Teema "Erinevad ülesanded hulktahukale, silindrile, koonusele ja kuulile" on 11. klassi geomeetria kursuse üks raskemaid. Enne geomeetriliste ülesannete lahendamist tutvuvad nad tavaliselt vastavate teooria osadega, millele ülesandeid lahendades viidatakse. S. Atanasyani jt selleteemalisest õpikust (lk 138) võib leida ainult sfääri ümber kirjeldatud hulktahuka, sfääri sisse kirjutatud hulktahuka, polüeedrisse kirjutatud sfääri ja kirjeldatud sfääri definitsioonid. hulktahuka lähedal. Selle õpiku metoodilistes soovitustes (vt S.M. Sahakyani ja V.F.Butuzovi raamat „Geomeetria õppimine 10-11 klassis”, lk 159) on kirjas, milliseid kehade kombinatsioone ülesannete nr 629-646 lahendamisel arvesse võetakse ja tähelepanu juhitakse. sellele, et “konkreetse probleemi lahendamisel tuleb eelkõige tagada, et õpilastel oleks hea ettekujutus tingimuses märgitud kehade omavahelisest paigutusest”. Järgnevalt on toodud ülesannete nr 638 (a) ja nr 640 lahendus.

Võttes arvesse kõike eeltoodut ja asjaolu, et õpilaste jaoks on kõige raskemad ülesanded palli kombineerimisel teiste kehadega, on vajalik vastavad teoreetilised sätted süstematiseerida ja õpilastele edastada.

Definitsioonid.

1. Kuuli nimetatakse hulktahukasse sissekirjutatuks ja hulktahukaks palli ümberpiiratuks, kui kuuli pind puudutab hulktahuka kõiki tahke.

2. Kuuli nimetatakse ümber hulktahukaks piiritletuks ja hulktahukaks nimetatakse kuuli sissekirjutatuks, kui kuuli pind läbib hulktahuka kõiki tippe.

3. Kuuli nimetatakse silindrisse kantuks, tüvikoonuks (koonus) ja silindrit, tüvikoonust (koonust), kirjeldatakse kuuli lähedal, kui kuuli pind puudutab aluseid (põhja) ja kõiki silinder, tüvikoonus (koonus).

(Sellest definitsioonist järeldub, et kuuli suurring võib olla kantud nende kehade mis tahes telglõikesse).

4. Kuuli nimetatakse ümber silindri, tüvikoonuse (koonuse) ümbritsetuks, kui alusringid (alusring ja tipp) kuuluvad kuuli pinnale.

(Sellest definitsioonist järeldub, et nende kehade mis tahes telglõike kohta saab kirjeldada kuuli suurema ringi ümbermõõtu).

Üldised märkused palli keskpunkti asukoha kohta.

1. Hulktahukasse kantud kuuli kese asub hulktahuka kõigi kahetahuliste nurkade poolitajate tasandite lõikepunktis. See asub ainult hulktahuka sees.

2. Hulktahuka ümber piiritletud kuuli keskpunkt asub hulktahuka kõigi servadega risti olevate ja nende keskpunkte läbivate tasandite ristumiskohas. See võib paikneda polüeedri sees, pinnal ja väljaspool.

Palli ja prisma kombinatsioon.

1. Sirgesse prismasse kantud kuul.

1. teoreem. Kuuli saab kirjutada sirgesse prisma siis ja ainult siis, kui prisma põhja saab kirjutada ringi ja prisma kõrgus on võrdne selle ringi läbimõõduga.

Järeldus 1. Sirgesse prismasse kantud kuuli keskpunkt asub prisma kõrguse keskel, mis läbib alusesse kantud ringi keskpunkti.

Järeldus 2. Eelkõige saab kuuli kirjutada sirgjoontega: kolmnurkne, korrapärane, nelinurkne (milles aluse vastaskülgede summad on üksteisega võrdsed), tingimusel, et H = 2r, kus H on prisma kõrgus , r on alusesse kantud ringi raadius.

2. Prisma ümber piiratud pall.

2. teoreem. Palli saab kirjeldada prisma lähedal siis ja ainult siis, kui prisma on sirge ja ringi saab kirjeldada selle aluse lähedal.

Järeldus 1... Sirge prisma kohta kirjeldatud kuuli kese asub prisma kõrguse keskel, mis on tõmmatud läbi aluse ümber kirjeldatud ringi keskpunkti.

Järeldus 2. Eelkõige võib palli kirjeldada: sirge kolmnurkse prisma lähedal, korrapärase prisma lähedal, ristkülikukujulise rööptahuka lähedal, sirge nelinurkse prisma lähedal, milles aluse vastasnurkade summa on 180 kraadi.

L.S.Atanasjani kuuli ja prisma kombineerimise õpikust võib välja pakkuda ülesanded nr 632, 633, 634, 637 (a), 639 (a, b).

Palli ja püramiidi kombinatsioon.

1. Püramiidi ümber kirjeldatud pall.

3. teoreem. Kuuli saab kirjeldada püramiidi lähedal siis ja ainult siis, kui selle aluse lähedal saab kirjeldada ringi.

Järeldus 1.Ümber püramiidi ümbritsetud kuuli keskpunkt asub püramiidi põhjaga risti oleva sirge lõikepunktis, mis läbib selle aluse ümber ümbritsetud ringi keskpunkti ja tasandit, mis on risti mis tahes külgservaga, mis on tõmmatud läbi püramiidi keskosa. see serv.

Järeldus 2. Kui püramiidi külgservad on üksteisega võrdsed (või aluse tasapinna suhtes võrdselt kallutatud), siis võib sellise püramiidi lähedal kirjeldada kuuli, mille keskpunkt asub antud juhul palli lõikepunktis. püramiidi (või selle jätku) kõrgus tasapinnas külgribi ja kõrgusega külgserva sümmeetriateljega.

Järeldus 3. Eelkõige võib palli kirjeldada: kolmnurkpüramiidi lähedal, tavalise püramiidi lähedal, nelinurkse püramiidi lähedal, mille vastasnurkade summa on 180 kraadi.

2. Püramiidi sisse kirjutatud pall.

4. teoreem. Kui püramiidi külgpinnad on aluse suhtes võrdselt kaldu, siis saab sellisesse püramiidi sisse kirjutada kuuli.

Järeldus 1. Püramiidi, mille külgpinnad on aluse suhtes võrdselt kallutatud, kantud kuuli kese asub püramiidi kõrguse ja püramiidi põhjas asuva mis tahes kahetahulise nurga lineaarnurga poolitajapunktis, mille külg on püramiidi kõrgus. on püramiidi tipust tõmmatud külgpinna kõrgus.

Järeldus 2. Tavalisse püramiidi saab kirjutada palli.

L.S.Atanasyani õpikust kuuli kombineerimisest püramiidiga võib välja pakkuda ülesanded nr 635, 637 (b), 638, 639 (c), 640, 641.

Kombinatsioon pallist kärbitud püramiidiga.

1. Korrapärase kärbitud püramiidi ümber piiratud pall.

5. teoreem. Sfääri saab kirjeldada mis tahes korrapärase kärbitud püramiidi ümber. (See tingimus on piisav, kuid mitte vajalik)

2. Korrapärasesse kärbitud püramiidi sisse kirjutatud kuul.

6. teoreem. Kuuli saab kirjutada tavalisesse kärbitud püramiidi siis ja ainult siis, kui püramiidi apoteem on võrdne aluste apoteemide summaga.

L.S.Atanasjani õpikus (nr 636) on kärbitud püramiidiga kuuli kombinatsiooni puhul vaid üks probleem.

Kombinatsioon ümarate kehadega pallist.

7. teoreem. Kuuli võib kirjeldada ümber silindri, tüvikoonuse (sirge ringikujuline) või koonuse.

8. teoreem. Kuuli saab silindrisse (sirge ringikujuliseks) kirjutada siis ja ainult siis, kui silinder on võrdkülgne.

9. teoreem. Kuuli saab kirjutada mis tahes koonusesse (sirge ring).

10. teoreem. Kuuli saab kirjutada kärbikoonusesse (sirgesse ringikujuliseks) siis ja ainult siis, kui selle generaator on võrdne aluste raadiuste summaga.

L.S. Atanasyani õpikust saab pakkuda ülesandeid nr 642, 643, 644, 645, 646 ümarate kehadega palli kombineerimiseks.

Selle teema materjali edukamaks õppimiseks on vaja tundide käigus lisada suulisi ülesandeid:

1. Kuubi serv võrdub a-ga. Leidke kuulide raadiused: kuubi sisse kirjutatud ja selle ümber kirjeldatud. (r = a/2, R = a3).

2. Kas on võimalik kirjeldada kera (palli) ümber: a) kuubi; b) ristkülikukujuline rööptahukas; c) kaldus rööptahukas, mille põhjas asub ristkülik; d) sirge rööptahukas; e) kaldus rööptahukas? a) jah; b) jah; c) ei; d) ei; e) ei)

3. Kas vastab tõele, et sfääri saab kirjeldada iga kolmnurkse püramiidi ümber? (jah)

4. Kas suvalise nelinurkse püramiidi ümber olevat kera on võimalik kirjeldada? (Ei, mitte ühegi nelinurkse püramiidi ümber)

5. Millised omadused peaksid olema püramiidil, et kirjeldada teda ümbritsevat kera? (Selle põhjas peaks olema hulknurk, mille ümber saab kirjeldada ringi)

6. Sfääri sisse on kantud püramiid, mille külgserv on alusega risti. Kuidas leida kera keskpunkt? (Sfääri keskpunkt on kahe ruumipunktide geomeetrilise koha lõikepunkt. Esimene on risti, mis on tõmmatud püramiidi aluse tasapinnaga läbi selle ümber ümbritsetud ringi keskpunkti. Teine on tasapind risti selle külgservaga ja tõmmatud läbi selle keskosa)

7. Millistel tingimustel saab kirjeldada prisma ümber olevat kera, mille põhjas on trapets? (Esiteks peab prisma olema sirge ja teiseks peab trapets olema võrdhaarne, et selle ümber saaks kirjeldada ringjoont)

8. Millistele tingimustele peaks prisma vastama, et kirjeldada teda ümbritsevat sfääri? (Prisma peab olema sirge ja selle alus peab olema hulknurk, mille ümber saab kirjeldada ringi)

9. Kolmnurkse prisma lähedal kirjeldatakse sfääri, mille keskpunkt asub prismast väljaspool. Milline kolmnurk on prisma alus? (nüri kolmnurk)

10. Kas saate kirjeldada kaldprisma ümber olevat kera? (Ei)

11. Millistel tingimustel paikneb sirge kolmnurkse prisma ümber kirjeldatud sfääri keskpunkt prisma ühel külgpinnal? (Alusel on täisnurkne kolmnurk)

12. Püramiidi alus on võrdhaarne trapets Püramiidi tipu ortogonaalprojektsioon aluse tasapinnale on trapetsist väljapoole jääv punkt. Kas sellise trapetsi ümber olevat kera on võimalik kirjeldada? (Jah, saab. Asjaolu, et püramiidi tipu ristprojektsioon asub väljaspool selle alust, ei oma tähtsust. Oluline on, et püramiidi põhjas asub võrdhaarne trapets – hulknurk, mille ümber saab ringjoont teha. kirjeldatud)

13. Parempoolse püramiidi lähedal on kirjeldatud sfääri. Kuidas asub selle keskpunkt püramiidi elementide suhtes? (Sfääri keskpunkt on ristil, mis on tõmmatud aluse tasapinnaga läbi selle keskpunkti)

14. Mis tingimusel asub sirge kolmnurkse prisma ümber kirjeldatud sfääri keskpunkt: a) prisma sees; b) väljaspool prismat? (Prisma põhjas: a) teravnurkne kolmnurk; b) nüri kolmnurk)

15. Ristkülikukujulise rööptahuka ümber on kirjeldatud kera, mille servad on 1 dm, 2 dm ja 2 dm. Arvutage sfääri raadius. (1,5 dm)

16. Millisesse tüvikoonusesse saab kera sisse kirjutada? (Tärkkoonuses, mille telglõikesse saab kirjutada ringjoone. Koonuse telglõik on võrdhaarne trapets, selle aluste summa peaks olema võrdne selle külgmiste külgede summaga. Teisisõnu, koonuse aluste raadiuste summa peaks olema võrdne generatriksiga)

17. Tüvikoonusesse on sisse kirjutatud kera. Millise nurga all on koonuse generatriks sfääri keskpunktist nähtav? (90 kraadi)

18. Milline omadus peaks olema sirgel prismal, et sellesse saaks sisse kirjutada kera? (Esiteks, sirge prisma põhjas peaks olema hulknurk, kuhu saab kirjutada ringi, ja teiseks peaks prisma kõrgus olema võrdne alusesse kantud ringi läbimõõduga)

19. Too näide püramiidist, millesse ei saa sfääri kirjutada? (Näiteks nelinurkne püramiid, mille põhjas on ristkülik või rööpkülik)

20. Sirge prisma põhjas asub romb. Kas sellesse prismasse saab kirjutada kera? (Ei, te ei saa, kuna üldiselt ei saa te rombi ümber olevat ringi kirjeldada)

21. Millisel tingimusel saab sirge kolmnurkprisma sisse kirjutada kera? (Kui prisma kõrgus on kaks korda suurem kui alusesse kantud ringi raadius)

22. Millisel tingimusel saab kera kirjutada korrapärasesse nelinurksesse tüvipüramiidi? (Kui antud püramiidi läbilõige tasapinnaga, mis läbib sellega risti oleva aluse külje keskkohta, on võrdhaarne trapets, millesse saab kirjutada ringi)

23. Kolmnurksesse tüvipüramiidi on sisse kirjutatud kera. Milline püramiidi punkt on sfääri keskpunkt? (Sellesse püramiidi sisse kirjutatud sfääri keskpunkt on püramiidi ja aluse külgpindade poolt moodustatud nurkade kolme poolitava tasandi ristumiskohas)

24. Kas on võimalik kirjeldada silindri ümber olevat kera (parempoolne ring)? (Jah, sa saad)

25. Kas on võimalik kirjeldada kera koonuse ümber, tüvikoonust (sirge ringikujuline)? (Jah, saate mõlemal juhul)

26. Kas sfääri saab kirjutada mis tahes silindrisse? Millised omadused peaksid olema silindril, et sellesse kera kirjutada? (Ei, mitte iga: silindri teljesuunaline osa peab olema ruudukujuline)

27. Kas igasse koonusse saab kirjutada kera? Kuidas määrata koonusesse kirjutatud kera keskpunkti asukohta? (Jah, ükskõik millisele. Sissekirjutatud sfääri keskpunkt on koonuse kõrguse ja generatriksi kaldenurga poolitaja ristumiskohas aluse tasapinnaga)

Autor usub, et kolmest planeerimistunnist teemal “Erinevad ülesanded polüheedrile, silindrile, koonusele ja kuulile” tuleks kaks õppetundi pühendada probleemide lahendamisele, mis hõlmavad palli kombineerimist teiste kehadega. Eelpool toodud teoreeme ei ole soovitatav tõestada, kuna tundides on vähe aega. Tõestama võib kutsuda õpilasi, kellel on piisavad oskused, näidates ära (õpetaja äranägemisel) tõendamise käigu või kava.

Kera ümber kirjeldatakse korrapärast nelinurkset prismat, mille ruumala on 65 dm 3. Arvutage prisma kogupindala ja kuuli ruumala suhe
Prismat nimetatakse regulaarseks, kui selle alused on korrapärased hulknurgad ja külgservad on aluse suhtes risti. Korrapärane nelinurk on ruut. Ruudu diagonaalide lõikepunktiks on selle keskpunkt ja ka sisse kirjutatud ringi keskpunkt. Tõestagem seda fakti. kuigi seda tõendit tõenäoliselt ei küsita ja selle võib ära jätta
Rööpküliku, ristküliku ja rombi erikujuna on ruudul oma omadused: diagonaalid on võrdsed ja jagatud lõikepunktiga pooleks ning need on ruudu nurkade poolitajad. Läbi punkti E tõmmake AB-ga paralleelne sirge TK. AB on risti BC-ga, mis tähendab, et TC on ka risti BC-ga (kui üks kahest paralleelsest sirgest on risti mis tahes kolmanda sirgega, siis teine ​​paralleelne sirge on risti selle (kolmanda) sirgega). Samamoodi tõmbame sirge MR. Täisnurksed kolmnurgad BET ja AEK on hüpotenuusis ja teravnurgas võrdsed (BE = AE - pool diagonaalidest, ∠ EBT = ∠ EAK - pool täisnurgast), seega ET = EK. Tõestame samamoodi, et EM = EP. Ja kolmnurkade CEP ja CET võrdsusest (sama märk) näeme, et ET = EP, s.o. ET = EP = EK = EM või lihtsalt öelda, et punkt M on ruudu külgedest võrdsel kaugusel ja see on vajalik tingimus, et tunnustada seda sellesse ruutu kirjutatud ringi keskpunktina.
Vaatleme ristkülikut AVTK (see nelinurk on ristkülik, kuna kõik selle nurgad on ehituselt sirged). Ristküliku vastasküljed on võrdsed - AB = CT (tuleb märkida, et CT on aluse läbimõõt) - see tähendab, et aluse külg on võrdne sisse kirjutatud ringi läbimõõduga.
Joonestame tasapinnad läbi paralleelsete (kaks sirget, mis on sama tasandiga risti, paralleelsed) vastavalt AA 1, CC 1 ja BB 1 ja DD 1 (paralleelsed jooned määravad ainult ühe tasapinna). Tasapinnad AA 1 C 1 C ja BB 1 D 1 D on risti alusega ABCD, kuna läbivad sirged (külgmised ribid) sellega risti.
Punktist H (diagonaalide lõikepunkt) tasapinnal AA 1 C 1 C, mis on risti alusega ABCD. Seejärel teeme sama tasapinnal BB 1 D 1 D. Teoreemist: kui ühest kahest risttasapinnast asuvast punktist tõmmata risti teise tasapinnaga, siis see risti asetseb täielikult esimesel tasapinnal, saame, et see risti peaks asetsema ja tasapinnal AA 1 C 1 C ja tasapinnal BB 1 D 1 D. See on võimalik ainult siis, kui see risti langeb kokku nende tasandite lõikejoonega - EI. Need. segment EI OLE sirgjoon, millel asub sissekirjutatud ringi keskpunkt (kuna see EI asu võrdsel kaugusel külgpindade tasapindadest ja see omakorda tuleneb punktide E ja H võrdsest kaugusest vastavate aluste tippudest (nagu on tõestatud: diagonaalide lõikepunkt on võrdsel kaugusel ruudu külgedest ), kuid sellest, et see EI ole alustega risti, võime järeldada, et NOT on kuuli läbimõõt. Teoreem. Pall saab kirjutada korrapärasesse prisma siis ja ainult siis, kui selle kõrgus on võrdne alusele kantud ringi läbimõõduga.kuuli, siis selle kõrgus on võrdne alusele kantud ringi läbimõõduga. a, ja prisma kõrgus ületab h, siis seda teoreemi kasutades järeldame a= h ja siis prisma ruumala leitakse järgmiselt:

Lisaks, kasutades asjaolu, et kõrgus on võrdne sissekirjutatud kuuli läbimõõduga ja prisma aluse küljega, leiame kuuli raadiuse ja seejärel selle ruumala:

Peab ütlema, et külgservad on võrdsed kõrgusega (paralleelsete tasapindade vahele jäävate paralleelsete sirgjoonte segmendid on võrdsed) ja kuna kõrgus on võrdne aluse küljega, siis üldiselt kõik prisma servad on üksteisega võrdsed ja kõik tahud on sisuliselt ruudud, millel on pindala a 2. Tegelikult nimetatakse sellist kujundit kuubik - rööptahuka erijuhtum. Jääb üle leida kuubi täispind ja seostada see palli mahuga:

Palli saab kirjeldada ümber püramiidi siis ja ainult siis, kui saab kirjeldada ringi ümber selle aluse.

Selle palli keskpunkti O ehitamiseks vajate:

1. Leidke aluse ümber ümbritsetud ringjoone keskpunkt O.

2. Tõmmake läbi punkti O aluse tasapinnaga risti olev sirge.

3. Joonistage püramiidi mis tahes külgserva keskelt selle servaga risti olev tasapind.

4. Leidke konstrueeritud sirge ja tasandi lõikepunkti punkt O.

Erijuhtum: püramiidi külgservad on võrdsed. Seejärel:

palli saab kirjeldada;

palli keskpunkt O asub püramiidi kõrgusel;

Kus on kirjeldatud sfääri raadius; - külgmine ribi; H on püramiidi kõrgus.

5.2. Pall ja prisma

Palli saab kirjeldada prisma lähedal siis ja ainult siis, kui prisma on sirge ja ringi saab kirjeldada selle aluse lähedal.

Kuuli keskpunkt on aluste lähedal kirjeldatud ringide keskpunkte ühendava segmendi keskpunkt.

kus on kirjeldatud sfääri raadius; - piiritletud raadius ringi aluse ümber; H on prisma kõrgus.

5.3. Pall ja silinder

Palli saab alati kirjeldada silindri ümber. Kuuli keskpunkt on silindri teljesuunalise lõigu sümmeetriakese.

5.4. Pall ja koonus

Palli saab alati kirjeldada koonuse lähedal. palli keskosa; toimib koonuse telglõike ümber piiratud ringi keskpunktina.

Esitluste eelvaate kasutamiseks looge endale Google'i konto (konto) ja logige sisse: https://accounts.google.com

Slaidi pealdised:

Hulktahukate ümber kirjeldatud sfäärid.

Definitsioon. Hulktahukat nimetatakse sfääri sissekirjutatuks (ja sfäär on ümbritsetud hulktahuka ümber), kui kõik hulktahuka tipud kuuluvad sellesse sfääri. Tagajärg. Kirjeldatud sfääri keskpunkt on hulktahuka kõigist tippudest võrdsel kaugusel. O O O. ... ...

Teoreem 1. Kahest antud punktist võrdsel kaugusel asuvate punktide hulk on lõiguga risti asetsev tasapind, mille otsad on neis punktides ja mis läbib selle keskpunkti (selle lõigu risttasapind). AB ┴ α AO = OB α A B O

Teoreem 2. Ühel ringil asuvast n antud punktist võrdsel kaugusel olevate punktide hulk on nende punktide tasandiga risti asetsev ja nende ümber piiratud ringjoone keskpunkti läbiv sirge. C E A B D O a. ... ... ... ... ... C E A B D. ... ... ... ...

Sfääri sisse kirjutatud prisma. OA = OB =… = OX = R sp. O 1. O. O sf a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1. X 1. .A .B .C .D E. X. a a 1. O. O 1

Tagajärjed. 1) Kera saab kirjeldada sirge kolmnurkse prisma lähedal, kuna võite alati kirjeldada ringi ümber kolmnurga. 2) Sfääri saab kirjeldada mis tahes õige prisma lähedal, kuna korrapärane prisma on sirge ja ringi saab alati kirjeldada korrapärase hulktahuka läheduses. O. O. ...

Probleem number 1. Kuuli kirjeldatakse prisma lähedal, mille põhjas asub täisnurkne kolmnurk jalgadega 6 ja 8. Prisma külgserv on 24. Leidke kuuli raadius. Antud: ∆ ABC - ristkülikukujuline; AC = 6, BC = 8, AA 1 = 24. Leia: R w =? Lahendus: 1) OO 1 ┴AB 1; OO 1 = AA 1 = 24. 2) ABC: AB = 10. 3) O w OB: R w = O w B = √OO w 2 + OB 2 = = √144 + 25 = 13 Vastus: 13. O 1 O.. ... R w O w S 1 B 1 A 1 A C B

Probleem number 3. Ristkülikukujulise rööptahuka mõõtmed on 2,3 ja 5. Leia piiritletud sfääri raadius. Antud: AB = a = 2; BC = b = 3; CC 1 = c = 5. Leia: R w =? Lahendus: 1) AC 2 = a 2 + b 2 + c 2. 2) A 1 C 2 = 25 + 9 + 4 = 38 (ristkülikukujulise rööptahuka diagonaalide omadus) 3) A 1 C = √38; R w = O w C = √38 / 2 Vastus: √38 / 2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3. ... ... O w

Probleem number 3. Korrapärase kolmnurkse prisma aluskülg on a ja külgserv 2 a. Leia kirjeldatud sfääri raadius. Antud: AB = BC = AC = a, AA 1 ┴ABC; AA 1 = 2a. Leia: R w =? Lahendus: 1) AB = AO √3; AO = a / √3. 2) R w = √ a 2 + a 2/3 = 2a / √ 3 Vastus: 2a / √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O w R w. O O 1

Tagajärjed. 1) Sfääri saab alati kirjeldada kolmnurkse püramiidi läheduses, kuna ringjoont saab alati kirjeldada kolmnurga lähedal. 2) Kera saab alati kirjeldada korrapärase püramiidi lähedal. 3) Kui püramiidi külgservad on võrdsed (aluse suhtes võrdselt kaldu), siis sellise püramiidi läheduses saab alati kirjeldada sfääri. * Kahel viimasel juhul asub sfääri keskpunkt sirgel, mis sisaldab püramiidi kõrgust. O. O.

Ülesanded (kirjeldatud kera püramiidi ümber). Püramiidi PABC lähedal on kirjeldatud kuul, mille aluseks on võrdkülgne kolmnurk ABC küljega 4√3. Külgserv PA on risti püramiidi aluse tasapinnaga ja võrdub 6. Leidke kuuli raadius. Antud: AB = BC = AC = 4 √3; PA ┴ (ABC); PA = 6. Leia: R w =? Lahendus: 1) OO SF ┴ (ABC); O on ∆ABC ümber piiratud ringjoone keskpunkt; K O SF ┴ PA; KP = AK (KO SF Üks külgserva PA keskperpendikulaar); O SF on kirjeldatud sfääri keskpunkt. 2) OO SF ┴ (ABC); OO SF kuulub (AKO); PA ┴ (ABC); AK kuulub (AKO); tähendab KA || OO SF; ... O SF. O K. P. A. B. C

Ülesanded (kirjeldatud kera püramiidi ümber). 3) KO c f ┴AP; KO c f kuulub (AOK); AO ┴AP; AO kuulub (AOK); tähendab KO c ф || AO; 4) (2) ja (3): AOO c ф K-ristkülik, AK = PA / 2 = 3; 5) AO = AB / √3 = 4; 6) ∆ AO O c f: AO c f = R w = 5 Vastus: 5

Ülesanded (kirjeldatud kera püramiidi ümber). Tavalises nelinurkses püramiidis on külgriba aluse suhtes kallutatud 45˚ nurga all. Püramiidi kõrgus on h. Leia piiritletud sfääri raadius. Antud: PABCD - tavaline püramiid; (AP^ (ABC)) = 45 ˚; PO = h. Leia: R w =? Lahendus: 1) AO = OP = h; AP = h √ 2; 2) ∆PAP ​​​​1 - ristkülikukujuline; PP 1 on kuuli läbimõõt; PP 1 = 2 R w; AP 2 = PP 1 * OP; (h √ 2) 2 = 2 R w * h; R w = 2h 2/2h = h. Vastus: h. C. B A. .D .P .P 1. O

Ülesanded (kirjeldatud kera püramiidi ümber). Omal käel. Korrapärase tetraeedri ümber piiritletud sfääri raadius on R. Leidke tetraeedri kogupindala.

Ülesanded (kirjeldatud kera püramiidi ümber). Omal käel. Antud: DABC - regulaarne tetraeeder; R on sfääri raadius. Leia: S täis tetr. =? Lahendus: 1) Kuna tetraeeder on õige, kuulub kirjeldatud sfääri keskpunkt püramiidi kõrgust sisaldavale sirgele; 2) S täis tetr. = a 2 √ 3/4 * 4 = a 2 √ 3; 3) Punktid D, A, D 1 kuuluvad samasse ringi - sfääri läbilõige tasapinnaga DAD 1, seega nurk DAD 1 on sisse kirjutatud nurk läbimõõdu põhjal DD 1; nurk DAD 1 = 90˚; 4) AO - kõrgus ∆ ADD 1, tõmmatud täisnurga ülaosast. AD 2 = DO * DD 1; 5) AO = a / √ 3; DO = √ a 2 -a 2/3 = a √ 2 / √ 3; a 2 = a √ 2 / √ 3 * 2R; a = √ 2 / √ 3 * 2R; a2 = 8R 2/3; .D 1 .D .O .B .C A. a a

Ülesanded (kirjeldatud kera püramiidi ümber). Omal käel. 6) S täis tetr. = 8R 2 √ 3/3 Vastus: 8R 2 √ 3/3

2. Aluse pool

Ülesanded

1. Leidke sirge prisma pindala, mille põhjas on romb, mille diagonaalid on 3 ja 4 ning külgserv on 5.

Vastus: 62.

2. Sirge prisma põhjas asub romb, mille diagonaalid on 6 ja 8. Selle pindala on 248. Leidke selle prisma külgserv.

Vastus: 10.

3. Leidke korrapärase nelinurkse prisma külgserv, kui selle aluse küljed on 3 ja pindala on 66.

Vastus: 4.

4. Tavalist nelinurkset prismat kirjeldatakse ümber silindri, mille aluse raadius ja kõrgus on 2. Leidke prisma külgpinna pindala.

Vastus: 32.

5. Tavalist nelinurkset prismat kirjeldatakse ümber silindri, mille aluse raadius on 2. Prisma külgpinna pindala on 48. Leia silindri kõrgus.

Sirge prisma (kuusnurkne korrapärane)

Prisma, mille külgservad on alustega risti ja alused on võrdsed ruudud.

1. Külgpinnad - võrdsed ristkülikud

2. Aluse pool

Ülesanded

1. Leidke korrapärase kuusnurkse prisma ruumala, mille aluse küljed on 1 ja külgservad on võrdsed.

Vastus: 4.5.

2. Leidke korrapärase kuusnurkse prisma külgpindala, mille aluse küljed on 3 ja kõrgus on 6.

Vastus: 108.

3. Leidke korrapärase kuusnurkse prisma ruumala, mille kõik servad on võrdsed √3.

Vastus: 13.5

4. Leidke korrapärase kuusnurkse prisma ABCDEFA1B1C1D1E1F1 hulktahuka ruumala, mille tipud on punktid A, B, C, D, A1, B1, C1, D1, mille aluse pindala on 6 ja külgserv on 2 .

Sirge prisma (suvaline n- kivisüsi)

Prisma, mille külgmised servad on alustega risti ja alused on võrdsed n-nurksed.

1. Kui alus on korrapärane hulknurk, siis on külgpinnad võrdsed ristkülikud.

2. Aluse pool .

Püramiid

Püramiid on hulktahukas, mis koosneb n-nurgast A1A2 ... AnA1 ja n kolmnurgast (A1A2P, A1A3P jne).

1. Püramiidi põhjaga paralleelne lõik on alusetaoline hulknurk. Ristlõike ja aluse pindalasid nimetatakse nende kauguste ruutudeks püramiidi tipust.

2. Püramiidi nimetatakse korrapäraseks, kui selle alus on korrapärane hulknurk ja tipp projitseeritakse aluse keskmesse.

3. Korrapärase püramiidi kõik külgmised servad on võrdsed ja külgservad on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad.

4. Tavalise püramiidi külgpinna kõrgust nimetatakse apoteemiks.

5. Tavalise püramiidi külgpind on võrdne poolega aluse perimeetri korrutisest, mis on korrutatud apoteemiga.

Ülesanded

1. Mitu korda suureneb korrapärase tetraeedri ruumala, kui kõik selle servad on kahekordistunud?

Vastus: 8.

2. Korrapärase kuusnurkse püramiidi aluse küljed on 10, külgservad 13. Leia püramiidi külgpinna pindala.

Vastus: 360.

5. Leia joonisel kujutatud püramiidi ruumala. Selle alus on hulknurk, mille külgnevad küljed on risti ja üks külgservadest on põhitasandiga risti ja võrdub 3-ga.

Vastus: 27.

6. Leidke korrapärase kolmnurkse püramiidi ruumala, mille aluse küljed on 1 ja kõrgus on võrdne.

Vastus: 0,25.

7. Kolmnurkse püramiidi külgservad on üksteisega risti, igaüks neist on võrdne 3. Leia püramiidi ruumala.

Vastus: 4.5.

8. Korrapärase nelinurkse püramiidi aluse diagonaal on 8. Külgserv on 5. Leia püramiidi ruumala.

Vastus: 32.

9. Tavalises nelinurkses püramiidis on kõrgus 12, ruumala 200. Leia püramiidi külgserv.

Vastus: 13.

10. Tavalise nelinurkse püramiidi aluse küljed on 6, külgservad on 5. Leia püramiidi pindala.

Vastus: 84.

11. Korrapärase kuusnurkse püramiidi ruumala 6. Aluse külg on 1. Leia külgserv.

12. Mitu korda suureneb korrapärase tetraeedri pindala, kui kõik selle servad on kahekordistunud?

Vastus: 4.

13. Korrapärase nelinurkse püramiidi ruumala on 12. Leia püramiidi ruumala, mis on temast ära lõigatud aluse diagonaali ja vastaskülgserva keskosa läbiva tasapinnaga.

Vastus: 3.

14. Mitu korda väheneb oktaeedri ruumala, kui selle kõiki servi vähendada poole võrra?

Vastus: 8.

15. Kolmnurkse püramiidi ruumala on 15. Tasapind läbib selle püramiidi aluse külge ja lõikub selle vastaskülge servaga punktis, mis jagab selle suhtega 1:2, lugedes püramiidi tipust. Leia suurim püramiidide ruumaladest, milleks tasand algse püramiidi poolitab.

Vastus: 10.

16. Leidke korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus, mille aluse küljed on 2 ja ruumala on.

Vastus: 3.

17. Tavalises nelinurkses püramiidis on kõrgus 6, külgserv 10. Leia selle ruumala.

Vastus: 256.

18. Kolmnurksest püramiidist, mille ruumala on 12, lõigatakse kolmnurkne püramiid ära tasapinnaga, mis läbib püramiidi tippu ja aluse keskjoont. Leidke lõigatud kolmnurkse püramiidi ruumala.

Vastus: 3.

Silinder

Silinder - keha, mida piirab silindriline pind ja kaks piiridega ringi.

Keha maht	Külgmine pindala	Baaspindala	Kogupindala

1. Silindri generaatorid - aluste vahele suletud generatrix segmendid.

2. Silindri kõrgus on generatriksi pikkus.

3. Telglõik - ristkülik, mille kaks külge on generatriksid ja ülejäänud kaks on silindri aluste läbimõõdud.

4. Ringlõige - lõige, mille lõiketasand on risti silindri teljega.

5. Silindri külgpinna arendamine - ristkülik, mis kujutab silindri külgpinna kahte lõigatud serva piki generatrixit.

6. Silindri külgpinna pindala on selle pühkimispind.

7. Silindri kogupindala nimetatakse külgpinna ja kahe aluse pindalade summaks.

8. Palli saab alati kirjeldada silindri ümber. Selle keskpunkt asub kõrguse keskel. , kus R on sfääri raadius, r on silindri aluse raadius, H on silindri kõrgus.

9. Silindrisse saab kirjutada kuuli, kui silindri põhja läbimõõt on võrdne selle kõrgusega, .

Ülesanded

1. Osa lastakse silindrilisse anumasse, mis sisaldab 6 liitrit vett. Samal ajal tõusis vedeliku tase anumas 1,5 korda. Mis on osa maht?

Vastus: 3.

2. Leidke silindri ruumala, mille põhipindala on 1 ja generatriks on 6 ning on kallutatud alustasandi suhtes 30o nurga all.

Vastus: 3.

3. Silindril ja koonusel on ühine alus ja kõrgus. Leidke silindri maht, kui koonuse ruumala on 50.

Vastus: 150.

4. Vesi, mis oli 12 cm kõrgusel silindrilises anumas, valati kaks korda suurema läbimõõduga silindrilisse anumasse. Kui kõrgel on veetase teises laevas?

5. Silindri teljesuunalise osa pindala on võrdne. Leidke silindri külgpinna pindala.

Vastus: 2.

6. Regulaarset nelinurkset prismat kirjeldatakse ümber silindri, mille aluse raadius ja kõrgus on 2. Leidke prisma külgpinna pindala.

Vastus: 32.

7. Silindri põhja ümbermõõt on 3. Külgpinna pindala on 6. Leidke silindri kõrgus.

8. Üks silindriline ring on teisest kaks korda kõrgem, teine ​​aga poolteist korda laiem. Leidke teise ringi ruumala ja esimese ringi ruumala suhe.

Vastus: 1.125.

9. Silindrilises anumas ulatub vedeliku tase 18 cm.Millisel kõrgusel on vedelikutase, kui see valatakse teise anumasse, mille läbimõõt on 3 korda suurem kui esimene?

Vastus: 2.

Koonus

Koonus on keha, mis on piiratud koonilise pinna ja ringiga.

Keha maht	Külgmine pindala	Baaspindala	Kogupindala

1. Koonuse külgpinna pindala on selle pühkimispind.

2. Pühkimisnurga ja telglõike tipus oleva nurga suhe .

1. Silindril ja koonusel on ühine alus ja kõrgus. Leidke silindri maht, kui koonuse ruumala on 50.

Vastus: 150.

2. Leidke koonuse ruumala, mille põhipindala on 2 ja generatriks on 6 ning mis on põhitasandi suhtes 30o nurga all.

Vastus: 2.

3. Koonuse maht on 12. Paralleelselt koonuse põhjaga tõmmatakse lõik, mis jagab kõrguse pooleks. Leidke äralõigatud koonuse maht.

Vastus: 1.5.

4. Mitu korda on korrapärase nelinurkse püramiidi kohta kirjeldatud koonuse ruumala suurem kui sellesse püramiidi kantud koonuse ruumala?

Vastus: 2.

5. Koonuse kõrgus on 6, generatriks on 10. Leidke selle ruumala jagatuna.

Vastus: 128.

6. Silindril ja koonusel on ühine alus ja kõrgus. Leidke koonuse ruumala, kui silindri ruumala on 48.

Vastus: 16.

7. Koonuse aluse läbimõõt on 6 ja aksiaalse sektsiooni tipu nurk on 90 °. Arvutage koonuse ruumala jagatud arvuga.

8. Koonust kirjeldatakse korrapärase nelinurkse püramiidi kohta, mille aluse külg on 4 ja kõrgus 6. Leia selle ruumala jagatuna.

9. Koonus saadakse võrdhaarse täisnurkse kolmnurga pööramisel ümber jala, mis on võrdne 6-ga. Leia selle ruumala jagatuna.

Kera ja pall

Kera on pind, mis koosneb kõigist ruumipunktidest, mis asuvad antud punktist teatud kaugusel. Pall on keraga piiratud keha.

1. Sfääri läbilõige tasapinna järgi on ringjoon, kui kaugus kera keskpunktist tasapinnani on väiksem kui kera raadius.

2. Sfääri läbilõige tasapinna järgi on ringjoon.

3. Kera puutuja on tasapind, millel on sfääriga ainult üks ühine punkt.

4. Sfääri ja tasandi puutepunktini tõmmatud kera raadius on puutujatasandiga risti.

5. Kui sfääri raadius on risti selle sfääril asetseva otsa läbiva tasapinnaga, siis on see tasand sfääri puutuja.

6. Hulktahukat nimetatakse kera ümber piiratuks, kui sfäär puudutab kõiki selle tahke.

7. Ühest punktist tõmmatud sfääri puutujate lõigud on võrdsed ja moodustavad seda punkti ja sfääri keskpunkti läbiva sirgjoonega võrdsed nurgad.

8. Kera on kantud silindrilisele pinnale, kui see puudutab kõiki selle generaatoreid.

9. Kera on kantud koonilisele pinnale, kui see puudutab kõiki selle generaatoreid.

Ülesanded

1. Kahe kuuli raadiused on 6 ja 8. Leidke kuuli raadius, mille pindala on võrdne nende pindade pindalade summaga.

Vastus: 10.

2. Palli suure ringi pindala on 1. Leia palli pindala.

3. Mitu korda suureneb sfääri pindala, kui selle raadius kahekordistub?

4. Kolme kuuli raadiused on võrdsed 3, 4 ja 5. Leidke kuuli raadius, mille ruumala on võrdne nende ruumalade summaga.

Vastus: 6.

5. Kirjeldatakse ristkülikukujulist rööptahukat raadiusega 2 sfääri ümber. Leia selle pindala.

Vastus: 96.

6. Kuubik on kantud raadiusega kuuli. Leidke kuubi pindala.

Vastus: 24.

7. Kirjeldatakse ristkülikukujulist rööptahukat raadiusega 2 sfääri ümber. Leidke selle ruumala.

8. Kera ümber piiratud ristkülikukujulise rööptahuka ruumala on 216. Leidke kera raadius.

Vastus: 3.

9. Kera ümber piiritletud ristkülikukujulise rööptahuka pindala on 96. Leidke sfääri raadius.

Vastus: 2.

10. Kuuli lähedal on kirjeldatud silindrit, mille külgpind on 9. Leia palli pindala.

Vastus: 9.

11. Mitu korda on kuubi kohta kirjeldatud palli pindala suurem kui samasse kuubi kantud kuuli pindala?

Vastus: 3.

12. Kuubik on kantud raadiusega kuuli. Leidke kuubi maht.

Vastus: 8.

Komposiitpolühedra

Ülesanded

1. Joonisel on hulktahukas, kõik hulktahuka kahetahulised nurgad on sirged. Leia tippude A ja C2 vaheline kaugus.

Vastus: 3.

2. Leia joonisel kujutatud hulktahuka nurk CAD2. Kõik hulktahuka kahetahulised nurgad on sirged. Esitage oma vastus kraadides.

Vastus: 60.

3. Leidke joonisel kujutatud hulktahuka pindala (kõik kahetahulised nurgad on õiged).

Vastus: 18.

4. Leidke joonisel kujutatud hulktahuka pindala (kõik kahetahulise nurgad on õiged).

Vastus: 132

5. Leidke joonisel kujutatud ja ühikkuubikutest koosneva ruumilise risti pindala.

Vastus: 30

6. Leia joonisel kujutatud hulktahuka ruumala (kõik kahetahulise nurgad on õiged).

Vastus: 8

7. Leia joonisel kujutatud hulktahuka ruumala (kõik kahetahulise nurgad on õiged).

Vastus: 78

8. Joonisel on hulktahukas, kõik hulktahuka kahetahulised nurgad on sirged. Leidke nurga ABB3 puutuja.

Vastus: 2

10. Joonisel on hulktahukas, kõik hulktahuka kahetahulised nurgad on sirged. Leidke nurga C3D3B3 puutuja.

Vastus: 3

11. Läbi kolmnurkse prisma aluse keskjoone tõmmatakse külgribaga paralleelne tasapind. Leidke prisma külgpindala, kui kärbitud kolmnurkse prisma külgpindala on 37.

Vastus: 74.

12. Joonisel on hulktahukas, kõik hulktahuka kahetahulised nurgad on sirged. Leidke B2 ja D3 vahelise kauguse ruut.

Vastus: 11.