Содержимое:

Параллельные прямые – это прямые, расстояние между которыми не меняется и которые никогда не пересекаются. В некоторых задачах дается прямая и точка, через которую нужно провести прямую, параллельную данной. Конечно, можно взять линейку и на глаз провести прямую, параллельную данной, но нет гарантий, что построенная прямая будет параллельна данной. При помощи геометрических законов и циркуля можно нанести дополнительные точки, через которые пройдет настоящая параллельная прямая.

Шаги

1 Построение перпендикуляров

1. 1 Данная точка не лежит на данной прямой – скорее всего, она находится выше или ниже прямой. Данную прямую обозначьте как m 2 Проведите дугу, которая пересечет данную прямую в двух точках. Для этого установите иглу циркуля в точке A 3 Проведите первую малую дугу напротив данной точки. Сначала увеличьте раствор циркуля. Установите иглу циркуля в точке B 4 Проведите вторую малую дугу, которая пересечет первую малую дугу. Не меняйте раствор циркуля. Установите иглу циркуля в точке C 5 Проведите прямую, проходящую через точку пересечения двух дуг и данную точку. Обозначьте эту прямую как n
   • Помните, что перпендикуляр – это отрезок (в данном случае прямая), который пересекает другой отрезок (прямую) под углом 90 градусов.
2. 6 Проведите дугу, которая пересечет перпендикулярную прямую в двух точках. Для этого установите иглу циркуля в точке A 7 Проведите первую малую дугу справа (или слева) от данной точки. Увеличьте раствор циркуля. Установите иглу циркуля в точке E 8 Проведите вторую малую дугу справа (или слева) от данной точки. Не меняйте раствор циркуля. Установите иглу циркуля в точке F 9 Проведите прямую через точку пересечения двух дуг и данную точку. Полученная прямая будет перпендикулярна прямой n Таким образом, полученная прямая параллельна данной прямой m

   2 Построение ромба

   1. 1 Обозначьте данную прямую и данную точку. Данная точка не лежит на данной прямой – скорее всего, она находится выше или ниже прямой. Данную точку рассматривайте как вершину ромба. Так как противоположные стороны ромба параллельны, построив ромб, вы получите параллельную прямую.
      • Найдите вторую вершину ромба. Установите иглу циркуля в данной точке и проведите дугу, которая пересечет данную прямую в одной точке. Не меняйте раствор циркуля.
        • Ширина раствора циркуля не важна – главное провести дугу, которая пересечет данную прямую в любой точке.
        • Проведите дугу так, чтобы она не только пересекала данную прямую, но и заходила чуть выше данной точки.
        • Например, установите иглу циркуля в точке A 3 Найдите третью вершину ромба. Не меняя раствора циркуля, установите его иглу во второй вершине и проведите дугу, которая пересечет данную прямую в новой точке. Не меняйте раствор циркуля.
          • Проведите короткую дугу – так, чтобы она только пересекла данную прямую.
          • Например, установите иглу циркуля в точке B 4 Найдите четвертую вершину ромба. Не меняя раствора циркуля, установите его иглу в третьей вершине и проведите дугу, которая пересечет первую дугу (которую вы провели, установив иглу циркуля в данной точке, и при помощи которой нашли вторую вершину).
            • Проведите короткую дугу – так, чтобы она только пересекла первую дугу.
            • Например, установите иглу циркуля в точке C 5 Проведите прямую через первую и четвертую вершины ромба. Эта прямая проходит через данную точку и параллельна данной прямой, потому что эти прямые являются противоположными сторонами ромба.
              • Например, прямая, проходящая через точки A

                3 Построение соответственных углов

                1. 1 Обозначьте данную прямую и данную точку. Данная точка не лежит на данной прямой – скорее всего, она находится выше или ниже прямой.
                   • Если прямая и точка еще не обозначены, сделайте это, чтобы не запутаться.
                   • Например, данную прямую обозначьте как m 2 Проведите прямую через данную точку и любую точку, которая лежит на данной прямой. При помощи такой секущей прямой можно построить соответственные углы, а затем провести параллельную прямую.
                     • Проведите длинную секущую прямую – так, чтобы она уходила за данную точку.
                     • Например, через точку A 3 Возьмите циркуль. Ширину раствора циркуля сделайте меньше половины длины полученного отрезка.
                       • Точная ширина раствора циркуля не имеет значения – главное, чтобы она была меньше половины длины полученного отрезка.
                       • Например, ширину раствора циркуля сделайте меньше половины длины отрезка A B 4 Постройте первый угол. Установите иглу циркуля в точке пересечения секущей прямой с данной прямой. Проведите дугу, которая пересечет секущую и данную прямые. Не меняйте раствор циркуля.
                         • Например, установите иглу циркуля в точке B 5 Проведите вторую дугу. Не меняя раствора циркуля, установите его иглу в данный точке. Проведите дугу, которая пересечет секущую прямую над данной точкой и уйдет чуть ниже данной точки.
                           • Например, установите иглу циркуля в точке A 6 Возьмите циркуль. Ширину раствора циркуля сделайте равной ширине построенного (первого) угла.
                             • Например, построенный угол – это угол C B D 7 Постройте соответственный угол. Раствор циркуля должен быть равен ширине первого угла. Установите иглу циркуля в точке, которая лежит на секущей прямой над данной точкой, и проведите дугу, которая пересечет вторую дугу.
                               • Например, установите иглу циркуля в точке P 8 Проведите прямую через данную точку и точку пересечения двух дуг. Эта прямая параллельна данной прямой и проходит через данную точку.
                                 • Например, проведите прямую через точку A {displaystyle A} и точку Q {displaystyle Q} . Получится прямая f {displaystyle f} , параллельная прямой m {displaystyle m} .

                Что вам понадобится

                1. Ручка или карандаш
                2. Линейка
                3. Циркуль

Даны окружность с центром О и точка А вне окружности. а) Проведен диаметр окружности. Пользуясь только линейкой*, опустите перпендикуляр из точки А на этот диаметр. б) Через точку А проведена прямая, не имеющая общих точек с окружностью. Пользуясь только линейкой, опустите перпендикуляр из точки О на эту прямую.

*Примечание. Под «линейкой» в задачах на построение всегда подразумевается не измерительный инструмент, а геометрический - с его помощью можно только проводить прямые (через две имеющиеся точки), но не измерять расстояние между точками. Кроме того, геометрическая линейка считается односторонней - с ее помощью нельзя провести параллельную прямую, просто приложив одну сторону линейки к двум точкам и проведя линию вдоль другой стороны.

Подсказка 1

Используйте концы диаметра, а не центр окружности.

Подсказка 2

Угол с вершиной на окружности, опирающийся на ее диаметр, - прямой. Зная это, вы можете построить две высоты в треугольнике, образованном концами диаметра и точкой А .

Подсказка 3

Попробуйте решить сначала более простой случай, чем заданный в пункте б) , - когда данная прямая пересекает окружность.

Решение

а) Пусть ВС - данный диаметр (рис. 1). Для решения задачи просто вспомним первые две подсказки: если провести прямые AВ и АC , а затем соединить точки их пересечения с окружностью с нужными вершинами треугольника ABC , то получатся две высоты этого треугольника. А так как высоты треугольника пересекаются в одной точке, то прямая CH будет третьей высотой, то есть искомым перпендикуляром из А к диаметру ВС .

б) Решение этого пункта, однако, даже в том случае, который дан в третьей подсказке, не кажется более простым: да, мы можем провести диаметры, соединить их концы и получить прямоугольник ABCD (рис. 2, на котором, для простоты, точка А отмечена на окружности), но как это приближает нас к построению перпендикуляра из центра окружности?

А вот как: так как треугольник AOB равнобедренный, то перпендикуляр (высота) OK пройдет через середину K стороны AB . А значит, задача свелась к нахождению середины этой стороны. Как ни удивительно, но окружность больше нам совсем не нужна, да и точка D тоже, в общем, «лишняя». А вот отрезок CD - не лишний, но на нем нам потребуется не какая-то конкретная точка, а совершенно произвольная точка E ! Если обозначить за L точку пересечения BE и AC (рис. 3), а затем продлить AE до пересечения с продолжением BC в точке M , то прямая LM - это решение всех наших забот и проблем!

Правда, очень похоже , что LM пересекает AB посередине? Это и правда так. Попробуйте доказать это. Мы же отложим доказательство до конца решения задачи.

Итак, мы научились находить середину отрезка AB , а значит, научились опускать перпендикуляр на AB из центра окружности. Но что делать с исходной задачей, в которой данная прямая не пересекает окружность, как на рис. 4?

Постараемся свести задачу к уже решенной. Это можно сделать, например, так.

Сначала построим прямую, симметричную данной относительно центра окружности. Построение понятно из рис. 5, на котором данная прямая - горизонтальная под окружностью, а построенная симметричная ей - выделена красным (две синие точки могут быть взяты на окружности совершенно произвольно). Заодно проведем через центр О еще одну прямую, перпендикулярную к одной из сторон получившегося в окружности прямоугольника, чтобы получить на данной прямой два равных по длине отрезка.

Имея две параллельные прямые, на одной из которых уже отмечены два конца и середина отрезка, возьмем произвольную точку T (например, на окружности) и построим такую точку S , что прямая TS будет параллельна имеющимся двум прямым. Это построение показано на рис. 6.

Тем самым мы получили хорду окружности, параллельную данной прямой, то есть свели задачу к решенной ранее версии, ведь к такой хорде проводить перпендикуляр из центра окружности мы уже умеем.

Осталось привести доказательство факта, который мы использовали выше.

Четырехугольник ABCE на рис. 3 - трапеция, L - точка пересечения ее диагоналей, а M - точка пересечения продолжений ее боковых сторон. По известному свойству трапеции (его еще называют замечательным свойством трапеции ; можно посмотреть, как оно доказывается) прямая ML проходит через середины оснований трапеции.

Собственно, еще раз мы фактически опирались на эту же теорему уже в последней подзадаче, когда проводили третью параллельную прямую.

Послесловие

Теория геометрических построений одной линейкой, когда задана вспомогательная окружность с центром, разработана замечательным немецким геометром XIX века Якобом Штейнером (правильнее произносить его фамилию Steiner как «Штайнер», но в отечественной литературе уже давно закрепилось написание с двумя «е»). О его математических достижениях мы уже однажды рассказывали в задаче «Короче, Склифосовский» . В книге «Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга» Штейнер доказал теорему, согласно которой любое построение, которое может быть выполнено с помощью циркуля и линейки, может быть выполнено и без циркуля, если задана всего одна окружность и отмечен ее центр. Доказательство Штейнера сводится к демонстрации возможности осуществления базовых построений, обычно выполняемых с помощью циркуля, - в частности, к проведению параллельных и перпендикулярных прямых. Наша задача, как легко видеть, является частным случаем этой демонстрации.

Впрочем, к некоторым задачам Штейнер привел не единственный способ решения. Приведем второй способ и мы.

Возьмем на данной прямой две произвольные точки A и B (рис. 7). Сначала строим перпендикуляр из A на (синюю) прямую BO - это фактически решение нашей первой задачи, потому что эта прямая содержит диаметр окружности; все соответствующие построения на рис. 7 выполнены синим цветом. Затем строим перпендикуляр из B на (зеленую) прямую AO - это точно такое же решение точно такой же задачи, построения выполнены зеленым цветом. Тем самым мы получили две высоты треугольника AOB . Третья высота этого треугольника проходит через центр O и точку пересечения двух других высот. Она и является искомым перпендикуляром к прямой AB .

Но и это еще не все. Несмотря на всю (относительную) простоту второго способа, он «избыточно длинный». Это означает, что существует другой способ построения, требующий меньшего числа операций (в задачах на построение каждая линия, проведенная циркулем или линейкой, считается как одна операция). Построения, требующие минимального среди известных количества операций, французский математик Эмиль Лемуан (Émile Lemoine , 1840–1912) назвал геометрографическими (см.: Geometrography).

Итак, вашему вниманию предлагается геометрографическое решение пункта б) . Оно требует всего 10 шагов, при этом шесть первых - «естественные», а следующие три - «удивительные». Самый последний шаг, проведение перпендикуляра, пожалуй, тоже следует назвать естественным.

Мы хотим провести красный пунктирный перпендикуляр (рис. 8), для этого нам нужно отыскать на нем какую-нибудь точку, отличную от О . Поехали.

1) Пусть A - произвольная точка на прямой, а C - произвольная точка на окружности. Проводим прямую AC .

2)–3) Проводим диаметр OC (вторично пересекающий окружность в точке D ) и прямую AD . Отмечаем вторые точки пересечения прямых AC и AD с окружностью - B и E , соответственно.

4)–6) Проводим BE , BD и CE . Прямые CD и BE пересеклись в точке H , а BD и CE - в точке G (рис. 9).

Кстати, а могло ли случиться так, что BE оказалось бы параллельно CD ? Да, безусловно. В случае, когда диаметр CD перпендикулярен AO , то именно так и случается: BE и CD параллельны, а точки A , O и G лежат на одной прямой. Но возможность брать точку C произвольно предполагает наше умение выбрать ее так, чтобы CO и AO не были перпендикулярны!

И вот теперь обещанные удивительные шаги построения:

7) Проводим GH до пересечения с данной прямой в точке I .
8) Проводим CI до пересечения с окружностью в точке J .
9) Проводим BJ , которая пересекается с GH ... где? Правильно, в красной точке, которая находится на вертикальном диаметре окружности (рис. 10).

10) Проводим вертикальный диаметр.

Вместо шага 8 можно было бы провести прямую DI , а затем на шаге 9 соединить вторую точку ее пересечения с окружностью с точкой E . Результат был бы той же самой красной точкой. Правда, это удивительно? Причем, даже неясно, что удивляет сильнее - то, что красная точка оказывается одной и той же для двух способов построения, или то, что она лежит на искомом перпендикуляре. Впрочем, геометрия - это ведь не «искусство факта», а «искусство доказательства». Так что постарайтесь доказать это.

Доброго времени суток, уважаемые читатели моего блога. Казалось бы, чего стоит нарисовать прямую линию в фотошопе? Зажал Shift и вот тебе, пожалуйста. А тем не менее сделать это можно аж тремя способами. Результат каждого будет отличаться.

Из этой статьи вы узнаете три способа как провести прямую линию в фотошопе. Какой фильтр применить, чтобы создать волну. Как это сделать при помощи другого интересного инструмента. Я покажу как добиться пунктира и рисовать под определенным углом.

Вас ждет масса информации. Приступим?

Инструмент «Линия»

Для начала я покажу вам как пользоваться инструментом, который предназначен для создания ровных линий. На этом месте у вас может располагаться прямоугольник, овал, эллипс или многоугольник. Просто на несколько секунд удержите на кнопке зажатую левую кнопку мыши, чтобы открыть меню с дополнительными инструментами.

Сперва о важном. Один из самых важных параметров – толщина. Благодаря линии вы можете рисовать даже прямоугольники. Просто надо сделать ее пожирнее.

Далее идет «Заливка» и «Обводка». Щелкаете по плашке с цветом слева от надписей и выбираете оттенок. Если хотите выполнить обводку, вписываете ее ширину. Сейчас, на моем скриншоте показан вариант без нее. Иконка отсутствия цвета выглядит именно так. Серая линия перечеркнутая красным.

Можете посмотреть настройки и результат на этом скриншоте. Не очень видно, но толщина здесь 30 пикселей. На большой картинке 30 пикселей могут выглядеть как скромная полоска. Все нужно подстраивать под свои собственные размеры.

Вот так будет выглядеть линия, если выбрать красный цвет для обводки.

Следующая кнопка позволит вам сделать пунктирную обводку.

Если уменьшить толщину и убрать заливку, вы получите просто пунктир.

Здесь же вы можете выровнять обводку по внутреннему краю, внешнему или центру вашего контура.

И закруглить углы. Правда, это будет не так уж заметно.

Если в тот момент, когда вы ведете линию, нажать Shift, то Photoshop автоматически создаст ровную линию. Горизонтальную или вертикальную. В зависимости от того, куда вы ее ведете.

Если вам нужна линия под определенным углом, то проще всего посмотреть что показывает окно информации и подкорректировать его вручную, направляя в определенную сторону.

Ну а сейчас покажу другой.

Инструмент «Кисть»

Эти прямоугольники я нарисовал при помощи линий, нарисованных кистью.

Выбираете тип и размер, подходящей для линии кисти.

Ставите точку в предполагаемом начале линии, зажимаете Shift и щелкаете левой кнопкой мыши там, где полоска должна закончиться.

Перед вами две линии. Желтая нарисовала при помощи инструмента «Линия», лиловая кистью.

Как сделать волну

Не важно каким инструментом вы пользовались, делать волнистую линию проще всего при помощи фильтра. Заходите в эту категорию, находите «Искажение» и выбираете «Волна».

Ориентируясь по картинке с предварительным показом вы быстро поймете что к чему и как его настроить. Амплитуда должна быть примерно одинаковой. Если не получается, можете просто жать на «Рандомизировать» пока не появится подходящий.

К последнему применяемому фильтру всегда есть быстрый доступ. Применяю его к слою с желтой полоской, нарисованной инструментом.

Вот такой результат я получил. Как вы можете заметить, он отличается.

Инструмент «Перо»

Признаться честно, до сих пор у меня не получается профессионально пользоваться пером. Знаю, что им можно рисовать все что угодно: ровно, быстро, весело и классно, но у меня уходит очень много времени и результат не всегда на том уровне, которого я ожидал. И тем не менее прямые линии нарисовать пером могу даже. С кривыми хуже, но я попробую. Выбираю «Перо».

Ставлю точку, затем вторую. Пока я не отпустил кнопку мыши настраиваю плавность.

То же самое вытворяю с каждой новой точкой.

После того, как все манипуляции завершены жму правой кнопкой мыши и в появившемся меню выбираю «Выполнить обводку контура».

Можно выбрать несколько инструментов: карандаш, кисть, штамп, узор и так далее. Сейчас пусть этот будет кисть.

Снова жму на правую клавишу мыши и выбираю «Удалить контур».

Вот такой результат у меня получился.

Ну и не забывайте, что вы всегда можете воспользоваться навыками создания коллажей. Прочитайте статью о том, и сможете взять линию из любой картинки и вставить ее в свое изображение.

Если вам хочется научиться профессионально пользоваться пером и другими инструментами, которые есть в фотошопе. Могу предложить вам курс «Фотошоп для начинающих в видео формате ».

Уроки, созданные профессионалами научат вас всему, что вы должны знать об этой программе. Вы сэкономите кучу времени на поиски ответов на тот или иной вопрос. В вашей голове сами собой будут появляться идеи о том, как выполнить задачу.

Кстати, знаете как сделать, чтобы перед вами всегда возникали интересные потребности связанные с фотошопом? Это может вывести ваши отношения с этой программой на новый уровень. Все что вам нужно – это увлечься веб-дизайном. Люди этой профессии никогда не сидят без дела. Всегда находятся клиенты, проекты и новые задачи.

Работа найдется для каждого, а вы сможете заниматься тем, что вам действительно нравится и приносит неплохие деньги. Прочитайте статью о том, или . Хватит придумывать себе задачи, пусть за ваше время кто-то другой платит деньги.

Не знаете с чего начать? Пройдите курс «Основы коммерческого веб-дизайна ». Попробуйте несколько бесплатных уроков, это поможет вам разобраться в себе и понять, готовы ли вы освоить новые горизонты.

Ну вот и все. Осталось дело за вами. Решайте когда вы будете готовы и приступайте к завоеванию новых вершин. Если вам понравилась эта статья – подписывайтесь на рассылку и каждый день на шаг приближайтесь к заветной цели.

Узнавайте как можно больше о интернете, пишите свою историю успеха, прекратите сидеть в ожидании. Действуйте. Вашу мечту каждый день воплощают другие. Сегодня они делают то, чего вы уже так много времени хотите. Думают ли они о готовности? Подходящий момент настал прямо сейчас. Не упустите его. У вас есть на это силы.

Я желаю вам удачи. До новых встреч.

Сечение тетраэдра представляет собой многоугольник, сторонами которого являются отрезки. Именно по таковым проходит пересечение секущей плоскости и самой фигуры. Поскольку у тетраэдра четыре грани, то его сечениями могут быть либо треугольники, либо…

Восстановление перпендикуляра к плоскости – одна из важных задач в геометрии, она лежит в основе многих теорем и доказательств. Чтобы построить прямую, перпендикулярную плоскости, нужно последовательно выполнить несколько действий. Вам…

При проведении построений различных геометрических фигур иногда требуется определить их характеристики: длину, ширину, высоту и так далее. Если речь идет о круге или окружности, то часто приходится определять их диаметр. Диаметр представляет собой…

Медиана – отрезок, который берет начало в одной из вершин треугольника и заканчивается в точке, делящей противолежащую сторону треугольника на две равные части. Построить медиану, не проводя математических вычислений, довольно просто. Вам…

Зачастую решение какой либо сложной задачи по начертательной геометрии сводится к решению множества маленьких задач, в том числе задач по нахождению прямой, параллельной заданной плоскости. Инструкция 1Обозначьте плоскость тремя точками и…

Задачи на осуществление построений правильных геометрических фигур тренируют пространственное восприятие и логику. Существует большое количество весьма простых задач подобного рода. Их решение сводится к модифицированию или комбинированию уже…

Являющиеся одной из неотъемлемых частей школьной программы, геометрические задачи на построение правильных многоугольников достаточно тривиальны. Как правило, построение ведется путем вписывания многоугольника в окружность, которая вычерчивается…

Правильный многоугольник - это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Вокруг правильного многоугольника можно описать окружность. Именно эта окружность и помогает в его построении. Одним из правильных многоугольников,…

В геометрии часто приходится строить перпендикуляры. Задача построения перпендикуляра с помощью циркуля и линейки - одна из базовых в геометрии. В частности, на построение серединного перпендикуляра. Вам понадобитсяЦиркуль, линейка,…

Параллельные прямые изучаются на уроках геометрии в школе. Но понятие о них и навык их построения пригодится в повседневной жизни и профессиональной деятельности далеко за порогом школы. Вам понадобитсяБумага, карандаш, линейка,…

Эта статья расскажет вам, как при помощи циркуля провести перпендикуляр к данному отрезку через определенную точку, лежащую на этом отрезке. Шаги 1Посмотрите на данный вам отрезок (прямую) и точку (обозначим как А), лежащую на нем.2Установите иглу…

Эта статья расскажет вам, как при помощи циркуля (без линейки) разделить данный отрезок пополам и провести через его середину перпендикуляр. Шаги 1Рассмотрите данный вам отрезок или нарисуйте его сами (любой длины).2Установите раствор циркуля,…

Эта статья расскажет вам, как построить биссектрису данного угла (биссектриса – луч, делящий угол пополам). Шаги 1Посмотрите на данный вам угол.2Найдите вершину угла.3Установите иглу циркуля в вершине угла и проведите дугу, пересекающую стороны угла…