Suurim väärtus intervallis. Suurimad ja väiksemad väärtused funktsiooni segmendis. Väärtuste suurimate ja väiksemate väärtuste leidmise ülesanded

19.02.2021 Tüsistused

Funktsioonide ja nende graafikute uuring on teema, mis pöörab erilist tähelepanu keskkoolide kooliprogrammi raames. Mõned matemaatilise analüüsi sihtasutused - diferentseerimine kuuluvad eksami profiili tasemele matemaatikas. Mõnedel koolilastel on probleeme selle teemaga, kuna nad segavad funktsiooni ja derivaadi graafika ning unustama algoritme. See artikkel kaalub peamisi ülesandeid ja kuidas neid lahendada.

Mis on funktsiooni tähendus?

Matemaatiline funktsioon on eriline võrrand. See loob numbrite vahelise suhte. Funktsioon sõltub argumendi väärtusest.

Funktsiooni väärtus arvutatakse vastavalt antud valemile. Selleks asendada kõik argumendid, mis vastavad lubatud väärtuste pindalale selles valemis ja vajalikud matemaatilised toimingud. Milline?

Kuidas leida funktsiooni väikseima funktsiooni funktsiooni abil?

Argumendist sõltuvuse funktsiooni graafilist pilti nimetatakse funktsiooni graafikuks. See on ehitatud tasapinnal konkreetse ühiku segmendiga, kus muutuja väärtus või argument on paigutatud piki Abscissa horisontaalset telje ja vastavalt ordinaadi vertikaalsele teljele - sellele vastava funktsiooni.

Mida suurem on argumendi väärtus, asub see punktis tabelis. Ja mida suurem on funktsiooni väärtus, seda suurem on punkt.

Mida ütleb see? Funktsiooni väikseim väärtus on punkt, mis asub kogu ajakava all. Selleks, et leida selle graafiku segmendis, vajate:

1) Leia ja märkige selle segmendi otsad.

2) visuaalselt määrata, milline punkt selle segmendi all on allpool kõik.

3) Vastuseks kirjutage oma numbriline väärtus, mida saab määrata ordinaat telje punkti alla.

tuletisinstrumendil. Kust otsida?

Ülesannete lahendamisel antakse siiski ajakava funktsiooni, kuid selle derivaat. Selleks, et kogemata mitte lubada loll viga, siis on parem hoolikalt lugeda tingimusi, sest see sõltub sellest, kus sa pead otsima äärmuslikke punkte.

Niisiis on derivaat funktsiooni hetkeline suurenemine. Geomeetrilise määratluse kohaselt vastab derivaat tangentsiaalsele nurk- koefitsiendile, mis on otseselt läbi viidud.

On teada, et äärepoolseimate puutetundlikkuse korral paralleelselt oxi-teljega. See tähendab, et tema nurk koefitsient on 0.

Sellest saame järeldada, et äärmuslikus punktides seisneb derivaat Abscissa teljel või muutub nulliks. Kuid lisaks nendele punktidele muudab funktsioon oma suunda. See tähendab, et pärast kasvava perioodi algust hakkab see vähenema ja tuletissaaja vastavalt asendatud positiivse negatiivse. Või vastupidi.

Kui derivaat positiivne muutub negatiivseks - see on maksimaalne punkt. Kui negatiivne muutub positiivseks - minimaalne punkt.

TÄHTIS: Kui ülesanne nõuab minimaalset või maksimaalset punkti, siis vastava väärtuse piki Abscissa telje tuleks kirjutada. Aga kui soovid leida funktsiooni väärtuse, peate kõigepealt asendama funktsiooni vastava väärtuse ja arvutama selle.

Kuidas leida esurm punkte kasutades derivaat?

Vaadeldavad näited on seotud peamiselt eksami numbri 7 ülesandega, mis tähendab tööd graafiku tuletisinstrumendi või primitiivse tööga. Kuid ülesanne on 12 EGE - leida segmendi funktsiooni väikseim väärtus (mõnikord suurim) - ilma joonisteta ja nõuab matemaatilise analüüsi põhioskusi.

Selle täitmiseks peate olema võimeline leidma derivaadiga äärmuslikke punkte. Algoritmi nende asukoha on:

Leia funktsiooni derivaat.
Võrdse nulliga.
Leia võrrandi juured.
Kontrollige, kas saadud punktid on äärmuslikud või inflatsioonpunktid.

Selleks on vaja skeemi ja saadud ajavahemike järel kindlaks määrata derivaadi märke, asendades derivaadi segmentidele kuuluvaid numbreid. Kui võrrandi lahendamisel saite topelt mitmekordsuse juured - need on kiidud.

Teoreemide rakendamine, millised punktid on minimaalse punktid ja mis on maksimaalne.

Arvutamine väikseima väärtuse funktsiooni kasutades derivaat

Kuid kõigi nende tegevuste lõpuleviimisega leiame minimaalsete punktide väärtused ja maksimaalse Abscissa telje väärtused. Aga kuidas leida segmendi funktsiooni väikseim väärtus?

Mida tuleb teha selleks, et leida funktsioon, mis vastab funktsioonile konkreetses punktis? On vaja asendada argumendi väärtus selles valemisse.

Minimaalne ja maksimaalne punktid vastavad segmendi funktsiooni väikseimale ja suurimale väärtusele. Niisiis, et leida funktsiooni väärtus, peate arvutama funktsiooni kasutades saadud X.

Oluline! Kui ülesanne nõuab minimaalset või maksimaalset punkti, siis vastuseks kirjutada vastav väärtus mööda Abscissa teljel. Aga kui teil on vaja leida funktsiooni väärtuse, peate kõigepealt asendama vastava väärtuse argumendi funktsioonile ja täitma vajalikud matemaatilised toimingud.

Mis siis, kui selle segmendi minimaalsed punktid ei ole?

Aga kuidas leida väikseim väärtus funktsiooni segmendile, millel ei ole esurm punkte?

See tähendab, et see on funktsiooni monotoonselt väheneb või suureneb. Seejärel peab funktsioon asendama selle segmendi äärmuslike punktide väärtuse. On kaks võimalust.

1) tuletisinstrumendi ja lünkade arvutamine, millele see on positiivne või negatiivne, järeldada, et selle segmendi funktsioon väheneb või suureneb.

Vastavalt neile asendada suurem või vähem argument väärtus.

2) Asendage mõlemad punktid funktsiooni ja võrrelge saadud funktsiooni väärtusi.

Millistes ülesannetes on tuletisinstrumendi järeldus vabatahtlik

Reeglina vajavad eksami ülesannetes endiselt tuletist leida. On ainult paar erandit.

1) parabool.

Parabola ülemine osa asub vastavalt valemile.

Kui A.< 0, то ветви параболы направлены вниз. И ее вершина является точкой максимума.

Kui A\u003e 0, siis paraboola oksad on suunatud ülespoole, ülemine osa on minimaalne punkt.

Olles arvutanud Pidelabila tipu punkti, on vaja asendada selle väärtuse funktsiooni ja arvutada vastava funktsiooni väärtuse.

2) Y \u003d TG X funktsioon. Või y \u003d ctg x.

Need funktsioonid kasvavad monotoonselt. Seetõttu seda suurem on argumendi väärtus, seda suurem on funktsiooni väärtus ise. Järgmisena me vaatame, kuidas leida suurim ja väikseim väärtus funktsiooni segmendis näited.

Peamised ülesannete liigid

Ülesanne: funktsiooni suurim või väikseim väärtus. Näide diagrammile.

Joonisel näete intervalli f (x) f (x) graafikut [-6; 6]. Millisel hetkel on segment [-3; 3] F (x) võtab väikseima väärtuse?

Niisiis, alustada, valige määratud segment. Sellel võtab funktsioon kord nullväärtuse ja muudab selle kaubamärgi - see on äärmuslik punkt. Kuna negatiivse derivaat muutub positiivseks, tähendab see, et punkt on minimaalne funktsioon. See punkt vastab argumendi väärtusele 2.

Me kaalume jätkuvalt näiteid. Ülesanne: Leia suurim ja väikseim väärtus funktsiooni segmendis.

Leidke funktsiooni Y \u003d (x-8) E x-7 väikseim väärtus segmendis.

1. Võta tuletatud keerulisest funktsioonist.

y "(x) \u003d (x - 8) E x-7 \u003d (x-8)" (E x-7) + (X-8) (E x-7) "\u003d 1 * (E x-7) + (x - 8) (E x-7) \u003d (1 + x-8) (E x-7) \u003d (x-7) (E x-7)

2. Võrdlik tuletisinstrument nulli ja lahendada võrrandit.

(X - 7) (E x-7) \u003d 0

x - 7 \u003d 0 või E x-7 \u003d 0

x \u003d 7; E x-7 ≠ 0, no juured

3. Asendage äärmuslike punktide väärtus, samuti võrrandi juured.

y (6) \u003d (6 - 8) E 6-7 \u003d -2E -1

y (7) \u003d (7 - 8) E 7-7 \u003d -1 * E 0 \u003d -1 * 1 \u003d -1

y (8) \u003d (8 - 8) E 8-7 \u003d 0 * E 1 \u003d 0

Niisiis, et käesolevas artiklis peetakse peamist teooriat selle kohta, kuidas leida funktsiooni väikseima väärtuse segmendis vajaliku segmendi edukalt lahendada EGE profiili matemaatika ülesannete täitmiseks. Samuti kasutatakse matemaatilise analüüsi elemente eksamiosast ülesannete lahendamisel, kuid ilmselgelt esindavad nad teistsugust keerukust ja nende lahendusi algoritme on ühe materjali raames raske sobida.

Vaatame, kuidas uurida graafiku abil funktsiooni. Tuleb välja, et vaatas ajakava, saate teada kõike, mis meid huvitab, nimelt:

funktsioonide määratluspiirkond
funktsiooniväärtused
nullfunktsioon
suurendamise ja kahanemise lüngad
maksimaalne ja minimaalne punkt
suurim ja väikseim väärtus funktsiooni segmendis.

Selgita terminoloogia:

Abscissa - See on horisontaalne punkti koordinaat.
Ordinaat - Vertikaalne koordinaat.
Axis Abscissa - horisontaalne telg, mida kõige sagedamini nimetatakse teljeks.
Axis Ordinate - vertikaaltelje või telje.

Argument - sõltumatu muutuja, millele funktsiooni väärtused sõltuvad. Kõige sagedamini on näidatud.
Teisisõnu, me ise valida, asendada funktsiooni valemis ja saada.

Domeen Funktsioonid on nende argumendi väärtuste kogum (ja ainult need), kus funktsioon on olemas.
Määratud: Or.

Meie joonisel on põllu määratluse ala segment. See on selles segmendis, et funktsioon on joonistatud. Ainult siin on see funktsioon.

Funktsiooniväärtused - See on väärtuste kogum, mis muutuja võtab. Meie arv on segment - madalaimast kõrgeimale väärtusele.

Nullfunktsioon - punktid, kus funktsiooni väärtus on , see on. Meie joonisel on punktid ja.

Funktsiooni väärtused on positiivsed Kus. Meie joonisel on need lüngad ja.
Funktsiooni väärtused on negatiivsed Kus. Meil on see lõhe (või intervall) alates.

Kõige olulisemad mõisted - funktsiooni kasvav ja vähenemine Mingil määral. Võite võtta segmenti, intervalli, lünkade integreerimist või kogu numbrilist otsest otsest integreerimist.

Ülesanne suurenema

Teisisõnu, seda rohkem, seda rohkem, see tähendab, et ajakava läheb paremale ja üles.

Ülesanne vähenema Komplekti kohta, kui mis tahes ja mis kuulub komplekti, jälgib ebavõrdsus ebavõrdsust.

Funktsiooni vähendamiseks vastab suurem väärtus väiksemale väärtusele. Ajakava läheb paremale ja alla.

Meie joonisel suureneb funktsioon intervalliga ja väheneb intervallidega ja.

Me määratleme, mida maksimaalne punkt ja minimaalne funktsioon.

Maksimaalne punkt - See on määratlemispiirkonna sisemus, nii et funktsiooni väärtus on suurem kui kõigis selle lähedastes punktides.
Teisisõnu, maksimaalne punkt on selline punkt, mille funktsiooni väärtus rohkemkui naaberriigis. See on diagrammi kohalik "Holmik".

Meie joonistus - maksimaalse punkti.

Miinimumini - Määratlemispiirkonna sisemus, nii et selle funktsiooni väärtus on väiksem kui kõigis selle lähedastes punktides.
See tähendab, et miinimumpunkt on selline, et funktsiooni väärtus selles on väiksem kui naaberriigis. Ajakavas on kohalik "Fossa".

Meie joonises - minimaalne punkt.

Point on piir. See ei ole määratluspiirkonna sisepunkt ja seetõttu ei vasta see maksimaalse punkti määratlusele. Lõppude lõpuks ei ole tal vasakul naabrid naabreid. Samamoodi ei saa meie ajakava kohta olla minimaalse punkti.

Maksimaalselt ja minimaalseid punkte nimetatakse eringemfunktsiooni punktid. Meie puhul on see.

Ja mida teha, kui teil on vaja leida näiteks minimaalne funktsioon Segmendis? Sel juhul vastus :. Sest minimaalne funktsioon - See on selle väärtus minimaalselt.

Sarnaselt maksimaalselt meie funktsioon on võrdne. See saavutatakse punktis.

Võib öelda, et funktsiooni äärmused on võrdsed ja.

Mõnikord on vaja ülesannetes leida funktsiooni suurimad ja väiksemad väärtused Antud segmendis. Nad ei pruugi tingimata kattuda äärmustega.

Meie puhul funktsiooni väikseim tähendus Segmendis võrdub ja langeb kokku minimaalse funktsiooniga. Kuid selle segmendi suurim väärtus on võrdne. See saavutatakse segmendi vasakus otsas.

Igal juhul saavutatakse segmendi pideva funktsiooni suurimad ja väiksemad väärtused kas äärmuspunktides või segmendi otsas.

Standardne algoritm selliste ülesannete lahendamiseks tähendab pärast funktsiooni nullide leidmist, määrates derivaadi märgid intervallidel. Seejärel arvutatakse väärtuste arvutamine maksimaalse (või minimaalse) ja intervalli piiripunktidesse, sõltuvalt sellest, milline küsimus on tingimusel.

Ma soovitan teil teha veidi erinevalt. Miks? Kirjutas sellest.

Teen ettepaneku lahendada sellised ülesanded järgmiselt:

1. Leia derivaat.
2. Leia nulli derivaat.
3. Määrake, milline neist kuulub sellele intervallile.
4. Arvutage funktsiooni väärtused punktile 3 intervalli piirides ja punktides.
5. Lõpetame (küsimusele vastamine).

Esitatavate näidete lahendamisel ei käsitleta ruutvõrrandite lahendust üksikasjalikult, see peaks suutma teha. Samuti peaks teadma.

Mõtle näiteid:

77422. Leidke funktsiooni suurim väärtus Y \u003d X 3 -3x + 4 segmendis [-2; 0].

Leiame Zerose derivaati:

Tingimuses määratud intervall kuulub punkti x \u003d -1.

Arvutage funktsiooni väärtused punktides -2, -1 ja 0:

Funktsiooni suurim väärtus on 6.

Vastus: 6.

77425. Leia segmendi segmendi väikseim väärtus Y \u003d x 3 - 3x 2 + 2.

Leidke antud funktsiooni derivaat:

Leiame Zerose derivaati:

Tingimuses määratud intervall kuulub punkti x \u003d 2.

Arvuta funktsiooni väärtused punktides 1, 2 ja 4:

Väikseim funktsiooni väärtus on -2.

Vastus: -2.

77426. Leidke funktsiooni Y \u003d x 3 - 6x 2 suurim väärtus segmendis [-3; 3].

Leidke antud funktsiooni derivaat:

Leiame Zerose derivaati:

Tingimuses määratud intervall kuulub punkti x \u003d 0.

Arvutage funktsiooni väärtused punktides -3, 0 ja 3:

Väikseim funktsiooni väärtus on 0.

Vastus: 0.

77429. Leia funktsiooni Y \u003d x 3 - 2x 2 + x +3 väikseim väärtus segmendis.

Leidke antud funktsiooni derivaat:

3x 2 - 4x + 1 \u003d 0

Me saame juured: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

Seisundis määratud intervall kuulub ainult x \u003d 1.

Leidke funktsiooni väärtused punktides 1 ja 4:

Saada, et väikseim funktsiooni väärtus on 3.

Vastus: 3.

77430. Leia funktsiooni Y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 kõrgeim väärtus segmendis [- 4; -One].

Leidke antud funktsiooni derivaat:

Leiame tuletisinstrumendi derivaat, lahendada ruudu võrrandi:

3x 2 + 4x + 1 \u003d 0

Me saame juured:

Seisundis määratud intervall omab root x \u003d -1.

Leiame funktsiooni väärtused punktides -4, -1, -1/3 ja 1:

Saadud, et funktsiooni suurim väärtus on 3.

Vastus: 3.

77433. Leia segmendi funktsiooni Y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 väikseim väärtus.

Leidke antud funktsiooni derivaat:

Leiame tuletisinstrumendi derivaat, lahendada ruudu võrrandi:

3x 2 - 2x - 40 \u003d 0

Me saame juured:

Seisundis määratud intervall omab root x \u003d 4.

Me leiame funktsiooni väärtused punktides 0 ja 4:

Saadud, et väikseim funktsioon väärtus on -109.

Vastus: -109

Mõelge meetodile, et määrata kindlaks funktsioonide suurimate ja väiksemate väärtuste kindlaksmääramine ilma derivaadita. Seda lähenemisviisi saab kasutada, kui teil on suured probleemid derivaadi määratlusega. Põhimõte on lihtne - funktsiooni me asendame kõiki täisarvudest intervalliga (fakt on see, et kõik sellises prototüüpides vastus on täisarv).

77437. Leidke segmendi funktsiooni Y \u003d 7 + 12x-X3 väikseim väärtus [-2; 2].

Me asendame punkte -2 kuni 2: Vaadake otsust

77434. Leidke funktsiooni Y \u003d x 3 + 2x 2-4x + 4 suurim väärtus segmendis [-2; 0].

See on kõik. Edu teile!

Lugupidamisega, Alexander Krutitsky.

P.S: Ma olen tänulik, kui te räägite sotsiaalsete võrgustike saidilt.

Probleemide avaldus 2:

Dana funktsioon, määratletud ja pidev mõnes ajavahemikus. See on kohustatud leidma selle intervalli funktsiooni suurima (väikseima) väärtuse.

Teoreetiline alus.
Teoreem (teine \u200b\u200bWeierstrass Theorem):

Kui funktsioon määratakse ja pidev suletud lõhe, siis jõuab suuremate ja väikseimate väärtustega.

Funktsioon võib jõuda oma suurimate ja väikseimate väärtusteni või lõhe sisemises punktides või selle piiridel. Me illustreerime kõiki võimalikke võimalusi.

Selgitus:
1) funktsioon jõuab suurema väärtuse vasakpoolse piiri lõhe punktis ja selle väikseim väärtus paremale piiri lõhe punktis.
2) Funktsioon jõuab oma kõrgeima väärtuse juurde (see on maksimaalne punkt) ja selle väikseim väärtus lõhe paremale piirile.
3) funktsioon jõuab oma kõrgeima väärtuse vasakpoolse piiri lõhe punktis ja selle väikseim väärtus punktis (see on minimaalne punkt).
4) funktsioon on intervalliga konstantne, s.o. See jõuab oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse mis tahes punktiga mis tahes punktis ja minimaalsed ja maksimaalsed väärtused on üksteisega võrdsed.
5) funktsioon jõuab kõrgeima väärtuse hetkel ja selle väikseim punkti väärtus (hoolimata asjaolust, et funktsioon on selles vahe maksimaalse ja vähemalt).
6) Funktsioon jõuab oma kõrgeima väärtuse juurde (see on maksimaalne punkt) ja selle väikseim väärtus punktis (see on minimaalne punkt).
Kommentaar:

"Maksimaalne" ja "maksimaalne tähendus" - erinevad asjad. See tuleneb maksimaalse ja intuitiivse mõistmise määramisest fraasist "Maksimaalne tähendus".

Algoritm probleemide lahendamisel 2.

4) valida kõige rohkem väärtusi suurima (väikseima) ja kirjutada vastus.

Näide 4:

Määrake suurim ja väikseim funktsioon Segmendil.
Otsus:
1) Leia tuletatud funktsioon.

2) Leia statsionaarsed punktid (ja punktid, kahtlased ekstrem), lahendades võrrandi. Pöörake tähelepanu punktidele, kus puudub kahepoolne piiratud derivaat.

3) Arvutage funktsiooni väärtused statsionaarsetes punktides ja intervallipiiridele.

4) valida kõige rohkem väärtusi suurima (väikseima) ja kirjutada vastus.

Selle segmendi funktsioon jõuab kõrgeima väärtuse kohapeal koordinaatidega.

Selle segmendi funktsioon jõuab oma väikseima väärtuse kohapeal koordinaatidega.

Arvutuste õigsusel saate vaadata kindlasti uuringu ajakava.

Kommentaar: Suurim väärtus jõuab piirkonna maksimaalse ja väikseim on lõigatud piiril.

Privaatne juhtum.

Oletame, et teil on vaja leida segmendis kõige rohkem minimaalse väärtuse. Pärast algoritmi esimest punkti, st Tuletisinstrumendi arvutamine selgub, et näiteks kulub ainult negatiivseid väärtusi kogu segmendis. Pidage meeles, et kui derivaat on negatiivne, väheneb funktsioon. Sai, et funktsioon väheneb kogu segmendis. See olukord kuvatakse artikli alguses 1 graafikul 1.

Segmendis väheneb funktsioon, st. Tal ei ole äärmusi. Alates pildist näete, et väikseim väärtus funktsiooni võtab vastu õige segmendi piiri ja suurim väärtus on vasakul. Kui segmendis olev derivaat on positiivne kõikjal, suureneb funktsioon. Väikseim tähendus on segmendi vasakul äärel, suurim - paremal.

Ja selle lahendamiseks vajab teema minimaalset teadmist. Teine õppeaasta lõpeb, igaüks tahab puhkusel murda ja tuua sel hetkel selle hetke tuua, pöördun kohe kohtuasjale:

Alustame piirkonnaga. Piirkonda, mis kulub tingimuses piiratud suletud Paljud lennukite punktid. Näiteks kolmnurga poolt piiratud punktide komplekti, kaasa arvatud kogu kolmnurk (kui sellepärast, et piire "Osta" vähemalt ühe punkti, siis lakkab piirkonda suletud). Praktikas on olemas ka ristkülikukujulised, ümmargused ja veidi keerulisemad vormid. Tuleb märkida, et matemaatilise analüüsi teoorias on ranged määratlused. piirangud, lähendajad, piirid jneAga ma arvan, et kõik on teadlikud nendest kontseptsioonidest intuitiivse taseme ja rohkem ja nüüd ei tee seda.

Lame ala on tähed tähistatud tähega ja reeglina on seatud analüütiliselt - mitu võrrandit (mitte tingimata lineaarne); Vähem sageli ebavõrdsus. Tüüpiline verbaalne käive: "Suletud ala Liinidega piiratud ala."

Vaatlusaluse ülesande lahutamatu osa on joonise ala ehitamine. Kuidas seda teha? Sa pead joonistama kõik loetletud read (antud juhul 3 sirge) Ja analüüsige, mis juhtus. Soovitud ala on tavaliselt veidi paiknev ja selle piir eristub rasvane joon:

Sama ala saab seadistada ja lineaarne ebavõrdsus: See kirjutage mingil põhjusel sagedamini ülemineku nimekirja järgi ja mitte süsteem.
Kuna piir kuulub piirkonnale, siis kõik ebavõrdsused, muidugi neztreat.

Ja nüüd ülesande sisu. Kujutage ette, et alates koordinaatide algusest läheb telg otse. Mõtle funktsiooni, mis pidev igas Piirkonna punkt. Selle funktsiooni ajakava on mõned pindJa vähe õnne on see tänase ülesande lahendamiseks, me ei pea üldse teadma, kuidas see pind välja näeb. Seda saab alla paigutada allpool, ületada lennuk - kõik see ei ole oluline. Ja järgmine on: vastavalt weierstrass teoreemid, pidev sisse piiratud suletudpiirkonnad funktsioon jõuab suurima ("Kõrge") ja väikseim ("Madal" ise) Väärtused, mis on vajalikud. Sellised väärtused saavutatakse või sisse statsionaarsed punktid, omandis olevad piirkonnadD. , võipunktides, mis asuvad piiril piiril. Mis järgib lihtsat ja läbipaistvat lahendust algoritmi:

Näide 1.

Piiratud suletud alal

Otsus: Esiteks peate joonistamise ala kujutama. Kahjuks on minu jaoks tehniliselt raske teha ülesande interaktiivse mudeli ja seetõttu annan kohe lõpliku illustratsiooni, mis näitab uuringu ajal kõiki kahtlaseid "punkte. Tavaliselt kinnitatakse need üksteise poolt, kui need avastatakse:

Põhineb preambuli lahendus on mugav purustada kaks punkti:

I) leida statsionaarseid punkte. See on tavaline tegevus, mida oleme õppetund korduvalt läbi viidud. mitmete muutujate äärmuste kohta:

Leitud statsionaarne punkt kuulub Piirkonnad: (Me tähistame seda joonises)Niisiis peaksime arvutama selle funktsiooni väärtuse selles küsimuses:

- nagu artiklis Funktsiooni suurimad ja väiksemad väärtused segmendisOlulised tulemused rõhutan julge fondi. Sülearvuti nad on mugav ringi pliiats.

Pöörake tähelepanu meie teisele õnnele - kontrollimine puudub eringem seisund. Miks? Isegi kui funktsioon jõuab näiteks funktsiooni, kohalik miinimumSiis see ei tähenda, et saadud väärtus on minimaalne Kogu piirkonnas (Vt õppetunni algust tingimusteta äärmuslike) .

Mis siis, kui statsionaarne punkt ei kuulu piirkonda? Peaaegu mitte midagi! Tuleb märkida, et ja minna järgmisele elemendile.

Ii) uurida piirkonna piiri.

Kuna piirneb kolmnurga külgedest, siis on uuring mugav jagada 3 lõiku. Aga see on parem seda teha mitte ababa. Minu seisukohast on kõigepealt soodsam kaaluda koordinaatide telgede paralleelseid segmente ja kõigepealt kõrvaldades teljed ise. Kogu järjestuse ja tegevuse loogika püüda proovida lõpetamist "ühe hinge":

1) Me tegeleme kolmnurga alumise küljega. Selleks asendame otse funktsiooni otse:

Teise võimalusena saate korraldada ja nii:

Geomeetriliselt tähendab see, et koordinaattasapind (Mis on seatud ka võrrandi poolt) "Carvess" alates pind "Ruumiline" parabool, mille tipp on kohe kahtluse alla. Teada saama kus ta asub:

- sellest tulenev väärtus "tabas" piirkonda ja võib olla see, et punkt (tähistage joonisel) Funktsioon jõuab suure või väikseima väärtuse kogu piirkonnas. Igatahes, teostada arvutus:

Muud "kandidaadid" on muidugi segmendi otsad. Arvutage funktsiooni väärtused punktides (tähistage joonisel):

Siin, muide, saate teha suulise mini-kontrolli "kärbitud" versiooni:

2) kolmnurga parema külje uurimiseks asendame funktsiooni ja "tellige seal":

Siinkohal teostavad kohe kontrolli projekti, "hüüdnime" segmendi lõpp on juba töödeldud:
Noh.

Geomeetriline olukord on seotud eelmise elemendiga:

- Saadud väärtus ka "läks meie huvide valdkonnas", mis tähendab, et see on vajalik arvutada, mis on võrdne funktsiooni funktsiooniga, mis ilmub:

Me uurime segmendi teist otsa:

Funktsiooni kasutamine , Tehke kontrollige kontrolli:

3) Tõenäoliselt kõik arvavad, kuidas ülejäänud uurida. Me asendame funktsiooni ja muudame lihtsustusi:

Lõikade otsad juba uuritud, kuid eelnõu veel kontrolli, kas oleme leidnud funktsiooni õigesti :
- langes kokku esimese lõigu tulemusega;
- langes kokku 2. lõigu tulemusega.

Jääb välja selgitada, kas segmendi sees on midagi huvitavat:

- seal on! Asendades rida võrrandile, saame selle "huvi" ordinate:

Märkime joonise punkti ja leida funktsiooni vastav väärtus:

Kontrollige "Eelarve" versiooni arvutusi :
, et.

Ja viimane samm: Vaadake hoolikalt kõiki "rasva" numbrit, mis hakkavad soovitama isegi ühe nimekirja koostamiseks:

Millest me valime suurimaid ja väikseimaid tähendusi. Vastus Me kirjutame peatamise ülesande stiili funktsiooni suurimad ja väiksemad väärtused segmendis:

Igaks juhuks kommenteerib taas tulemuse geomeetrilist tähendust:
- Siin on piirkonna kõrgeim pinnapunkt;
- Siin on piirkonna pinna madalaim punkt.

Lõpnumates ülesannetes oleme juba ilmnenud 7 "kahtlase" punkti, kuid ülesande ülesandelt on nende arv varieerub. Kolmepoolse ala jaoks koosneb kolmnurkse minimaalne "uurimispind" kolmest punktist. See juhtub siis, kui funktsioon, näiteks küsib lennuk - On äärmiselt selge, et statsionaarsed punktid puuduvad ja funktsioon võib saavutada suurimaid / väikseimaid väärtusi ainult kolmnurga tippudes. Aga sellised näited kord, kaks ja pöördus ümber - tavaliselt peavad tegelema mõned 2. tellimuse pind.

Kui teete selliseid ülesandeid veidi, siis kolmnurgad pea võib minna ringi ja seetõttu ma valmistasin teile ebatavalisi näiteid, et see muutub ruuduks :))

Näide 2.

Leia funktsioonide suurimad ja väiksemad väärtused Suletud piirkonnas piiratud liinidel

Näide 3.

Leidke funktsiooni suurimad ja väiksemad väärtused piiratud suletud piirkonnas.

Pöörake erilist tähelepanu piirkonna piiride uurimise ratsionaalsele järjekorrale ja tehnikale, samuti vahepealsete kontrollide ahelale, mis võimaldavad peaaegu absoluutselt lubada arvutivigade vältimist. Üldiselt saate lahendada nii, nagu soovite, kuid mõnedes ülesannetes, näiteks samas näites 2, on kõik võimalused oma elu oluliselt keerulisemaks raskendamiseks. Eeskujuliku valimi viimistlusülesannete lõppu lõpus õppetund.

Me süstematiseeritame lahenduse algoritmi ja seejärel minu ämbliku hoolikusega, ta kuidagi kaotas esimese näite pika lõnga kommentaarides:

- Esimeses etapis ehitame ala, see on soovitav raputada seda ja piir on rõhutada julge rida. Lahenduse ajal näivad joonisele paigaldatud punktid.

- leida statsionaarseid punkte ja arvutada funktsiooni väärtused ainult nende nendesmis kuuluvad piirkonda. Saadud väärtused eraldatakse tekstis (näiteks pliiatsit). Kui statsionaarne punkt ei kuulu piirkonda, siis tähistame seda asjaolu märgi või suuliselt. Kui üldse ei ole statsionaarseid punkte, siis teeme kirjaliku järelduse, et nad puuduvad. Igal juhul ei saa seda üksust vahele jätta!

- Uurige piirkonna piiri. Esiteks on kasulik tegeleda otse, mis on paralleelsed koordinaatide teljega (kui on olemas). Samuti eraldatakse kahtlastes punktides arvutatud funktsiooni väärtused. Solutsioonide tehnika kohta on väga palju öeldud ja midagi muud öeldakse allpool - Loe, uuesti lugeda, delikate!

- Valitud numbritest valige suurimad ja väiksemad väärtused ja annavad vastuse. Mõnikord juhtub, et sellised väärtused on mitu punktis korraga jõuavad - antud juhul peaksid kõik need punktid kajastuma vastuses. Laske näiteks Ja selgus, et see on väikseim tähendus. Seejärel kirjutage see

Lõplikud näited on pühendatud teistele kasulikele ideedele, mis on praktikas kasulikud:

Näide 4.

Leia suurimad ja väiksemad väärtused funktsiooni suletud ala .

Ma säilitasin autoriõiguse sõnastamise, milles piirkonda küsitakse kahekordse ebavõrdsuse kujul. Seda tingimust saab salvestada samaväärse süsteemiga või selle ülesande traditsioonilisema vormi abil:

Ma tuletan teile meelde mitteline Ebavõrdsus, millega me kokku puutusime, ja kui te ei mõista rekordi geomeetrilist tähendust, siis palun ärge lükake edasi ja selgitage olukorda kohe ;-)

OtsusNagu alati, algab piirkonna ehitamisega, mis on mingi "ainus":

Hmm, mõnikord peate Nibble mitte ainult graniit teadus ....

I) Leia statsionaarsed punktid:

Idioti unistuste süsteem :)

Statsionaarne punkt kuulub piirkonnale, nimelt asub selle piiril.

Ja nii, see, midagi ... Õppetund läks minna - see tähendab, et see tähendab, et juua õige tee \u003d)

Ii) uurida piirkonna piiri. Ilma Caustavita alustame Abscissa teljega:

1) Kui siis

Leiame, kus Parabola ülemine osa:
- Hinda selliseid hetki - "sai" otse punktiga, kus kõik on juba selge. Aga sa ikka ei unusta kontrolli:

Arvutame funktsiooni väärtused segmendi otstes:

2) allosas "tallad" mõistavad "ühe istungi jaoks" - ilma kompleksideta, mida me asendame, ja me oleme huvitatud segmendist:

Kontroll:

See aitas juba mõningaid taaselustada monotoonne sõita rullitud ruti juures. Leia kriitilised punktid:

Otsustama quadraatiline võrrand, pidage meeles sellist? ... Kuid pidage meeles, muidu muidu nad ei loe neid jooni \u003d) Kui kahes eelmises näites oli mugavad arvutused kümnendades fraktsioonides (mis muide, haruldus), siin me ootame tavalist tavalised fraktsioonid. Me leiame "ICX" juured ja võrrand, me määratleme vastavate punktide "kandidaatide" teadmatus "koordinaadid:

Arvuta funktsioonide funktsiooni leitud punktides:

Määrake funktsioon ise.

Nüüd uurib hoolikalt vallutatud trofeed ja kirjutage alla vastus:

Need on "kandidaadid", nii "kandidaadid"!

Iselahenduste jaoks:

Näide 5.

Leidke funktsiooni väikseimad ja suurimad väärtused Suletud alal

Registreerimisega seotud klambritega loetakse sellisena: "Paljud punktid, näiteks".

Mõnikord kasutatakse sellistes näidetes lagrange Multipilar meetodKuid tegelik vajadus rakendada ei tekiks ebatõenäoline. Näiteks, kui funktsioon on esitatud sama piirkonnaga "de", siis pärast seda asendamist - tuletisinstrumendiga mingeid raskusi; Ja see on koostatud "ühe reaga" (märkidega), ilma et oleks vaja kaaluda ülemist ja alumist poolringi eraldi. Aga muidugi on keerulisemad juhtumid, kus ilma Lagrange funktsioonita (kus näiteks sama ümbermõõdu võrdne) See on raske teha ilma selleta - kui raske see on teha ilma hea puhata!

Igaühel on seansi edasi minna peagi järgmisel hooajal!

Lahendused ja vastused:

Näide 2: Otsus: Näita ala joonisel: