) = 7,5+ x + 4, mille ettevõte saab maksimaalne kasum. Määrake tootmisplaan (x,) punktis 3

13 Kasumifunktsioon koostatakse tulufunktsiooni ja kulufunktsiooni vahena: 1 1 Π (x,) = R (x,) C (x,) = 4x + 7,5 x. 4 Pärast teisenduste tegemist taandatakse viimane avaldis vormile 1 1 Π (x,) = 9 (x 8) (1). 4 Kasumi funktsiooni taseme read on (x 8) (1) = h. 4 Iga tasandi joon 0 h 9 on ellips, mille keskpunkt on alguspunkt. Saadud avaldise põhjal on lihtne näha, et kasumifunktsiooni maksimum on 9 ja see saavutatakse x = 8, = 1. Vastus: x = 8, = 1. 13BHarjutused ja testküsimused.1. Kirjutage ringile tavaline võrrand. Leia keskpunkti koordinaadid ja ringi raadius: a) x + + 8x 6 = 0; b) x x = 0 ... Tehke võrrand võrgustikust, mis läbib punkte M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3; 0) .. 3. Määratlege ellips ja kirjutage selle kanooniline võrrand. Kirjutage ellipsi kanooniline võrrand, kui 1 selle ekstsentrilisus on ε = ja poolmaratelg on võrdne Tehke ellipsi võrrand, mille fookused asuvad ordinaatteljel sümmeetriliselt päritolu kohta, teades lisaks , et selle fookuste vaheline kaugus on c = 4 ja ekstsentrilisus ε = määrake ellipsi ekstsentrilisus. Leidke ellipsi ekstsentrilisus, kui selle peatelg on neli korda väiksem kui telg. 33

14 .6. Määratlege hüperbool ja kirjutage selle kanooniline võrrand. Sirge tõmmatakse läbi punkti M (0; 0,5) ja hüperbooli parema tipu, mis on antud võrrandiga = 1. Leidke sirge ja hüperbooli teise lõikepunkti koordinaadid Andke hüperbooli ekstsentrilisuse määratlus. Kirjutage selle kanooniline võrrand, kui a = 1, b = 5. Milline on selle hüperbooli ekstsentrilisus? .8. Kirjutage hüperbooli asümptootide võrrandid, mis on antud selle kanoonilise võrrandiga. Tehke hüperbooli võrrand 3, kui selle asümptootid on antud võrranditega = ± x ja hüperbool 5 läbib punkti M (10; 3 3) .. 9. Määratlege parabool ja kirjutage selle kanooniline võrrand. Kirjutage parabooli kanooniline võrrand, kui abstsissitelg on selle sümmeetriatelg, selle tipp asub parabooli higi teljega risti ja selle akordi kaugus tipust on 8 ja selle akordi kaugus tipust on Paraboolil = 1x leidke punkt, mille fookusraadius on Lause ja nõudluse teatud korrutise järele annavad funktsioonid p = 4q 1, p = +. Leidke turu tasakaalupunkt. 1 q Loo graafikuid ... 1. Andrey, Katya ja Nikolay ostavad apelsine ja banaane. Osta x1 kg apelsine ja x kg banaane. Igal kolmel on oma kasuliku funktsioon, mis näitab, kui kasulikuks ta oma ostu peab. Need utiliidi funktsioonid on järgmised: u = x + x Andrey, 1 4 A 4 1 u K = x + x Katya ja un = x1 x Nikolai. a) Joonestage kasuliku funktsiooni taseme read taseme h = 1, 3 väärtuste jaoks. 3,8), t = (1,1). 34

Analüütilise geomeetria moodul. Analüütiline geomeetria tasapinnal ja ruumis Loeng 7 Abstraktne. Teise astme jooned tasapinnal: ellips, hüperbool, parabool. Mõiste, üldised omadused.

LOENG N15. Teise järgu kõverad. 1. ring ... 1. ellips ... 1 3. hüperbool .... 4. parabool ... 4 1. ring

8 Teise järgu kõverad 81 Ring Ring Tasapinna punktide kogum, mis asub võrdsel kaugusel ühest punktist, mida nimetatakse keskpunktiks, raadiusena nimetatud kaugusele, mida nimetatakse ringiks Lasku ringi keskpunkt

Loeng 13 Teema: Teise järgu kõverad Teise järgu kõverad tasapinnas: ellips, hüperbool, parabool. Teise järgu kõverate võrrandite tuletamine nende geomeetriliste omaduste põhjal. Ellipsi kuju uurimine,

LOENG Hüperbooli teise järgu read Näitena leiame võrrandid, mis määratlevad ringi, parabooli, ellipsi ja ringi.

Teise järku kõverad Ringjoone ellipsi hüperbooliparabool Laske tasapinnal esitada ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem. Teise järgu kõver on punktide kogum, mille koordinaadid vastavad

Sirge ja tasand ruumis Lineaarne algebra (loeng 11) 24.11.2012 2/37 Sirge ja tasand ruumis Kahe punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y) vaheline kaugus 2, 2)

Vene Föderatsiooni haridus- ja teadusministeerium Jaroslavli Riiklik Ülikool P. G. Demidova II järgu algebra ja matemaatiliste loogikakõverate osakond I osa Metoodilised juhised

3. Hüperbool ja selle omadused Definitsioon 3 .. Hüperbool on kõver, mis on määratletud mõnes ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis võrrandiga 0. (3.) ja võrdsust (3.) nimetatakse kanooniliseks võrrandiks

Praktiline õppetund 1 Teema: Hüperbooliplaan 1 Hüperbooli määratlus ja kanooniline võrrand Hüperbooli geomeetrilised omadused Hüperbooli ja selle keskpunkti läbiva sirge vastastikune asukoht

Loengumärkmed 13 ELLIPS, HÜPERBALL JA PARABOLA 0. Loengukava Loeng Ellips, hüperbool ja parabool. 1. Ellips. 1.1. Ellipsi määratlus; 1.2. Kanoonilise koordinaatsüsteemi määramine; 1.3. Võrrandi tuletamine

PARABOL HYPERBALL ELLIPSE MOODUL Praktiline tund Teema: Ellipsiplaan Ellipsi määratlus ja kanooniline võrrand Ellipsi geomeetrilised omadused Etsentrilisus Ellipsi kuju sõltuvus ekstsentrilisusest

TEINE PROBLEEM 1. Sirge joon tasapinnal. 1. Kaks sirget on antud vektorvõrranditega (, rn) = D ja r = r + a ning (an,) 0. Leidke sirgete lõikumispunkti raadiuse vektor. 0 t. Antud raadiusvektoriga punkt М 0

Teise järgu kõverad. Definitsioon: teise astme kõvera joon) on tasapinna punktide kogum (M), mille Descartes'i koordinaadid X, Y) vastavad teise astme algebralisele võrrandile:,

ALGEBRAILISED jooned tasapinnal .. ESIMESE TELLIMUSE JOONED (LINEARID TASAPINNAS ... TASAPI LINEARIDE VÕRDLUSTE PÕHITÜÜBID Antud sirgjoonega risti olevat nullivektorit n nimetatakse normaalseks

Ellips ja selle omadused Definitsioon .. Ellips on teise järgu kõver, mis on määratletud mõnes ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis võrrandiga b, b 0. (.) Võrdsust (.) Nimetatakse kanooniliseks

0,5 setgray0 0,5 setgray1 1 Loeng 9 ELLIPS, HÜPERBALL JA PARABOL 1. Ellipsi kanooniline võrrand Definitsioon 1. Ellips on tasapinna punktide M asukoht, kauguste summa igast

ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA ÕPPETASANDI ELEMENDID KOLMMÕÕTMISES RUUMIS Kirjutage tasapinna vektorvõrrand ja selgitage sellesse võrrandisse lisatud suuruste tähendus Kirjutage tasapinna üldvõrrand

12. õppetund Ellips, hüperbool ja parabool. Kanoonilised võrrandid. Ellips on tasapinna punktide M lookus, mille kauguste summa kahest fikseeritud punktist F 1 ja F 2, nn.

LINEAR ALGEBRA Loeng Teise järku kõverate võrrandid Ringjoone määratlus Ring on punktide lookus, mis paiknevad ühest punktist võrdsel kaugusel, mida nimetatakse ringi keskpunktiks kaugusel r

Uurali föderaalülikool, matemaatika ja arvutiteaduse instituut, algebra ja diskreetse matemaatika osakond Sissejuhatavad märkused See loeng uurib teise järgu kolmandat kõverat, parabooli.

Loeng 9.30 Peatükk Analüütiline geomeetria tasapinnal Koordinaatsüsteemid tasapinnal Ristkülikukujulised ja polaarsed koordinaatsüsteemid Tasapinna koordinaatsüsteem on meetod, mis võimaldab teil määrata

Vene Föderatsiooni haridus- ja teadusministeerium Jaroslavli Riiklik Ülikool P. G. Demidova Algebra ja matemaatilise loogika osakond S. I. Yablokova II järgu kõverad Osa töötuba

TEEMA ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA ELEMENDID LENNUKIL JA RUUMIS Loeng .. Jooned tasapinnal Pl ja n. Koordinaatide meetod tasapinnal .. Sirge Descartes'i koordinaatides .. Paralleelsuse ja risti tingimus

Lineaarne algebra ja analüütiline geomeetria Teema: II järgu kõverad Lektor Rozhkova S.V. 01 15. Teise järgu kõverad Teise järgu kõverad jagunevad 1) degenereerunud ja) degenereerumata degenereerunud

Loeng 11 1. KAPILISED OSAD 1.1. Määratlus. Mõtle parempoolse ümmarguse koonuse lõigule tasapinnaga, mis on risti selle koonuse generaatriga. Aksiaalse tipu tipu nurga α erinevate väärtuste jaoks

Loeng 9 1. KAPILISED OSAD 1.1. Määratlus. Vaatleme parempoolse ümmarguse koonuse lõiku tasapinnaga, mis on risti selle koonuse generaatriga. Aksiaalse tipu tipu nurga α erinevate väärtuste jaoks

Uurali föderaalülikool, matemaatika ja arvutiteaduse instituut, algebra ja diskreetse matemaatika osakond Sissejuhatavad märkused Selles loengus uuritakse teist teise järgu hüperboolikõverat.

Praktiline tund 14 Teema: Parabooliplaan 1. Parabooli definitsioon ja kanooniline võrrand .. Parabooli geomeetrilised omadused. Parabooli ja selle keskpunkti läbiva sirge suhteline asukoht. Peamine

A N A L I T I Ch E C A Z G E O M E T R I Z teise astme kõverad SHIMANCHUK Dmitri Viktorovich [e -post kaitstud] Peterburi Riikliku Ülikooli protsesside rakendusmatemaatika teaduskond

Maatriksid 1 Antud maatriksid ja leid: a) A + B; b) 2B; c) BT; d) AB T; e) B T A Lahendus a) Maatriksite summa määratlemisega b) Maatriksi korrutisega numbri järgi

VALIK 1 1 Leidke punkte M 1 (18) ja M (1) läbiva sirge kalle k; kirjuta sirgjoone võrrand parameetrilisse vormi Loo võrrandid tippudega A () kolmnurga külgedele ja mediaanidele

Test. Antud maatriksid A, B ja D. Leidke AB 9D, kui: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Korrutage maatriksid A 3 ja B 3. tulemuseks on C suurusega 3 3, mis koosneb elementidest

9. peatükk Kõverad tasapinnal. Teise järgu kõverad 9. Põhimõisted Nad ütlevad, et ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy oleval kõveral Γ on võrrand F (,) = 0, kui punkt M (x, y) kuulub selle kõvera hulka

Lineaarne algebra ja analüütiline geomeetria Teema: Teise järgu kõverad Lektor Pakhomova E.G. 01 15. Teise järgu kõverad Teise järgu kõverad jagunevad 1) degenereerunud ja) degenereerumata degenereerunud

Uurali föderaalülikool, matemaatika ja arvutiteaduse instituut, algebra ja diskreetse matemaatika osakond Sissejuhatavad märkused Kolmes eelmises loengus uuriti jooni ja tasandeid, s.t.

Peatükk 1 Teise järgu kõverad ja pinnad Kõigis lõikudes, välja arvatud 1.9, on koordinaatsüsteem ristkülikukujuline. 1.1. Teise järgu kõverate ja muude kõverate võrrandite koostamine 1.p) Tõesta, et hulk

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Moskva Riiklik Tehnikaülikool, mis on nimetatud N.E. Baumani põhiteaduskond Matemaatilise modelleerimise osakond À.Í. Santnikov,

PEATÜKK 5. Analüütiline geomeetria

Balakovo tehnika- ja tehnoloogiainstituut - föderaalse osariigi autonoomse kõrgkooli haridusasutuse "Riiklik tuumaülikool" MEPhI "filiaal

Teise järgu read Yu. L. Kalinovskiy Kõrgema matemaatika osakond "Dubna" plaan 2 3 4 5 6 7 Teise järgu read: punktide lookus, mille Descartes'i koordinaadid vastavad võrrandile

44. Hüperbooli määratlus. Hüperbool on tasapinna kõigi punktide kogum, mille koordinaadid sobivas koordinaatsüsteemis vastavad võrrandile 2 2 y2 = 1, (1) b2 kus, b> 0. See võrrand

Lineaarne algebra ja analüütiline geomeetria Teema: Teise järgu kõverad (jätk) Lektor Pakhomova E.G. 01 г. 4. Ellipsi, hüperbooli ja parabooli üldmõiste DEFINITSIOON. Jooni a m nimetatakse suuna-

1 Loeng 1.4. Teise järgu kõverad ja pinnad Kokkuvõte: Kõverate kanoonilised võrrandid on tuletatud määratlustest: ellips, hüperbool ja parabool. Esitatud on ellipsi ja hüperbooli parameetrilised võrrandid.

Vene Föderatsiooni haridus- ja teadusministeerium Föderaalne riigieelarveline kõrgharidusasutus "Siberi Riiklik Tööstusülikool"

Praktiline töö Teise järjekorra sirgjoonte ja kõverate võrrandite koostamine Töö eesmärk: kindlustada teise järjekorra sirgjoonte ja kõverate võrrandite koostamise oskus Töö sisu. Põhimõisted. B C 0 vektor

Ülesanded vahelejäänud tundide harjutamiseks Sisukord Teema: Maatriksid, tegevused nendega. Determinantide arvutamine .... 2 Teema: Pöördmaatriks. Võrrandisüsteemide lahendamine pöördmaatriksi abil. Valemid

Analüütiline geomeetria 5 .. Sirge tasapinnal Joonise määramine tasapinnal. Tasapinna sirgjoone üldvõrrand. Sirgjoone asukoht koordinaatsüsteemi suhtes. Geomeetriline tähendus

VARIANT 11 1 Punkt M () on punktist N (1-1) sirgele l langenud risti alus Kirjutage sirge l võrrand; leida kaugus punktist N sirgjooneni l Kirjutage sirgete võrrandid

49. Silindrilised ja koonilised pinnad 1. Silindrilised pinnad Definitsioon. Olgu ruumis antud sirge l ja nullivektor a. Pind, mille moodustavad sirged jooned, mis läbivad kõik võimalikud

Analüütiline geomeetria Analüütiline geomeetria tasapinnal. Analüütiline geomeetria lahendab geomeetrilisi ülesandeid, kasutades algebrat, mille jaoks kasutatakse koordinaatide meetodit. Lennuki koordinaatsüsteemi all

Valik 1 Ülesanne 1. Andke ellipsile geomeetriline määratlus. Ülesanne 2. Tõesta Dandelini kuulide abil, et koonilise lõiguna tekib ellips. Ülesanne 3. Tõestage, et punktide kogum P millest

Sekaeva L.R., Tyuleneva O.N. ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA TASANDIL Kaasan 008 0 Kaasani Riiklik Ülikool Üldmatemaatika osakond LR Sekaeva, ON Tyuleneva ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA LENNUKIL

Vene Föderatsiooni haridus- ja teadusministeerium Kaasani Riiklik Arhitektuuri- ja Ehitusülikool Kõrgema matemaatika osakond Vektori ja lineaarse algebra elemendid. Analüütiline geomeetria.

Analüütiline geomeetria tasapinnal Joonvõrrand on analüütilise geomeetria kõige olulisem mõiste. y М (x, y) 0 x Definitsioon. Joone (kõvera) võrrand Oksitasandil on võrrand, millele

Lennukite põhiprobleemide näidised Gaussi meetod Määratletud lineaarvõrrandisüsteemid Lahendage lineaarsete võrrandite süsteem Gaussi meetodi abil x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Lahendage lineaarvõrrandite süsteem Gaussi meetodil 6

VARIANT 16 1 Sirgjoon tõmmatakse läbi punktide M 1 (3 4) ja M (6) Leia selle sirge lõikepunktid koordinaattelgedega Moodustage kolmnurga külgede võrrandid, mille jaoks punktid A ( 1) B (3 1) C (0 4) on

Katsetöö 3 VARIANT 1 Tehke sirgjoone võrrand sirgjoonelise lõikepunktiga risti ja läbib seda ja .. Kirjutage punktid läbiva sirge võrrand üles ja leidke punktist kaugus

ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA ELEMENDID LENNUKIL. Sirge 1. Arvutage selle kolmnurga ümbermõõt, mille tipud on punktid A (6; 7), B (3; 3), C (1; 5). 2. Leia punktidest A (7;

Analüütiline geomeetria Moodul 1 Maatriksalgebra Vektoralgebra Tekst 5 (sõltumatu uuring) Abstraktne ristkülikukujuline koordinaatsüsteem tasapinnal ja ruumis Vahemaa valemid

Vene Föderatsiooni haridusministeerium Rostovi Riikliku Ülikooli mehaanika- ja matemaatikateaduskond Geomeetria osakond Kasak V.V. Analüütilise geomeetria töötuba esimestele õpilastele

ANALÜÜTILINE GEOETRIA Lennuki üldine võrdsus. GPR Tasapinna all peame silmas pinda, millel on omadus, et kui sirgjoone kaks punkti kuuluvad tasapinnale, siis kõik sirge punktid kuuluvad antud

5. LOENG ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA ELEMENDID. 1 1. Pinna võrrand ja sirge võrrandid ruumis. Võrrandite geomeetriline tähendus Analüütilises geomeetrias loetakse iga pinda kogumiks

1. peatükk LINEARID JA LENNUD n R. 1.1. Punktiruumid Varem kaaluti stringide aritmeetilist ruumi. Matemaatikas saab piiratud järjestusega koordinaatide komplekti tõlgendada mitte ainult

Katseülesanne analüütilises geomeetrias. Semester 2. Valik 1 1. Leidke ringi (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4 puutujate võrrandid, mis on paralleelsed sirgega 5x 12y + 1 = 0. 2. Kirjutage võrrand puutuja

Vene Föderatsiooni haridus- ja teadusministeerium Föderaalne osariigi autonoomne kõrgharidusasutus "Kaasani (Volga piirkonna) föderaalülikool"

Kõrge astme diferentsiaalid. Eksamipilet. Maatriksid, põhimõisted ja definitsioonid .. Kirjutage ringi võrrand, kui punktid A (;) ja B (-; 6) on ühe läbimõõdu otsad .. Tipud on antud.

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Moskva Riiklik Tehnikaülikool, mis on nimetatud N.E. Baumani põhiteaduskond Matemaatilise modelleerimise osakond À.Í. Santnikov,

Teise järgu pinnad. Pinda kolmemõõtmelises ruumis kirjeldab võrrand F (x; y; z) = 0 või z = f (x; y). Kahe pinna ristumiskoht määrab ruumis joone, s.t. joon ruumis

Descartesi koordinaatides määratleb esimese astme võrrand kindla sirge.

Jooni, mis määratakse Descartes'i koordinaatide esimese astme võrrandiga, nimetatakse esmatasandi ridadeks. Seetõttu on iga sirgjoon esimese järgu joon.

Sirgjoone üldvõrrand(esimese astme üldvõrrandina) määratakse vormi võrrandiga:

Oh + Woo + KOOS = 0.

Mõelge sirge mittetäielikule võrrandile.

1. KOOS= 0. Sirgjoone võrrand on järgmine: Ah + Wu = 0; sirgjoon läbib lähtepunkti.

2. V = 0 (A¡0). Võrrandil on vorm Oh + KOOS= 0 või NS =a, kus a= Sirge läbib punkti A(a; 0), on see teljega paralleelne OU... Number a Oh(joonis 1).

Riis. 1

Kui a= 0, siis sirge langeb kokku teljega OU. Ordinaattelje Oy võrrandil on vorm: NS = 0.

3. A = 0 (V¡0). Võrrand on järgmine: Woo + KOOS= 0 või kl = b, kus b=. Sirge läbib punkti V(0; b), see on teljega paralleelne Oh... Number b on selle segmendi väärtus, mis on telje sirgjoonelt ära lõigatud OU(joonis 2).

Riis. 2

Kui b = 0, langeb sirge kokku abstsisiteljega Ox. Abstsissitelje Ox võrrand on järgmine: y = 0.

Sirge võrrand telgede sirglõikudes määratakse võrrandiga:

Kus on numbrid a ja b on segmentide väärtused, mis on koordinaattelgedel sirgjooneliselt ära lõigatud (joonis 3).

(NS 0 ;kl 0)normaalse vektoriga risti = {A; B), määratakse järgmise valemi abil:

A(NS – NS 0) + V(kl – kl 0) = 0.

Antud punkti M läbiva sirge võrrand(NS 0 ; kl 0) suundvektoriga paralleelne = {l; m), on vormis:

Kahte antud punkti läbiva sirge võrrand M 1 (NS 1 ; kl 1) ja M 2 (NS 2 ; kl 2) määratakse võrrandiga:

Sirge kallak k mida nimetatakse sirge telje kaldenurga puutujaks Oh, mida loetakse telje positiivsest suunast sirgjooneni vastupäeva, k= tgα.

Sirge võrrand kallakuga k paistab nagu:

y = kx + b,

kus k= tgα, b- segmendi suurus, mis on teljel sirgjooneliselt ära lõigatud OU(joonis 4).

Antud punkti M läbiva sirge võrrand(NS 0 ;kl 0)selles suunas(kalle k teada), määratakse järgmise valemi abil:

y - y 0 = k(NS –NS 0).

Antud punkti M läbivate sirgete kimpude võrrand(NS 0 ;kl 0) (kalle k teadmata), määratakse järgmise valemi abil:

y - y 0 = k(NS –NS 0).

Sirgete ristumiskohta läbivate sirgete kimpude võrrand

A 1 NS + V 1 kl + KOOS 1 = 0 ja A 2 NS + V 2 kl + KOOS 2 = 0, määratakse järgmise valemiga:

α( A 1 NS + V 1 kl + KOOS 1) + β ( A 2 NS + V 2 kl + KOOS 2) = 0.

Süstimine j loeti sirgjoonelt vastupäeva y = k 1 NS + b 1 sirgeks y = k 2 NS + b 2 määratakse valemiga (joonis 5):

Üldvõrranditega antud sirgete jaoks A 1 NS + V 1 kl + KOOS 1 = 0 ja A 2 NS + V 2 kl + KOOS 2 = 0, nurk kahe sirgjoone vahel määratakse järgmise valemiga:

Kahe sirge paralleelsustingimusel on vorm: k 1 = k 2 või.

Kahe sirge risti tingimusel on vorm: või A 1 A 2 + V 1 V 2 = 0.

Sirgjoone normaalvõrrandil on vorm:

x cosα + y sinα - lk = 0,

kus p - lähtepunktist sirgjooneni langenud risti pikkus, α on risti kaldenurk telje positiivse suuna suhtes Oh(joonis 6).

Et anda sirgjoone üldvõrrand Oh + Woo + KOOS= 0 normaalkuju, peate korrutama kõik selle tingimused normaliseeriv tegur μ=, vabatermini vastandmärgiga KOOS.

Kaugus punktist M(NS 0 ;kl 0)sirgeks Ah + Woo + KOOS= 0 määratakse järgmise valemi abil:

Sirgete A vaheliste nurkade poolitajate võrrandid 1 NS + V 1 kl + KOOS 1 = 0 ja A 2 NS + V 2 kl + KOOS 2 = 0 on järgmine:

Näide 4... Kolmnurga tipud on antud ABC: A (–5; –7), V (7; 2), KOOS(–6; 8). Leia: 1) külje pikkus AB; 2) külgvõrrandid AB ja AS ja nende nõlvad; 3) sisenurk V; 4) mediaanvõrrand AE; 5) kõrguse võrrand ja pikkus CD; 6) poolitaja võrrand AK; 7) punkti läbiva sirge võrrand E küljega paralleelselt AB; 8) punktkoordinaadid M asub sümmeetriliselt punkti suhtes A suhteliselt sirge CD.

1. Kaugus d kahe punkti vahel A(NS 1 ; kl 1) ja V(NS 2 ; kl 2) määratakse järgmise valemiga:

Leidke külje pikkus AB kui kahe punkti vaheline kaugus A(–7; –8) ja V(8; –3):

2. Punkte läbiva sirge võrrand A(NS 1 ; kl 1) ja V(NS 2 ;y 2), on järgmine:

Punktide koordinaatide asendamine A ja V, saame külgvõrrandi AB:

3(NS+ 5) = 4(kl+ 7); 3NS– 4kl– 13 = 0 (AB).

Kallaku leidmiseks k AB otse ( AB) lahendame saadud võrrandi suhtes kl:

4y= 3x– 13;

- sirge võrrand ( AB) kaldega,

Samamoodi punktide koordinaatide asendamine V ja KOOS, saame sirge võrrandi ( Päike):

6NS– 42 = –13kl+ 26; 6x + 13y– 68 = 0 (EKr).

Lahendame sirgjoone võrrandi ( Päike) suhteliselt kl: .

3. Nurga j puutuja kahe sirgjoone vahel, mille kalded on võrdsed k 1 ja k 2, määratakse järgmise valemiga:

Sisenurk V moodustatud sirgjoontega ( AB) ja ( Päike) ja see on terav nurk, mille kaudu tuleb sirgjoont pöörata Päike positiivses suunas (vastupäeva), kuni see langeb kokku sirgega ( AB). Seetõttu asendame valemiga k 1 = , k 2 = :

Ð V= arctg = arctan 1,575 "57,59 °.

4. Et leida mediaanvõrrand ( AE), määratleme kõigepealt punkti koordinaadid E, mis on külje keskosa Päike Selleks rakendame segmendi kaheks võrdseks osaks jagamise valemid:

Siit ka point E on koordinaadid: E(0,5; 5).

Asendades võrrandisse sirgjoone, mis läbib kahte punkti, punktide koordinaadid A ja E, leiame mediaanvõrrandi ( AE):

24NS – 11kl + 43 = 0 (AE).

5. Kuna kõrgus CD küljega risti AB, siis sirge ( AB) on sirgjoonega risti ( CD). Kõrguse kalde leidmiseks CD, kasutame kahe sirgjoone ristiolukorda:

Antud punkti läbiva sirge võrrand M(NS 0 ; kl 0) antud suunas (kalle k teada), on järgmine:

y - y 0 = k (x - x 0).

Punkti koordinaatide asendamine viimase võrrandiga KOOS(–6; 8) ja saame kõrguse võrrandi CD:

kl – 8 = (NS -(–6)), 3kl – 24 = – 4NS– 24, 4NS + 3kl = 0 (CD).

Kaugus punktist M(NS 0 ; kl 0) sirgeks Kirves + Autor + C = 0 määratakse järgmise valemi abil:

Kõrguse pikkus CD leida kui kaugus punktist KOOS(–6; 8) sirgjooneni ( AB): 3NS – 4kl- 13. Valemisse vajalike koguste asendamine, leiame pikkuse CD:

6. Sirgete vaheliste nurkade poolitajate võrrandid Kirves + Autor + C = 0 ja
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 määratakse järgmise valemi abil:

Poolitaja võrrand AK kui üks sirgete vaheliste nurkade poolitajate võrranditest ( AB) ja ( AS).

Koostame sirgjoone võrrandi ( AS) kahte punkti läbiva sirge võrrandina A(–5; –7) ja KOOS (–6; 8):

Teisendame viimase võrrandi:

15(NS+ 5) = – (kl+ 7); 15x + y + 82 = 0 (AC).

Koefitsientide asendamine sirgjoonte üldvõrranditest ( AB) ja ( AS), saame nurkade poolitajate võrrandid:

Teisendame viimase võrrandi:

; (3NS – 4kl- 13) = ± 5 (15 x + y + 82);

3 NS - 4 kl- 13 = ± (75 NS +5kl + 410).

Mõelge kahele juhtumile:

1) 3 NS - 4 kl – 13 = 75NS +5kl+ 410.y l AB.

Kolmnurk ABC, kõrgus CD, mediaan AE, poolitaja AK, otse l ja punkt M joonistatud koordinaatsüsteemis Oeh(joonis 7).

Teise järgu read.
Ellips ja selle kanooniline võrrand. Ring

Pärast põhjalikku uurimist sirgjooned tasapinnal jätkame kahemõõtmelise maailma geomeetria uurimist. Panused on kahekordsed ja kutsun teid külastama maalilist galeriid, kus on ellipsid, hüperboolid, paraboolid, mis on tüüpilised teise järgu read... Ekskursioon on juba alanud ja kõigepealt lühike teave kogu ekspositsiooni kohta muuseumi erinevatel korrustel:

Algebralise joone mõiste ja selle järjekord

Tasandil olevat joont nimetatakse algebraline, kui sisse afiinne koordinaatsüsteem selle võrrandil on vorm, kus on vormiterminitest koosnev polünoom (- reaalarv,- mitte-negatiivsed täisarvud).

Nagu näete, ei sisalda algebralise joone võrrand siinusi, koosinusi, logaritme ega muid funktsionaalseid ilusaid sõnu. Ainult "x" ja "mängud" mitte-negatiivsed täisarvud kraadi.

Rida järjekord on võrdne selles sisalduvate terminite maksimaalse väärtusega.

Vastava teoreemi kohaselt ei sõltu algebralise joone mõiste ja selle järjekord valikust afiinne koordinaatsüsteem seetõttu eeldame olemise lihtsuse huvides, et kõik järgnevad arvutused toimuvad aastal Descartes'i koordinaadid.

Üldine võrrand teise järgu real on vorm, kus - suvalised reaalarvud (on tavaks kirjutada kordajaga - "kaks") ja koefitsiendid ei ole samal ajal võrdsed nulliga.

Kui, siis võrrandit lihtsustatakse , ja kui koefitsiendid ei ole samaaegselt nulliga võrdsed, siis on see täpselt "lame" sirge üldvõrrand mis on esimene tellimuse rida.

Paljud on mõistnud uute terminite tähendust, kuid sellegipoolest torgame materjali 100% assimileerimiseks sõrmed pistikupessa. Rea järjekorra määramiseks peate seda kordama kõik tingimused selle võrrandid ja leidke igaüks neist kraadide summa sissetulevad muutujad.

Näiteks:

mõiste sisaldab 1. astmes "x";
mõiste sisaldab "mängu" I astmes;
terminis pole muutujaid, seega on nende volituste summa null.

Nüüd selgitame välja, miks võrrand seab joone teine tellida:

mõiste sisaldab 2. astmes "x";
summeerimisel on muutujate kraadide summa: 1 + 1 = 2;
mõiste sisaldab "mängu" 2. astmes;
kõik muud tingimused - vähem kraad.

Maksimaalne väärtus: 2

Kui lisame oma võrrandile veel näiteks, siis see juba määrab kolmas järjekord... Ilmselgelt sisaldab kolmanda järgu rea võrrandi üldvorm terminite "täielikku komplekti", mille muutujate volituste summa on võrdne kolmega:
, kus koefitsiendid ei ole samal ajal võrdsed nulliga.

Juhul, kui lisame ühe või mitu sobivat terminit, mis sisaldavad , siis räägime 4. järjekorra read, jne.

3., 4. ja kõrgema astme algebraliste joontega peame tegelema rohkem kui üks kord, eriti kui tutvume polaarkoordinaatide süsteem.

Tuleme aga tagasi üldvõrrandi juurde ja tuletame meelde selle lihtsamaid koolivariatsioone. Näitena soovitab ennast parabool, mille võrrandit saab hõlpsasti üldiseks vormida, ja hüperbooli samaväärse võrrandiga. Siiski pole kõik nii sujuv ...

Üldise võrrandi oluline puudus on see, et peaaegu alati on ebaselge, millise joone see seab. Isegi kõige lihtsamal juhul ei saa te kohe aru, et see on hüperbool. Sellised paigutused on head ainult maskides, nii et analüütilise geomeetria käigus käsitletakse tüüpilist probleemi vähendades teise järgu rea võrrandit kanooniliseks vormiks.

Mis on võrrandi kanooniline vorm?

See on üldtunnustatud võrrandi standardvorm, kui mõne sekundi jooksul selgub, millise geomeetrilise objekti see määratleb. Lisaks on kanooniline vaade väga mugav paljude praktiliste ülesannete lahendamiseks. Nii näiteks kanoonilise võrrandi järgi "Tasane" sirge, esiteks on kohe selge, et see on sirgjoon, ja teiseks on sellele kuuluv punkt ja suunavektor kergesti nähtavad.

Ilmselgelt ükskõik 1. järjekorra rida on sirgjoon. Teisel korrusel aga ei oota meid mitte tunnimees, vaid hoopis mitmekesisem seltskond üheksast kujust:

Teise järgu liinide klassifikatsioon

Spetsiaalse toimingute komplekti abil vähendatakse teise järgu rea võrrandeid üheks järgmistest tüüpidest:

(ja need on positiivsed reaalarvud)

1) - ellipsi kanooniline võrrand;

2) - kanooniline hüperbooli võrrand;

3) - parabooli kanooniline võrrand;

4) – kujuteldav ellips;

5) - ristuvate sirgete paar;

6) - paar kujuteldav lõikuvad sirged (ainsa kehtiva ristumispunktiga lähtekohas);

7) - paar paralleelset sirget;

8) - paar kujuteldav paralleelsed jooned;

9) - paar kokkulangevat sirget.

Mõnele lugejale võib jääda mulje, et nimekiri on puudulik. Näiteks punktis 7 seab võrrand paari otsene teljega paralleelselt ja tekib küsimus: kus on võrrand, mis määrab ordinaadiga paralleelsed sirged? Vasta sellele ei peeta kanooniliseks... Sirged jooned tähistavad sama standardjuhtumit, pööratud 90 kraadi, ja klassifikatsiooni täiendav kirje on ülearune, kuna see ei sisalda midagi põhimõtteliselt uut.

Seega on teise järgu ridu üheksa ja ainult üheksa erinevat tüüpi, kuid praktikas on need kõige levinumad ellips, hüperbool ja parabool.

Vaatame kõigepealt ellipsi. Nagu tavaliselt, keskendun nendele punktidele, millel on probleemide lahendamisel suur tähtsus, ja kui vajate valemite, teoreemide tõestuste üksikasjalikku tuletamist, siis palun vaadake näiteks Bazylev / Atanasyani või Aleksandrovi õpikut.

Ellips ja selle kanooniline võrrand

Õigekiri ... palun ärge korrake mõnede Yandexi kasutajate vigu, kes on huvitatud "kuidas ellipsi ehitada", "ellipsi ja ovaali erinevus" ja "elebsi ekstsentrilisus".

Ellipsi kanoonilisel võrrandil on vorm, kus on positiivsed reaalarvud ja. Ma sõnastan hiljem ellipsi definitsiooni, kuid praegu on aeg rääkida rääkimispoest ja teha ühine probleem:

Kuidas ellipsi ehitada?

Jah, võta ja joonista. Ülesandega tuleb sageli kokku puutuda ja märkimisväärne osa õpilasi ei tule joonistamisega päris pädevalt toime:

Näide 1

Konstrueerige võrrandi antud ellips

Lahendus: kõigepealt toome võrrandi kanoonilisse vormi:

Miks juhtida? Üks kanoonilise võrrandi eeliseid on see, et see võimaldab teil koheselt määrata ellipsi tipud mis on punktides. On lihtne näha, et nende punktide koordinaadid vastavad võrrandile.

Sel juhul :


Jagu nimetatakse peamine telg ellips;
jagu – väike telg;
number nimetatakse poolmajor telg ellips;
number – pool-väike telg.
meie näites :.

Et kiiresti ette kujutada, milline konkreetne ellips välja näeb, piisab, kui vaadata selle kanoonilise võrrandi väärtusi "a" ja "bе".

Kõik on korras, kokkupandav ja ilus, kuid on üks hoiatus: joonistasin programmi kasutades. Ja saate joonistamise lõpetada mis tahes rakenduse abil. Kuid karmis reaalsuses on laual ruuduline paberitükk ja hiired tantsivad ringides meie kätel. Loomingulise andega inimesed võivad muidugi vaielda, kuid teil on ka hiiri (kuigi väiksemaid). Pole asjata, et inimkond on joonistamiseks leiutanud joonlaua, kompassid, eenduri ja muud lihtsad seadmed.

Sel põhjusel on ebatõenäoline, et suudame ellipsi täpselt joonistada, teades ainult tippe. Ikka on korras, kui ellips on väike, näiteks pooltelgedega. Teise võimalusena saate vähendada skaalat ja vastavalt joonise mõõtmeid. Kuid üldjuhul on väga soovitav leida lisapunkte.

Ellipsi konstrueerimiseks on kaks lähenemisviisi - geomeetriline ja algebraline. Mulle ei meeldi konstruktsioon kompassi ja joonlaua abil mitte kõige lühema algoritmi ja joonise märkimisväärse segaduse tõttu. Hädaolukorras palun viidake õpikule, kuid tegelikkuses on palju ratsionaalsem kasutada algebra tööriistu. Väljendage mustandil oleva ellipsi võrrandist kiiresti:

Lisaks jaguneb võrrand kaheks funktsiooniks:
- määratleb ellipsi ülemise kaare;
- määratleb ellipsi alumise kaare.

Kanoonilise võrrandiga määratud ellips on sümmeetriline nii koordinaattelgede kui ka lähtepunkti suhtes. Ja see on suurepärane - sümmeetria on peaaegu alati tasuta pakkumiste esilekutsuja. Ilmselgelt piisab 1. koordinaatide kvartali käsitlemisest, seega vajame seda funktsiooni ... Abstsissidega lisapunktide leidmine soovitab ennast ... Vaatasime kalkulaatoril kolm sms -i:

Muidugi on meeldiv ka see, et kui arvutustes tehakse tõsine viga, siis see selgub kohe ehituse käigus.

Märkige joonisele punktid (punane), ülejäänud kaaridele sümmeetrilised punktid (sinine) ja ühendage kogu ettevõte ettevaatlikult joonega:


Parem on joonistada esialgne visand õhukeseks ja õhukeseks ning alles seejärel suruda pliiatsit. Tulemuseks peaks olema korralik ellips. Muide, kas soovite teada, mis see kõver on?

Ellipsi määratlus. Ellipsi fookused ja ellipsi ekstsentrilisus

Ellips on ovaali erijuhtum. Sõna "ovaalne" ei tohiks mõista vilistlikus mõttes ("laps joonistas ovaali" jne). See on matemaatiline termin, millel on üksikasjalik sõnastus. Selle õppetunni eesmärk ei ole arvestada ovaalide ja nende erinevate tüüpide teooriat, mis on analüütilise geomeetria standardkursusel peaaegu tähelepanuta jäetud. Kooskõlas asjakohasemate vajadustega läheme otse ellipsi rangele määratlusele:

Ellips Kas nimetatakse tasapinna kõigi punktide kogumit, millest igaühe kauguste summa on kahest antud punktist, nn trikke ellips, - on konstantne väärtus, mis on arvuliselt võrdne selle ellipsi peatelje pikkusega:.
Sel juhul on fookuste vahekaugus sellest väärtusest väiksem :.

Nüüd saab kõik selgemaks:

Kujutage ette, et sinine täpp "juhib" ellipsi. Seega, olenemata sellest, millise ellipsi punkti me võtame, jääb segmentide pikkuste summa alati samaks:

Veendume, et meie näites on summa väärtus tõesti võrdne kaheksaga. Asetage mentaalselt punkt "em" ellipsi paremasse tippu, seejärel :, mida soovite kontrollida.

Teine joonistusviis põhineb ellipsi määratlusel. Pingete ja stressi põhjuseks on kohati kõrgem matemaatika, seega on aeg teha uus mahalaadimissessioon. Palun võtke Whatmani paber või suur papitükk ja kinnitage see kahe naastudega laua külge. Need on trikid. Siduge väljaulatuvate küüntepeade külge roheline niit ja tõmmake see pliiatsiga lõpuni. Pliiatsi kael jääb mingil hetkel ellipsile. Nüüd alustage oma pliiatsi jälgimist paberilehel, hoides rohelist niiti pingul. Jätkake protsessi, kuni jõuate tagasi alguspunkti ... suurepärane ... joonise saab õpetajale kontrollimiseks esitada =)

Kuidas leida ellipsi fookused?

Antud näites olen kujutanud "valmis" fookuspunkte ja nüüd õpime, kuidas neid geomeetria sügavustest eraldada.

Kui ellips on antud kanoonilise võrrandi abil, on selle fookustel koordinaadid , kus see on kaugus igast fookusest kuni ellipsi sümmeetria keskpunkti.

Arvutused on lihtsamad kui aurutatud kaalikas:

! Fookuste konkreetseid koordinaate ei saa tuvastada tähendusega "tse"! Kordan, et see on DISTANCE igast fookusest keskpunkti(mis üldjuhul ei pea asuma täpselt lähtepunktis).
Seetõttu ei saa ka fookuste vahelist kaugust siduda ellipsi kanoonilise asendiga. Teisisõnu, ellipsi saab teisaldada teise kohta ja väärtus jääb muutumatuks, samas kui fookused muudavad loomulikult oma koordinaate. Palun pidage seda teemat edasi uurides meeles.

Ellipsi ekstsentrilisus ja selle geomeetriline tähendus

Ellipsi ekstsentrilisus on suhe, mis võib võtta väärtusi enda sees.

Meie puhul:

Uurime, kuidas ellipsi kuju sõltub selle ekstsentrilisusest. Selle jaoks parandage vasak ja parem tipp vaadeldav ellips, see tähendab poolpealse telje väärtus jääb konstantseks. Siis on ekstsentrilisuse valem järgmine :.

Hakkame ekstsentrilisuse väärtust ühtsusele lähemale tooma. See on võimalik ainult siis, kui. Mida see tähendab? ... mäletan maagilisi nippe ... See tähendab, et ellipsi kolded "liiguvad lahku" piki abstsissitelge külgmistesse tippudesse. Ja kuna "rohelised segmendid ei ole kummist", hakkab ellips paratamatult lamedamaks muutuma, muutudes teljele kinnitatud üha õhemaks vorstiks.

Seega, mida lähemal on ellipsi ekstsentrilisuse väärtus ühtsusele, seda pikem on ellips.

Nüüd simuleerime vastupidist protsessi: ellipsikoldeid läksid üksteise poole, lähenedes keskusele. See tähendab, et "tse" väärtus jääb järjest väiksemaks ja vastavalt sellele kipub ekstsentrilisus nulli :.
Sellisel juhul muutuvad "rohelised segmendid" vastupidi "rahvarohkeks" ja nad hakkavad ellipsirida üles -alla "lükkama".

Seega, mida lähemal on ekstsentrilisuse väärtus nullile, seda rohkem näeb välja ellips... vaadake äärmuslikku juhtumit, kus fookused on edukalt taasühendatud päritoluga:

Ring on ellipsi erijuht

Tõepoolest, semiaksite võrdsuse korral saab ellipsi kanoonilise võrrandi vormi, mis on refleksiivselt teisendatud koolist saadud võrrandiks ringile, mille keskpunkt on raadiuse "a" koordinaatide alguses.

Praktikas kasutatakse sagedamini "kõneleva" tähega "er" salvestust :. Raadiust nimetatakse segmendi pikkuseks, kusjuures iga ringi punkt eemaldatakse keskpunktist raadiuse kauguse võrra.

Pange tähele, et ellipsi määratlus jääb täiesti õigeks: fookused langevad kokku ja ringjoone iga punkti kokkulangevate segmentide pikkuste summa on konstantne väärtus. Kuna fookuste vaheline kaugus, siis mis tahes ringi ekstsentrilisus on null.

Ring on ehitatud lihtsalt ja kiiresti, piisab, kui relvastada end kompassiga. Sellegipoolest on mõnikord vaja välja selgitada mõne selle punkti koordinaadid, sel juhul läheme tuttavat teed - viime võrrandi Matani kiirele vormile:

- ülemise poolringi funktsioon;
- alumise poolringi funktsioon.

Siis leiame vajalikud väärtused, eristama, integreerima ja muud head teha.

Artikkel on muidugi ainult viitamiseks, kuid kuidas saab maailmas ilma armastuseta elada? Loov ülesanne iseseisvaks lahenduseks

Näide 2

Kirjutage ellipsi kanooniline võrrand, kui üks selle fookustest ja pool-kõrvaltelg on teada (keskpunkt on lähtepunktis). Leidke tipud, lisapunktid ja tõmmake joonisele joon. Arvutage ekstsentrilisus.

Lahendus ja joonistamine tunni lõpus

Lisame toimingu:

Pöörlev ja paralleelne ellipsitõlge

Pöördume tagasi ellipsi kanoonilise võrrandi juurde, nimelt seisundi juurde, mille mõistatus on piinanud uudishimulikke meeli alates selle kõvera esmamainimisest. Siin uurisime ellipsi , kuid pole praktikas võrrand ? Lõppude lõpuks tundub siin siiski, nagu oleks ka ellips!

Selline võrrand on haruldane, kuid tuleb ette. Ja see tõesti määratleb ellipsi. Hajutame müstika:

Konstruktsiooni tulemusena saadakse meie ellips, mida pööratakse 90 kraadi. See on, - see on mittekanooniline märge ellips . Rekord!- võrrand ei määratle ühtegi muud ellipsi, kuna teljel puuduvad punktid (fookused), mis vastaksid ellipsi määratlusele.