Kui esimene valem ise on saadud, jätkame me tuletisinstrumentide määratlust. Kuhu x. - mis tahes kehtiv number, st x. - funktsiooni määramise funktsioonist mis tahes number. Me kirjutame lisamisfunktsiooni suhete piirmäära argumendi juurdekasvamisse, kui:

Tuleb märkida, et piirangu all oleva märgi all tuleb välja lülitus, mis ei ole nulli jagamiseks üks , kuna loendajal ei ole lõputult väike väärtus, nimelt null. Teisisõnu, pideva funktsiooni juurdekasv on alati null.

Sellel viisil, tuletisinstrumentide püsiv funktsioonvõrdne nulliga kogu määratluse valdkonnas.

Võimsuse funktsiooni derivaat.

Toitefunktsiooni derivaadi valem on vorm Kui kraadi näitaja p. - mis tahes kehtiv number.

Kõigepealt tõendame loodusliku indikaatorit valemit, st p \u003d 1, 2, 3, ...

Me kasutame derivaadi määratlust. Kirjutame piirväärtuse piiri suurenemise suhte suurenemise suhte suurenemiseni:

Mõjutaval väljendi lihtsustamiseks pöördume Newtoni Binoma valemi poole:

Seega,

See tõestas loodusliku indikaatori võimsuse funktsiooni derivaadi valemit.

Tuletisinstrumentide funktsiooni.

Tuletisinstrumendi derivaat põhineb määratlusel:

Tuli ebakindlusele. Selle avalikustamise jaoks tutvustame uue muutuja ja. Siis. Viimase ülemineku jooksul kasutasime üleminekuvalemi logaritmi uuele alusele.

Tehke esialgse piiri asendamine:

Kui meenume teist imelist piiri, siis tuleme soovitusliku funktsiooni derivaadi valemisse:

Derivaadi logaritmiline funktsioon.

Me tõestame derivaadi logaritmilise funktsiooni valemit kõigile x. Määratluspiirkonnast ja kõik lubatud baasväärtused a. Logaritm. Määratluse järgi on meil:

Nagu te märkasite, tehti ümberkujundamise tõendamisel logaritmi omaduste abil. Võrdõiguslikkus Õiglaselt teise märkimisväärse piiri tõttu.

Tuletatud trigonomeetrilised funktsioonid.

Drivaatsete trigonomeetriliste funktsioonide valemite kuvamiseks peame meenutama mõningaid valemeid trigonometriat ning esimest imelist piiri.

Teie sinuse funktsiooni derivaadi määratluse järgi .

Me kasutame sinuse erinevuse valemit:

See jääb kontakti esimese imelise piiri:

Seega tuletisinstrumentide funktsioon sIN X. seal on cOS X..

Absoluutselt sarnaselt osutus kosiini derivaadi valem.

Järelikult tuletatud funktsiooni cOS X. seal on -Sin X..

Tangentide ja kotangeenide tabelite tabelite valemite väljund viiakse läbi tõestatud diferentseerimisreeglite (fraktsiooni derivaat) abil.

Hüperboolsete funktsioonide derivaadid.

Tuletisinstrumentide diferentseerumise reeglid ja derivaadi soovitusliku funktsiooni reeglid võimaldavad meil tuletada hüperboolse sinuse, kosiini, puutuja ja kataangendi derivaatide valemiga.

Tuletatud vastupidine funktsioon.

Selleks, et mitte segi ajada eksponeerimisel, viitame madalamale indeksi argumendile, millele diferentseerumine toimub, see on tuletatud f (x) kõrval x..

Nüüd sõnastage tagasiside derivaadi leidmise reegel.

Lase funktsioone y \u003d F (x) ja x \u003d g (y) Vastastikku tagurpidi, mis on määratud intervallidega ja vastavalt. Kui punktis on lõplik erinev derivaatfunktsioon nullist f (x), siis punktis on tagasiside piiratud derivaat g (y)ja . Teises kirjetes .

Te saate selle reegli ümber sõnastada x. Lõhest, siis me saame .

Kontrollime nende valemite kehtivust.

Leia vastupidine funktsioon loodusliku logaritmi jaoks (siin y. - funktsioon ja x.- argument). Selle võrrandi suhtelise lahendamine x., Hangi siia (siin x. - funktsioon ja y. - selle argument). I.e, ja vastastikku vastupidised funktsioonid.

Tabeli derivaatidest näeme seda ja .

Parandage, et valemite tagasiside leidmise valemid viib meid samadele tulemustele:

Me anname teema õppimisel konsolideeritud tabeli mugavuse ja nähtavana.

Analüüsime, kuidas saadud tabeli valemid saadi või teisisõnu näitame tuletisinstrumentide väljundit iga funktsiooni tüübi jaoks.

Derivaat

Selle valemi saamiseks võtke aluse tuletisinstrumendi määratlemise aluseks. Kasutades x 0 \u003d x, kus X. võtab mis tahes tegeliku numbri tähenduse või teisisõnu, X. See on mis tahes number funktsioon F (x) \u003d c funktsiooni määramise funktsioonist. Me teeme arvestuse funktsionaalse funktsiooni funktsiooni suhte piirmääraga A δ X → 0 argumendi suurenemisele:

lIM Δ x → 0 δ f (x) δ x \u003d lim δ x → 0 c - c δ x \u003d lim δ x → 0 0 δ x \u003d 0

Pange tähele, et väljend 0 Δ x siseneb piirini. See ei söö ebakindlust "null nulli jagamiseks", kuna lugeja ei sisalda lõputult väikest väärtust, nimelt null. Teisisõnu, pideva funktsiooni juurdekasv on alati null.

Niisiis, derivaat konstantse funktsioon f (x) \u003d C on null kogu määratluse piirkonnas.

Näide 1.

Püsivad funktsioonid on esitatud:

f 1 (x) \u003d 3, f2 (x) \u003d a, a ∈ r, f3 (x) \u003d 4. 13 7 22, F 4 (x) \u003d 0, f 5 (x) \u003d - 8 7

Otsus

Me kirjeldame määratud tingimusi. Esimesel funktsioonil näeme loomuliku numbri 3 derivaati. Järgmises näites on vaja võtta derivaat agakus aga - mis tahes kehtiv number. Kolmas näide seab meile irratsionaalse numbri derivaadi 4. 13 7 22, Neljanda - nulli derivaat (null - täisarv). Lõpuks on viiendal juhul derivaat ratsionaalne fraktsioon - 8 7.

Vastus: Tuletisinstrumendid on null mis tahes kehtivate X. (kogu määratluse valdkonnas)

f 1 "(x) \u003d (3)" \u003d 0, f2 "(x) \u003d (a)" \u003d 0, a ∈ r, f3 "(x) \u003d 4. 13 7 22" \u003d 0, f 4 "(x) \u003d 0" \u003d 0, f 5 "(x) \u003d - 8 7" \u003d 0

Võimsuse funktsiooni derivaat

Me pöördume võimsusfunktsiooni ja selle derivaadi valemi poole, vaade: (x p) "\u003d P · X P - 1, kus kraadi näitaja P. on tegelik arv.

Tõend 2.

Esitame tõendi valemi kohta, kui kraadi näitaja - loomulik number: P \u003d 1, 2, 3, ...

Me toetume derivaadi määratlusele. Me registreerime piirväärtuse piirmäära võimsusfunktsiooni suurendamise suhte suurenemiseni:

(x p) "\u003d lim δ x → 0 \u003d δ (x p) δ x \u003d lim δ x → 0 (x + Δ x) p - x p δ x

Väljendi lihtsustamiseks loendajale kasutame Newtoni Binoma valemit:

(X + Δ x) P - X P \u003d C P 0 + X P + C P 1 · X P - 1 · δ X + C P 2 · X P - 2 · (Δ x) 2 +. . . + + C PP - 1 · X · (Δ X) P - 1 + C PP · (Δ x) P - XP \u003d C P 1 · XP - 1 · δ X + C P 2 · XP - 2 · (Δ x) 2 +. . . + C P P - 1 · X · (Δ X) P - 1 + C P P · (Δ x) lk

Sellel viisil:

(xp) "\u003d lim δ x → 0 δ (xp) δ x \u003d lim δ x → 0 (x + Δ x) P - XP Δ x \u003d \u003d lim δ X → 0 (C P 1 · XP - 1 · δ X + CP 2 · XP - 2 · (Δ x) 2 + ... + c pp - 1 · x · (Δ x) p - 1 + c pp · (Δ x) p) δ x \u003d \u003d lim δ x → 0 (C P 1 · XP - 1 + C P 2 · XP - 2 · Δ x + ... + c pp - 1 · x · (Δ x) p - 2 + c pp · (Δ x) p - 1) \u003d \u003d \u003d \u003d \u003d CP 1 · XP - 1 + 0 + 0 + ... + 0 \u003d p!1! · (P - 1)! · XP - 1 \u003d P · XP - 1

Niisiis, me tõestasime võimsuse funktsiooni derivaadi valemit, kui kraadi näitaja on loomulik arv.

Tõend 3.

Tuua tõend juhtumi kohta, kui P -iga kehtiv number, mis erineb nullist, kasutage logaritmilist derivaati (siin tuleb mõista logaritmilise funktsiooni derivaadi erinevust). Täielikum mõistmine on soovitav uurida logaritmilise funktsiooni derivaati ja mõista täiendavalt kaudselt määratletud funktsiooni derivaati ja keerulise funktsiooni derivaati.

Kaaluge kahte juhtumit: millal X. Positiivne ja millal X. Negatiivne.

Niisiis, X\u003e 0. Seejärel: x p\u003e 0. Logariting võrdsuse Y \u003d X P põhineb E ja rakendab logaritmi vara:

y \u003d x p ln y \u003d ln x p ln y \u003d p · ln x

Selles etapis saadi kaudselt määratletud funktsioon. Määrake selle derivaat:

(ln y) "\u003d (p · ln x) 1 y · y" \u003d p · 1 x ⇒ y "\u003d p · y x \u003d p · x p x \u003d p · x p - 1

Nüüd peame juhtumit, millal x -negatiivne arv.

Kui näitaja P. Seal on isegi number, seejärel määratakse toitefunktsioon ja kui x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Siis x P.< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Kui a P. Seal on paaritu arv, siis määratakse toitefunktsioon ja kui x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p)" \u003d - ((- x) p) "\u003d - p · (- x) P - 1 (- x)" \u003d \u003d p · (- x) P - 1 \u003d P · XP - 1

Viimane üleminek on võimalik tingitud asjaolust, et kui P. - paaritu arv, siis P - 1. isegi number või null (p \u003d 1), seega negatiivse X. See on tõeline võrdõiguslikkus (x) p - 1 \u003d x p - 1.

Niisiis, oleme tõestanud toitefunktsiooni derivaadi valemi mis tahes kehtivas lk.

Näide 2.

Dana funktsioonid:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3, f2 (x) \u003d x 2 - 1 4, f3 (x) \u003d 1 x log 7 12

Määrata nende derivaadid.

Otsus

Mõned määratud funktsioonid konverteerivad tabeli kujul Y \u003d x P, mis põhineb kraadi omadustel ja seejärel kasutage valemit:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 · x - 2 3 - 1 \u003d - 23 · x - 53 f2" (x) \u003d x 2 - 1 4 \u003d 2 - 1 4 · x 2 - 1 4 - 1 \u003d 2 - 1 4 · x 2 - 54 f3 (x) \u003d 1 x Logi 7 12 \u003d X - logi 7 12 ⇒ f 3 "( x) \u003d - logi 7 12 · x - logi 7 12 - 1 \u003d - logi 7 12 · x - logi 7 12 - logi 7 7 \u003d - logi 7 12 · x - logi 7 84 \\ t

Tuletisinstrumentide funktsioon

Tuleme tuletada tuletisinstrumendid, võttes määratluse aluseks:

(AX) "\u003d LIM Δ X → 0 AX AX + Δ X - AX Δ X \u003d LIM Δ X Δ X \u003d Lim δ X → 0 AX (A Δ X - 1) Δ X \u003d AX · LIM Δ X → 0 A δ X - 1 Δ x \u003d 0 0

Me saime ebakindlust. Selle paljastamiseks kirjutage uus muutuja Z \u003d A Δ X-1 (Z → 0 δ X → 0 juures). Sel juhul A δ X \u003d Z + 1 ⇒ Δ X \u003d Logi a (Z + 1) \u003d LN (Z + 1) ln a. Viimase ülemineku puhul kasutatakse logaritmi uuele alusele ülemineku valemit.

Rakendada asendus esialgse piiri:

(AX) "\u003d ax · lim δ x → 0 a δ x - 1 δ x \u003d ax · ln a · lim δ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) \u003d \u003d ax · ln a · lim δ x → 0 1 LN (Z + 1) 1 Z \u003d AX · LN A · 1 LN LIM δ X → 0 (Z + 1) 1 Z

Meenuta teise suurepärase piiri ja siis saame tuletisinstrumendi tuletisinstrumendid:

(a x) "\u003d a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z \u003d a x · ln a · 1 ln e \u003d a x · ln a

Näide 3.

Dame soovituslikud funktsioonid:

f 1 (x) \u003d 2 3 x, f2 (x) \u003d 5 3 x, f3 (x) \u003d 1 (e) x

On vaja leida oma derivaadid.

Otsus

Me kasutame soovitusliku funktsiooni derivaadi valemi ja logaritmi omadusi:

f 1 "(x) \u003d 2 3 x" \u003d 2 3 x · ln 2 3 \u003d 2 3 x · (LN2 - ln3) f2 "(x) \u003d 5 3 x" \u003d 5 3 x · ln 5 1 3 \u003d 1 3 · 5 3 x · ln 5 f3 "(x) \u003d 1 (E) x" \u003d 1 ex "\u003d 1 ex · ln 1 e \u003d 1 ex · ln e - 1 \u003d - 1 ex

Derivaadi logaritmiline funktsioon

Esitage tõend logaritmilise funktsiooni valemi kohta X. Aluse ja logaritmi määratluse ja lubatud väärtuste valdkonnas. Tuginedes derivaadi määratlusele, saame:

(Log AX) "\u003d Lim δ X → 0 Logi a ax δ X \u003d Lim δ X → 0 Logi AX + Δ XX Δ X \u003d \u003d LIM Δ X Δ X \u003d 1 Δ X · Logi 1 + Δ xx \u003d lim δ x → 0 Logi A 1 + Δ xx 1 δ x \u003d \u003d lim δ x → 0 Logi A 1 + Δ xx 1 Δ x · xx \u003d lim δ x → 0 1 x · logi a 1 + Δ xxx δ x \u003d \u003d 1 x · logi a jäme δ x → 0 1 + δ xxx δ x \u003d 1 x · logi ae \u003d 1 x · ln e ln a \u003d 1 x · ln a

Määratud võrrandite ahelast võib näha, et ümberkujundamine põhines logaritmi omadustel. Võrdõiguslikkuse lim δ X → 0 1 + Δ x x x δ X \u003d E on õige vastavalt teisele suurepärasele piirile.

Näide 4.

Logaritmilised funktsioonid on seadistatud:

f 1 (x) \u003d logi ln 3 x, f 2 (x) \u003d ln x

Nende derivaatide arvutamiseks on vaja arvutada.

Otsus

Rakenda tuletatud valem:

f 1 "(x) \u003d (logi ln 3 x)" \u003d 1 x · ln (LN3); F 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x · ln e \u003d 1 x

Niisiis, derivaat loodusliku logaritmi on üksuse jagatud X..

Tuletatud trigonomeetrilised funktsioonid

Me kasutame mõningaid trigonomeetrilisi valemeid ja esimest imelist piirangut tuletise trigonomeetrilise funktsiooni valemi saamiseks.

Sinus-funktsiooni derivaadi määratluse kohaselt saame:

(Sin x) "\u003d lim δ x → 0 patt (x + Δ x) - sin x δ x

Sinus erinevus valem võimaldab meil teha järgmised tegevused:

(Sin x) "\u003d LIM Δ x → 0 patt (x + Δ x) - sin x δ x \u003d \u003d lim δ x → 0 2 · patt x + Δ x - x 2 · cos x + δ x + x 2 δ x \u003d \u003d lim δ x → 0 patt δ x 2 · cos x + δ x 2 δ x 2 \u003d \u003d cos x + 0 2 · lim δ x → 0 patt δ x 2 δ x 2

Lõpuks kasutame esimest imelist piiri:

sin "x \u003d cos x + 0 2 · lim δ x → 0 patt Δ x 2 δ x 2 \u003d cos x

Nii tuletatud funktsioon SIN X. saab COS X..

Tõestame ka kosiini derivaadi valemi:

cos "x \u003d lim δ x → 0 cos (x + Δ x) - cos x δ x \u003d \u003d lim δ x → 0 - 2 · patt x + δ x - x 2 · pattu x + Δ x + x 2 Δ x \u003d \u003d \u003d - lim δ x → 0 patt δ x 2 · patt x + Δ x 2 δ x 2 \u003d \u003d - pat x + 0 2 · lim δ x → 0 patt δ x 2 δ x 2 \u003d - sin x

Need. COS X derivaat on - Sin X..

Tangentide ja kotangeni derivaatide valemid taganevad diferentseerimisreeglite põhjal:

tG "x \u003d sin x cos x" \u003d patt "x · cos x - sin x · cos" x cos 2 x \u003d cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x \u003d sin 2 x + cos 2 x cos 2 x \u003d 1 cos 2 xctg "x \u003d cos x sin x" \u003d cos "x · patt x - cos x · patt" x sin 2 x \u003d - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 X \u003d - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x \u003d - 1 sin 2 x

Pringer trigonomeetriliste funktsioonide derivaadid

Pöördfunktsioonide tuletise osa annab põhjaliku teabe Arksinus, arkkosiini, arctanens ja arkotaneenide derivaatide valemite tõendamise kohta, nii et me ei dubleeri materjali siin.

Hüperboolsete funktsioonide derivaadid

Hüperboolsete siiniste, kosiini, puutuja ja katankeenide derivaatide derivaatide tuletamine toimub diferentseerumise arvu ja soovitusliku funktsiooni derivaadi valemiga:

sh "x \u003d ex - e - x 2" \u003d 1 2 ex "- e - x" \u003d \u003d 1 2 ex - e - x \u003d ex + e - x 2 \u003d CHXCH "x \u003d ex + e - x 2" \u003d 1 2 ex "ex" + e - x "\u003d 1 2 ex + - e - x \u003d ex - e - x 2 \u003d shxth" x \u003d shxchx "\u003d sh" x · chx - shx · ch "xch 2 x \u003d ch 2 x - SH 2 XCH 2 x \u003d 1 CH2 XCTH "X \u003d CHXSHX" \u003d CH "X · SHX - CHX · SH" SH 2 X \u003d SH 2 X - CH 2 XSH 2 x \u003d - 1 SH 2 x

Kui märkate teksti viga, valige see ja vajutage Ctrl + Enter

Põhikontseptsioonid

Enne küsimuse tegemist näituse derivaadi kohta $ X $ kraadile meenutame mõisteid

1. funktsioonid;
2. järjestuse piirmäär;
3. derivaat;
4. eksponendid.

See on vajalik selge arusaamiseks näituse derivaatist kuni $ x $ tasemeni.

Määratlus 1.

Funktsiooni nimetatakse kahe muutuja vaheliseks suhteks.

Võtke $ y \u003d f (x) $, kus $ x $ ja $ y $ on muutuva väärtuse. Siin on $ X $ nimetatakse argumendiks ja $ y $ on funktsioon. Argument võib teha meelevaldseid väärtusi. Omakorda on $ Y $ muutuja sõltuvalt argumendist teatavast õigusest erinev. See tähendab argument $ x $ on sõltumatu muutuja ja funktsioon $ y $ on sõltuv muutuja. Mis tahes väärtus $ X $ vastab ainus väärtus $ y $.

Kui iga loomulik arv on $ n \u003d 1, 2, 3, ... $, et panna rida teatud õigusega $ x_n $, siis ütlevad nad, et numbrite järjestus $ x_1, x_2, ..., x_n $ määratakse kindlaks. Vastasel juhul on see järjestus kirjutatud $ \\ (x_n \\) $. Kõik numbrid $ x_n $ nimetatakse liikmeteks või elementideks järjestuse.

Määratlus 2.

Järjestuse piiri nimetatakse numbrilise joone lõplikuks või lõplikuks kaugeks punktiks. Limit on kirjutatud järgmiselt: $ \\ l Lim x_n \u003d l \\ Piirali_ (n See kirje tähendab, et $ x_n $ muutuja kipub $ $ x_n $ $.

Tuletisinstrumentide funktsioon $ F $ $ X_0 on järgmine piir:

$ \\ Piiraste_ (x \\ t x_0) \\ frac (F (x) - f (x_o)) (x-x_o) $. Seda tähistatakse $ F "(x_0) $.

Number $ E $ on järgmine piir:

$ E \u003d PITERN_ (x \\ t IFTY) (1+ \\ Frac (1) (n)) \\ ligikaudu2,718281828459045 ... $

Selles piirkonnas on $ N $ loomulik või kehtiv number.

Piirangute, tuletisinstrumentide ja eksponentsiaalsete kontseptsioonide omamine, saame jätkata tõendi valemi $ (e ^ x) "\u003d e ^ x $.

Derivaatide derivaat alates eksponent kuni $ x $

Meil on $ e ^ x $, kus $ x: - ritt

$ Y "\u003d Lines _ (deelta x \\ t 0) \\ frac (e ^ (x + \\ delta x) -e ^ x) (delta x) $.

Eksponendi vara poolt $ e ^ (A + BX) \u003d E ^ A * E ^ B $ saame konverteerida piir number:

$ E ^ (x + \\ delta x) -E ^ x \u003d e ^ x * e ^ (delta x) -e ^ x \u003d e ^ x (e ^ (delta x) -1) $.

See tähendab, $ y "\u003d l \\ Piiraste _ (\\ lta x \\ t 0) frac (e ^ (x + \\ delta x) -e ^ x) (delta x) \u003d lim \\ tjäär _ (\\ t Delta x \\ t 0) \\ frac (e ^ x (e ^ (e ^ (^ (

Tähistage $ t \u003d e ^ (delta x) -1 $. Me saame $ e ^ (delta x) \u003d t + $ 1 ja logaritmi vara kohaselt selgub, et $ \\ delta x \u003d ln (T + 1) $.

Kuna eksponent on pidev, meil on $ \\ lima \\ t piirid _ (delta x \\ t 0) e ^ (delta x) \u003d e ^ 0 \u003d 1. $ seetõttu kui $ \\ delta x \\ kuni 0 $, siis $ t \\ t 0 $.

Selle tulemusena näitame konversiooni:

$ Y "\u003d Lim \\ Piiraste _ (delta x \\ t 0) prac (e ^ (delta x) -1) (delta x) \u003d e ^ x lim \\ Piiraste_ (t 0) Frac (t) (ln (T + 1)) $.

Tähistavad $ n \u003d frac (1) (t) $, siis $ t \u003d \\ frac (1) (n) $. Tuleb välja, et kui $ t 0 $, siis $ n \\ thit $.

Me muudame oma piiri:

$ Y "\u003d E ^ x Lim \\ Piiraste_ (t \\ t 0) \\ Frac (t) (LN (T + 1)) \u003d E ^ x Lim \\ Piiraste_ (n \\ thit) frac (1) (N CDOT LN (Frac (1) (N) +1) ^ n) $.

Logaritmi kinnisvara poolt $ B \\ Cdot LN C \u003d LN C ^ B $ Meil \u200b\u200bon meil

$ N CDOT LN (FRAC (1) (N) +1) \u003d LN (Frac (1) (N) +1) ^ n \u003d ln (1+ \\ Frac (1) (N)) ^ n $ .

Limit muudetakse järgmiselt:

$ y "\u003d E ^ x Lim \\ Piirali_ (n \\ thit) frac (1) (n CDOT LN (Frac (1) (N) +1)) \u003d E ^ x \\ Lim \\ Piiraste_ ( N \\ thity) frac (1) (ln (Frac (1) (N) +1) ^ n) \u003d E ^ x \\ frac (1) (Piiraste_ (n lehvini) ln (\\ t Frac (1) (n) +1) ^ n) $.

Logaritmi järjepidevuse funktsiooni ja pideva funktsiooni piiride omaduste funktsiooni järgi: $ LIM \\ Piim / x_0) ln (f (x)) \u003d ln (lim \\ piir_f (x)) $, kus $ F (x) $ on positiivne piirang on $ \\ l \\ Piiraste_ (x \\ t x_0) f (x) $. Niisiis, kuna logaritm on pidev ja on positiivne piir, mis on positiivne $ ritti_ (N Frac (N) +1) ^ n $, saame tuletada:

$ \\ Lim \\ Piiraste_ (n \\ thity) ln (1+ sugu (1) (n)) ^ n \u003d ln \\ Piiraste_ (n \\ thit) ln (1+ sugu (1) (N) ) ^ n \u003d ln e \u003d 1 $.

Me kasutame väärtust teise tähelepanuväärse piiri $ lim \\ Piim \\ Piim \\ thry) (1+ sugu (1) (N)) ^ n \u003d E $. Saame:

$ Y "\u003d e ^ x \\ frac (1) (lim \\ thy_ (n \\ tfty) ln (frac (1) (n) +1) ^ n) \u003d e ^ x c cdot \\ frac (1 ) (Ln e) \u003d e ^ x c cdot \\ cdot \\ frac (1) (1) \u003d e ^ x $.

Seega tõi me eksituse derivaadi valemi ja võib väita, et eksponentide tuletisinstrumentide derivaat on $ x $ kraadiga võrdne eksponendiga kraadi $ x $:

On ka teisi võimalusi selle valemi väljastamiseks teiste valemite ja reeglite väljastamiseks.

Näide 1.

Kaaluge näidet tuletatud funktsiooni leidmisest.

Seisukord: Leia derivaatfunktsioon $ Y \u003d 2 ^ x + 3 ^ x + 10 ^ x + e ^ x $.

Otsus: Termini $ 2 ^ x, 3 ^ x $ ja $ 10 ^ x $ Me kasutame valemi $ (a ^ x) "\u003d a ^ x \\ cdot ln a $. Vastavalt tuletatud valemile $ (e ^ x) ) "\u003d E ^ x $ neljanda termin $ e ^ x $ ei muutu.

Vastus: $ y "\u003d 2 ^ x \\ cdot ln 2 + 3 ^ x \\ cdot ln 3 + 10 ^ x \\ cdot ln 10 + e ^ x $.

Seega me tuletatud valem $ (e ^ x) "\u003d e ^ x $, andes samal ajal mõiste põhikontseptsioonidega, demonteeritud näide leides tuletisinstrumendi funktsiooni eksponendiga üks terminid.

Paljud numbrid on saavutanud oma suuruse ja ebauskliku tähtsusega antiikajast. Tänapäeval lisatakse neile uued müüdid. PI arvu paljude legende on palju halvemana kuulsate fibonacci kuulsate numbritega. Aga võib-olla kõige awesome on number e, ilma milleta ei saa teha kaasaegne matemaatika, füüsika ja isegi majandus.

Numbri e aritmeetiline väärtus on ligikaudu 2,718. Miks mitte täpselt ja umbes? Kuna see number on irratsionaalne ja transtsendentaalne, ei saa seda väljendada füüsiliste täisarvudega või ratsionaalsete koefitsientidega füüsiliste täisarvude või polünoomidega. Enamiku määratud täpsuse arvutuste puhul piisab punkti 2,718 väärtusest, kuigi praegune arvutitehnoloogia tase võimaldab teil määrata selle väärtuse täpsusega rohkem kui triljonit pärast komaga.

Arvu E peamine omadus on see, et selle soovitusliku funktsiooni f (x) \u003d E x derivaat on võrdne funktsiooni väärtusega ise E x. Sellise ebatavalise vara ei ole muud matemaatilist sõltuvust. Räägime sellest veidi rohkem.

Mis on piir

Kõigepealt tegeleme piirmäära mõistega. Mõtle matemaatilise ekspressiooni, näiteks i \u003d 1 / n. Saab näha, et suurendades "n ", Väärtus" i "väheneb ja soov" N "lõpmatuseni (mida tähistatakse ∞ ikooniga)," i "püüab piirväärtuse eest (nimetatakse sagedamini piiri) nulliga. Piirangu väljendus (tähistatakse Lim) puhul, mida kaalutakse, võib kirjutada kui LIM N → ∞ (1 / N) \u003d 0.

Erinevate väljenduste jaoks on mitmeid piiranguid. Üks nendest piiridest, mis sisalduvad Nõukogude ja Vene õpikutes teise suurepärase piirini, on LIM N → ∞ (1 + 1 / N) N. väljend Juba keskajal, leiti, et selle väljenduse piir on number E.

Esimesele imelisele piirile hõlmavad väljend Lim N → ∞ (sin n / n) \u003d 1.

Kuidas leida derivaat E x - selles videos.

Mis on tuletatud funktsioon

Avalikustamiseks tuleb tuletisinstrumendi kontseptsioonile meelde tuletada, et selline funktsioon matemaatikas. Selleks et mitte segada teksti keerukate määratlustega, keskendume funktsiooni intuitiivsele matemaatilisele kontseptsioonile asjaolu, et ühes või mitmes väärtuses määrata kindlaks teise väärtuse väärtus, kui need on omavahel seotud. Näiteks selle valemiga S \u003d π ∙ R2 ringpiirkonna väärtus Radius r täielikult ja unikaalselt määrab piirkonna ringi S.

Sõltuvalt liigist võivad funktsioonid olla algebralised, trigonomeetrilised, logaritmilised jne. Kaks, kolm või enam argumenti saab omavahel ühendada. Näiteks vahemaa S, mida objekti ületakikastil tasakaalu kiirus, kirjeldab funktsiooni S \u003d 0,5 ∙ ∙ t 2 + v ∙ t, kus "t" - liikumise aeg, argument "A" kiirendus (Võib olla nii positiivne kui ka negatiivne väärtus) ja "v" liikumise algkiirus. Seega sõltub vahemaa ulatus sõltub kolme argumendi väärtustest, millest kaks ("A" ja "V") on konstantsed.

Näitame selle eeskujul tuletisinstrumendi elementaarset kontseptsiooni. See iseloomustab selle funktsiooni muutmise kiirust selles küsimuses. Meie näites on objekti kiirus konkreetsel ajahetkel. Pidev "A" ja "V", see sõltub alles ajast "t", mis on teaduslikus keeles, on vaja võtta tuletisinstrumentide funktsioon s aeg-ajalt "t".

Seda protsessi nimetatakse diferentseerimiseks, mida tehakse funktsioon funktsiooni funktsiooni suhte ja selle argumendi suurenemisele tühise väärtuse suurenemisele. Selliste ülesannete lahendusi individuaalsete funktsioonide jaoks ei ole sageli lihtne ja siin ei peeta. Samuti tuleb märkida, et mõnedel funktsioonidel teatud punktidel ei ole üldisi piiranguid.

Meie näites derivaat S Aja jooksul võtab "t" vormi s "\u003d ds / dt \u003d a ∙ t + v, millest võib näha, et kiirus S" varieerub sõltuvalt "t" lineaarsest õigusest.

Tuletisinstrument

Eksponent nimetatakse soovituslikuks funktsiooniks, mis on aluseks numbrile e. See kuvatakse tavaliselt f (x) \u003d E x, kus kraadi X on muutuv väärtus. Sellel funktsioonil on täielik erinevus reaalarvude vahemikus. Suurendamisel suureneb see pidevalt ja alati null. Funktsioon on talle tagasi logaritm.

Kuulus matemaatika Taylor suutis seda funktsiooni järjest lagundada, nimetatakse selle nimeks E x \u003d 1 + x / 1! + x 2/2! + x 3/3! + ... vahemikus X-st - ∞ kuni + ∞.

Selle funktsiooni põhjal seadus, nimetatakse eksponentsiaalseks. Ta kirjeldab:

• keerukate pankade intresside suurendamine;
• suurenemine loomade elanikkonnast ja planeedi elanikkonnast;
• aja, kes soovib laip ja palju muud.

Me kordame taas selle sõltuvuse suurepärase vara - selle derivaadi väärtus mis tahes punktis on alati võrdne selle funktsiooni väärtusega, st (E x) "\u003d E x.

Me anname tuletisinstrumente kõige tavalisematele eksponentidele:

• (E ax) "\u003d ∙ e kirves;
• (E f (x)) "\u003d f" (x) ∙ e f (x).

Nende sõltuvuste kasutamine on lihtne leida derivaadid teiste privaatsete liikide selle funktsiooni.

Mõned huvitavad faktid

Selle numbriga on selliste teadlaste nimed igaveseks, Otraditzi, Guygens, Bernoulli, Leibnizi, Newtoni, Eulija ja teiste nimed ühendatud selle numbriga. Viimane tegelikult tutvustas selle numbri nimetuse E ja leidis ka esimese 18 tähemärgi, kasutades operatsiooni töötamist E \u003d 1 + 1/1 arvutuse jaoks! + 2/2! + 3/3! ...

Number E leidub kõige ootamatutes kohtades. Näiteks siseneb see ketijoone võrrandi, mis kirjeldab trossi provisisid oma kaalu all, kui selle otsad on toetustele fikseeritud.

Videot

Videokeeli teema on soovitusliku funktsiooni derivaat.

Valemite derivaadi derivaadi (E-kraadise x) tõend ja väljund ja soovituslik funktsioon (a-kraad x). Näited derivaatide arvutamisest E ^ 2x, E ^ 3X ja E ^ NX arvutamise näited. Kõrgemate tellimuste valemid derivaadid.

Vaata ka: Soovituslik funktsioon - omadused, valemid, graafik
Eksponent, E kraadi x - omadused, valemid, ajakava

Põhilised valemid

Näituse derivaat on võrdne eksponendiga ise (derivaat E kraadi X on võrdne e-ga x):
(1) (E x) '\u003d e x.

Näitaja funktsiooni derivaat aste Alusega A on võrdne funktsiooniga, mis on korrutatud loodusliku logaritmiga a-st:
(2) .

Eksponent on soovituslik funktsioon, kus kraadi alus on võrdne numbriga E, mis on järgmine piir:
.
Siin võib olla nii loomulik kui ka tegelik number. Seejärel tuletame me eksituse derivaadi valemi (1).

Valemi derivaadi väljanägemine

Mõelge eksponendile, e-kraadise X:
y \u003d e x.
See funktsioon on kõigi jaoks määratletud. Leia oma derivaat muutuja x. Määratluse järgi on derivaat järgmine piir:
(3) .

Me muudame selle väljenduse vähendamiseks tuntud matemaatiliste omaduste ja reeglite vähendamiseks. Selleks me vajame järgmisi fakte:
AGA) Kinnisvara eksponendid:
(4) ;
B) Logaritmi vara:
(5) ;
Sisse) Pidev funktsiooni piirangute järjepidevus:
(6) .
Siin on mõned funktsioon, millel on piir ja see piir on positiivne.
D) Teise märkimisväärse piiri väärtus:
(7) .

Me kasutame neid fakte meie piirile (3). Me kasutame vara (4):
;
.

Tee asendamine. Siis; .
Eksponentide järjepidevuse tõttu
.
Seega, kui. Selle tulemusena saame:
.

Tee asendamine. Siis. Koos. Ja meil on:
.

Ravim logaritm vara (5):
. Siis
.

Kohaldage vara (6). Kuna pidevalt on positiivne piir ja logaritm, siis:
.
Siin kasutasime ka teise suurepärase piiri (7). Siis
.

Seega saime eksponaadi derivaadi valemiga (1).

Soovitusfunktsiooni derivaadi valemi väljund

Nüüd saame soovitusliku funktsiooni derivaadi valemi (2) abil aste a alusel. Me usume seda. Siis soovituslik funktsioon
(8)
Kõigi jaoks määratletud.

Me muudame valemi (8). Selleks kasutame soovitusliku funktsiooni ja logaritmi omadusi.
;
.
Niisiis, me transformeerisime valemi (8) järgmisse vormi:
.

Kõrgemate tellimuste derivaadid E-d-kraadist x

Nüüd leiame suuremate tellimuste derivaadid. Kõigepealt kaaluge eksponent:
(14) .
(1) .

Me näeme, et funktsiooni derivaat (14) on võrdne funktsiooniga ise (14). Diferentseerimine (1), saame derivaadid teise ja kolmanda järjekorra:
;
.

Võib näha, et N-nda tellimuse derivaat on võrdne ka allika funktsiooniga:
.

Suuremate soovituslike funktsioonide derivaadid

Nüüd kaaluge soovituslikku funktsiooni aste a alusel:
.
Leidsime oma esimese tellimuse derivaadi:
(15) .

Eristav (15), saame teise ja kolmanda tellimuse tuletisinstrumente:
;
.

Me näeme, et iga diferentseerimine põhjustab originaali funktsiooni korrutamist. Seetõttu on N-TH-määruse derivaatil järgmine vorm:
.